ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Боголюбова из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Вывод уравнения Больцмана, изложенный в 85, идея которого принадлежит самому Больцману, не может считаться строгим. Действительно, запись этого уравнения, как уравнения непрерывности в /г-пространстве с источниками (интеграл столкновений) в правой части, предполагает, во-первых, что изменение во времени функции распределения / (г, V, I) аддитивно относительно двух процессов, имеющих различное происхождение. Члены ц,-3/ /Зх,- и Wiдf /Зп,- в левой части (85.9) характеризуют потоки газа, возникающие вследствие существования градиента плотности и внешних полей, в то время как правая часть возникает вследствие учета столкновений молекул. Таким образом, предполагается, что потоки и столкновения не влияют друг на друга. Во-вторых, в интеграле столкновений значения функций /, /, /, / берутся в одной и той же точке пространства г, в то время как с учетом конечных размеров молекул координаты в функциях /, / и в функциях /, / должны быть выбраны различными. [c.473] как мы уже упоминали, классический вывод уравнения Больцмана предполагает отсутствие корреляций между скоростями молекул. Наконец, что наиболее существенно, в уравнении Больцмана учитываются только попарные столкновения молекул, и нет более или менее очевидного рецепта, позволяющего учесть столкновения групп из трех, четырех и более молекул. Между тем ясно, что учет таких процессов существен для плотных газов. [c.473] В связи со сказанным целесообразно подойти более строго к проблеме вывода кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Это можно сделать с помощью весьма общего и строгого метода, предложенного Н. Н. Боголюбовым [38, 39], к краткому изложению которого мы и переходим. [c.474] Будем в дальнейшем считать, что внешние поля отсутствуют и частицы взаимодействуют с потенциалом U(rik)= mu(rik), свойства которого мы обсудили в 65. Для исключения граничных эффектов мы будем рассматривать термодинамический предел, при котором N V а отношение а = VIN остается конечным. [c.474] Иначе говоря, мы можем себе представить, что при / = 0 мы приготовляем ансамбль, т. е. произвольным образом высыпаем изображающие точки в фазовое пространство, задавая тем самым (д 1,. .., х , 0). В дальнейшем эти высыпанные точки плывут по своим фазовым траекториям, подчиняясь исключительно законам механики. Таким образом, уравнение (86.2) вовсе не имеет статистического вероятностного содержания, а несет в себе только чисто механическую информацию. [c.475] Заметим, что последнее уравнение системы (86.7) для функции является замкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (86.2). С математической точки зрения интегрирование системы уравнений (86.7) следовало бы начинать с интегрирования этого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрировать остальные N — 1 уравнения системы, так как все -частичные функции распределения могут быть найдены по формулам (86.4), после того как найдена функция (х/. х , /), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мы уже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой практически невыполнимую задачу. [c.478] Таким образом, физически разумный метод решения системы уравнений Боголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнего уравнения для функции Б , а с первого для функции Б[ и пытаться тем или иным способом оборвать эту систему. Если оказывается возможным выразить некоторую функцию Б +1 как функционал от функций Б1 (/ п), то такой обрыв системы (86.7) становится возможным, и мы придем к системе с конечным числом уравнений. В частности, если удается тем или иным способом выразить как функционал от Б (х/, /) функцию Б2 (х/, Х2, /), мы получаем уравнение для одночастичной функции Б (х , /), которую принято называть кинетическим уравнением. Уравнение Больцмана и уравнение Фоккера - Планка представляют собой частные случаи кинетических уравнений. [c.478] В дальнейшем мы покажем, что и такие важные для газодинамики величины, как тензор вязких сил, поток тепла и др., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, как мы видели в 81, важное значение в теории флуктуаций и в теории фазовых переходов. [c.479] Го — радиус взаимодействия, Я — длина свободного пробега. В правой части уравнений (86.7) стоят члены, имеющие порядок величины г /о), так как благодаря множителю и ,-, +1 = — ди (г,-, + 1) / Зг,- интегрирование по координатам ведется по объему . [c.480] Как видно из уравнения (86.11), описывающего изменение во времени функции 1, в нулевом приближении по параметру I а это уравнение не содержит потенциал межмолекулярных сил и (/г, ). Это значит, что за времена порядка го функция 1 не испытывает существенных изменений за счет межмолекулярных взаимодействий (столкновений) и может приближенно считаться постоянной. Однако, как показывает анализ поправочного члена в правой части (86.11) (см. [38]), за время порядка г изменения функции 1 становятся уже существенными, и разложение по степеням / о) перестает быть достаточным. [c.481] В противоположность этому, уравнение (86.12), описывающее эволюцию во времени р2 (и, вообще, уравнения (86.7) при п 2), уже в нулевом приближении по параметру Гд / содержит потенциал межмолекулярных сил. Он входит в слагаемые и д(й /дvi) оператора Лиувилля 1п, что приводит к быстрым изменениям функций р2, Рг,. .. за время порядка го- Однако на грубой шкале времени, учитывающей только изменения за времена Р х, эти быстрые изменения функций Рп усредняются, и остается лишь плавная эволюция этих функций. Представляется весьма правдоподобным считать, что медленная эволюция многочастичных функций распределения после первоначального этапа быстрой хаотизации за время г о полностью определяется медленной эволюцией одночастичной функции Р х, /). Действительно, после того как в системе произошло несколько столкновений, поведение молекул унифицируется , становится сходным, и одночастичпая функция дает достаточно полную информацию о системе. [c.481] Таким образом, первоначальное неравновесное состояние системы эволюционирует во времени, проходя через ряд этапов. [c.481] Рассмотрим более детально кинетическую стадию эволюции. Метод трактовки системы уравнений (86.7) для этого этапа, предложенный Боголюбовым, заключается в следующем. [c.482] НО не зависящая от у. Такая зависимость называется функциональной, а сама функция F называется функционалом от Fi. Мы отделяем в формуле (87.3) и во всех последующих формулах функциональный аргумент F[ от обычных аргументов Х , х вертикальной чертой и будем для краткости часто опускать аргументы функции Fi. [c.483] Покажем, следуя методу Боголюбова, как можно превратить функциональное уравнение (87.7) в дифференциальное. Введем для этого оператор динамического сдвига на время г в замкнутой системе п частиц (х1.х ,гу. [c.484] Вернемся теперь к уравнению (87.7) и заметим, что, поскольку функционал р2 х[,Х2 7 1(у,0) не зависит от аргумента у функции Р (у, /), мы можем заменить в этом уравнении Р[(у, /) на 51(г)Х ХР1(у,1)=Р1( ,1). [c.486] Заметим, что эти условия не имеют динамической природы, а представляют собой сугубо статистические, вероятностные постулаты. Оказывается, что к правильному кинетическому уравнению, обеспечивающему нужный характер необратимости макроскопического процесса — рост энтропии со временем, приводит первое условие (87.17), которым мы в дальнейшем и пользуемся оно называется условием ослабления корреляций. Второе условие приводит к кинетическому уравнению с измененным знаком интеграла столкновений, что означало бы неверный характер необратимости, а именно — убывание энтропии со временем. [c.487] Прежде чем переходить к более детальному рассмотрению уравнения (87.20), покажем, что метод, изложенный выше, позволяет находить и следующие члены в кинетическом уравнении, имеющие порядок (а-о й)) , (го /й)) и т. д. [c.488] Таким образом, открывается возможность найти кинетическое уравнение с учетом членов порядка (гд /й)) , где к— целое число, т. е. с учетом -частичных столкновений. [c.488] Вернуться к основной статье