ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вторичное квантование из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Как известно из квантовой механики, состояния системы тождественных частиц описываются волновыми функциями V ( 7ь 72 , 7л ) обладающими свойствами симметричности в случае системы бозонов или свойством антисимметричности в случае системы фермионов по отношению к перестановкам пар аргументов 7 , Здесь д — полный Набор аргументов, характеризующих частицу, например, в координатном представлении это совокупность пространственных координат X,-, У , 2,- и спиновой персменной (Т / для частиц со спином, в импульсном представлении вместо координат х 2, мы можем выбрать в качестве аргументов волновой функции проекции импульсов /,/, / и т. д. [c.349] Суммирование ведется по всем перестановкам Р индексов к, к2, кы, а др равняется +1 для перестановок, состоящих из четного числа парных перестановок (транспозиций), и -1 для перестановок, состоящих из нечетного числа транспозиций. [c.350] В силу неразличимости частиц — симметрии или антисимметрии функций (68.3), (68.4) соответственно — эти функции будут однозначно определены, если будет указано, сколько индексов одночастичных функций равны 1, сколько равно 2 и т. д. Это значит, что мы можем перейти к представлению, в котором аргументами волновой функции будут числа заполнения п, 2, --ч указывающие, сколько частиц находится в состоянии 1, сколько — в состоянии 2 и т. д. Следует помнить, что последнее высказывание имеет смысл только в предположении слабости взаимодействия, так как в системе сильно взаимодействующих частиц вообще нельзя говорить о состояниях отдельных частиц. [c.350] В этом представлении волновые функции записываются в виде Х п, П2,---)- При этом числа , для системы бозонов могут принимать любые целочисленные значения п-, = 0, 1,2,. .., а для системы фермионов только значения п-, = 0,1. [c.350] Найдем вид важнейших операторов в представлении вторичного квантования. [c.350] Коэффициенты а к, а суть некоторые операторы, эрмитово сопряженные друг с другом, с пока еще не определенными свойствами. [c.351] КИМ образом, чтобы числа щ могли принимать значения О, 1,2,. .. Для системы фермионов п к должны принимать лишь два значения О или 1. Оказывается, как мы в дальнейшем покажем, для выполнения этих требований достаточно наложить на операторы следующие соотношения перестановок. [c.352] Рассмотрим эти случаи отдельно. [c.352] мы доказали лемму 1 если п к и Хщ к к) являются собственным значением и собственной функцией оператора пк, то акХп к) также является собственной функцией оператора пк, принадлежащей собственному значению 1- Это позволяет называть оператор пк оператором уничтожения частицы в к-и состоянии. [c.352] Таким образом, на столбцы Xrik f k) операторы вторичного квантования действуют слева, а на строки пк) — справа. [c.354] Состояние с любым набором чисел пк может быть получено из вакуумного состояния о,о,о. в котором все числа заполнения равны нулю, действием операторов на это состояние. [c.355] Формулы (68.34) — (68.35) выражают оператор в представлении чисел заполнения состояний с разными значениями А , тогда как формула (68.33) выражает тот же оператор в координатном представлении. Разумеется, можно выразить оператор в любом другом представлении. [c.359] Особенно интересно представление чисел заполнения, связанное с импульсом. Так как в статистической физике существенную роль играет объем газа, мы будем рассматривать частицы, движущиеся не инфинитно, а заключенные в кубическом ящике с объемом У= О. [c.360] Не повторяя сходных выкладок, выпишем выражение для Н пх через гр(гу. [c.361] Вернуться к основной статье