ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Энтропия равновесного состояния идеального газа из "Элементы статистической механики, термодинамики и кинетики " 3 мы знаем, что если задать объем И, число частиц Ы и внутреннюю энергию Е системы, то, тем самым, будет определено множество доступных для нее микросостояний. Мы знаем также, что подавляющее число этих микросостояний будет реализовывать равновесное макроскопическое состояние, для которого характерно однородное или почти однородное распределение экстенсивных макро- скопических величин по различным частям системы. Например, однородное или почти однородное распределение энергии и частиц цо объему. Или энергии и занимаемого объема—по частицам. И так далее. [c.51] что при ответе на этот вопрос возможен некоторый произвол. Но если его устранить и как-то условиться, какие отклонения от среднего считать еще малыми, станет возможным говорить о вполне определенном числе микросостояний б, реализующих данное макроскопическое состотаие. Это число б является важной характеристикой макроскопического состояния и называется его статистическим весом или, короче, статвесом. [c.51] Посмотрим, каким образом это требование связано с ограничением величины флуктуаций. [c.52] Поэтому, требуя, чтобы статвес был мультипликативным, мь1 продолжаем считать подсистемы независимыми и при наличии флуктуаций. Но это значит, что мы исключаем из рассмотрения сл Щаи, когда флуктуации велики. Тем самым мы фактически ограничиваем их допустимую величину и фиксируем тот их уровень, при кагором значения локальных макроскопических параметров еще можно относить к данному макроскопическому состоянию. [c.52] 4 мы увидим, что это требование полностью определяет величину статвеса. Но сейчас нам еще рано стремиться к абстрактной общности. Вместо этого, используя самые простые соображения, мы покажем в оставшихся параграфах данной главы, как связан с другими макроскопическими характеристиками статвес равновесного состояния простейших макроскопических объектов. [c.52] Тем самым энтропия становится совсем похожей на такие естествен-ные экстенсивные величины, как внутренняя энергия, объем или число частиц. [c.53] И в действительности ее существование было обнаружено сначала на чисто макроскопическом пути, при анализе вопроса о том, какую максимальную работу можно получить от тепловых машин. Этот анализ проделал впервые Карно, а завершил через тридцать лет Клаузиус. Клаузиус же придумал и само это название энтропия. Микроскопический смысл энтропии был раскрыт Больцманом, й формула, связывающая ее величину с логарифмом статвеса, высечена на его надгробном камне. [c.53] Представление об энтропии будет играть важную роль в после-дзтощем изложении. Мы увидим, как, используя свойство максимальности энтропии в состоянии термодинамического равновесия, нам удастся, шаг за шагом, понять все тепловые свойства вещества. [c.54] Но прежде, чем это делать, полезно получить некоторое представление о том, как можно вычислить статвес и как выглядит энтропия равновесного состояния некоторых простейших макроскопических объектов. [c.54] Если газ находится в равновесном состоянии, то все молекулы будут характеризоваться одной и той же средней энергией и = E/N, где —полная энергия газа, JV—число частиц. И для каждой из них будет справедлива формула (3.4). [c.56] В действительности, однако, дело обстоит чуть-чуть хитрее. Оказьшается, что когда мы следим за одинаковыми микроскопическими частицами — одинаковыми молекулами или атомами, за электронами, нейтронами и т.д., мы можем различать их только в том случае, когда они все время находятся в разных точках пространства. Если же они, двигаясь, могут подходить друг к другу достаточно близко, т.е. сталкиваться, то после этого мы уже в принципе не можем сказать, какая из них куда направилась. [c.56] что такая возможность имеется у молекул газа. Поэтому так я комбинация, когда первая молекула находится в состоянии г, а вторая —в состоянии k, дает микросостояние подсистемы, не отличимое от микросостояния с переставленными частицами, когда первая из них находится в состоянии k, а вторая —в состоянии г. Таким образом, эти две комбинации, (г, k) и (k, i) дают не два микросостояния подсистемы, а только одно, в котором одна из молекул, не важно, какая, находится в состоянии i, а вторая—в состоянии k. И только при i = k, т.е. когда обе частицы получают близкие координаты и близкие импульсы и оказьтаются в одном и том же состоянии, микросостояние подсистемы представляется одной комбинацией (г, г). [c.56] Но полное число пар типа (г, k) равно д, а пар типа (г, г) будет только д. Поэтому при д i последними можно пренебречь и сказать, что число микросостояний подсистемы двух молекул будет д /2. Таким образом, система двух неразличимых молекул имеет приблизительно вдвое меньше микросостояний, чем система двух различимых молекул. [c.56] Впредь мы и будем пользоваться таким приближением. Для его справедливости нужно, очевидно, чтобы число микросостояний каждой молекулы, д, было много больше числа молекул, N. Это приближение называют классическим, поскольку в классической теории множество состояний несчетно, и потому две (или более) молекулы никогда не могут попасть в одно и то же состояние у двух случайных чисел не может оказаться одинаковым бесконечное число их десятичных знаков. Условия классического приближения хорошо выполняются для обычных газов при любых их плотностях. [c.57] Сколькими способами можно разместить N молекул по N местам Первую молекулу можно разместить N способами. Вторую —при заданном расположении первой —V-1 способами. Третью — при заданном расположении первых двух — N - 2 способами. И т.д. Произведение всех этих чисел и дает полное число перестановок. [c.57] Хотя наши вычисления носили, скорее, качественный характер, конечная формула (3.7)—точная в том смысле, что в классической теории ничего более точного получить нельзя. Связано это с тем, что в классической теории, как было отмечено в 1.3, буквальное представление о числе микросостояний, одной ли частицы или всего газа в целом, не имеет смысла. Можно говорить только о какой-то величине типа объема множества микросостояний, которой должен быть пропорционален статвес. Поэтому в выражении для энтропии здесь неизбежно появляется неизвестная константа, вычислить которую, в принципе, невозможно. Это и приводит к тому, что наше неумение точно вычислить величину д по формуле (3.4) оказывается запрятанным в константе формулы (3.7) и никак себя не проявляет. [c.58] Вернуться к основной статье