ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тепловое движение в кристаллах. Фононный газ из "Термодинамика, статическая физика и кинетика Изд.2 " Полное число различных колебаний равно ЗМ — 6, так как из полного числа степеней свободы 3N надо вычесть три поступательные и три вращательные степени свободы твердого тела как целого здесь N — число атомов или ионов в кристалле, причем атомы рассматриваются как материальные точки. Наконец, следует сказать, что для электромагнитных волн в вакууме закон дисперсии — соотношение между частотой v и волновым вектором / — имеет простой вид v = f /2л (множитель с = onst) отсутствует зависимость фазовой скорости от частоты. В противоположность этому, для волн в кристалле закон дисперсии в общем случае не имеет столь простого вида, ибо скорость распространения как поперечных волн и,, так и продольных волн м/ зависит от частоты. [c.255] Это утверждение называется законом Дюлонга и Пти и для ряда веществ хорошо выполняется при комнатных температурах. Однако для других твердых тел, особенно кристаллов, обладающих большой прочностью, построенных из легких атомов (например, для алмаза), закон Дюлонга и Пти нарушается уже при комнатных температурах, а при низких температурах теплоемкость любых кристаллов становится существенно меньшей, чем ЪМа. [c.256] Следует отметить, что значение ЪИа — это классическое значение теплоемкости для атомных кристаллов. Для ионных кристаллов число ионов в моле равно пМа, где п — число ионов в элементарной ячейке кристалла (л = 2 для N301, л = 3 для СаСЬ и т. д.), и по классической теории теплоемкость должна равняться ЗлЛ( . Что касается молекулярных кристаллов (твердый азот, лед Н2О и т. д.), то для них к решеточной теплоемкости следует добавить внутреннюю молекулярную теплоемкость, обусловленную вращательными и колебательными степенями свободы молекулы. [c.256] Перейдем, так же как и в случае равновесного электромагнитного излучения, к корпускулярной картине, в которой каждому нормальному колебанию (или, что то же самое, каждой стоячей волне) сопоставляется квантовый осциллятор с энергией М1 +l/2)/гv/. При этом квантовые числа каждого осциллятора N1 интерпретируются как числа особых квазичастиц — фононов, имеющих энергию e/ = /гv, и импульс р1 = /г/,- / 2лг. [c.256] Мы будем в дальнейшем и в других задачах встречаться с термином квазичастица (см. 69, 70). Эти] термином мы обозначаем возбужденные энергетические состояния совокупности реальных частиц, соответствующие тем или иным коллективным движениям. В случае фононов это нормальные колебания, или упругие волны. [c.256] Как средство математического описания явления, понятие квазичастиц, и в частности фононов, является весьма удобным. Так же как и для фотонов, числа фононов в ячейке не ограничены, и, следовательно, фононы подчиняются распределению Бозе - Эйнштейна. При этом химический потенциал фононного газа следует считать равным нулю, так как, аналогично случаю фотонного газа, полное число фононов не фиксировано — фононы непрерывно поглощаются и излучаются кристаллической решеткой. [c.256] Как известно, после перехода к нормальным координатам энергия системы взаимодействующих частиц представляется в виде суммы несвязанных слагаемых, относящихся к разным нормальным колебаниям (при условии, что в разложении потенциальной энергии взаимодействия частиц мы ограничиваемся квадратичными относительно смещений членами). [c.256] Это значит, что после перехода к корпускулярной картине газа квазичастиц эти последние (фононы) оказываются невзаимодействующими, а газ фононов — идеальным. [c.256] Мы видим, что для вычисления внутренней энергии надо знать спектр частот кристаллической решетки v i. Однако его нахождение представляет собой весьма сложную задачу даже для сравнительно простых кристаллических решеток. [c.257] Дебай использовал для расчета внутренней энергии и теплоемкости кристалла так называемую непрерывную модель, В этой модели закон дисперсии предполагается таким же, как для сплошной среды и для электромагнитного излучения, т, е, линейным, В соответствии с этим для частоты продольных и поперечных фононов имеем v = = fut / 2тг и V = fut / 2л, где ui и и, — скорости распространения продольных и поперечных упругих волн соответственно, которые считаются не зависящими от частоты. Заметим, что эти выражения для частоты получаются, если разложить функцию v(f) в ряд по степеням/и ограничиться первым (линейным) членом разложения. Поэтому они, строго говоря, пригодны лишь при малых/(подробнее см. конец параграфа). [c.257] Это выражение отличается от формулы (52.8) для плотности энергии фотонного газа (помимо множителя К) четырьмя особенностями. [c.257] Мы ограничиваемся при этом рассмотрением простых кристаллов, содержащих один атом в элементарной ячейке. Если в элементарной ячейке содержится и атомов (ионов), то нужно во всех последующих соотношениях заменить N на иЛ/. [c.258] Рассмотрим два предельных случая 7 /0 1и7 /0 1. [c.258] В согласии с законом Дюлонга и Пти. [c.259] При Т О величина среднего квадрата смещения атома стремится к постоянному пределу 30 /2лкри , что является следствием существования нулевых колебаний. [c.262] Экспериментальная оценка показывает, что параметр для большинства твердых тел заключен в пределах 0,2—0,25. [c.262] Вернуться к основной статье