ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория идеальной пластичности из "Машиностроение Энциклопедия Т I-3 Кн 1 " Интегрирование системы дифференциальных уравнений теории пластичности связано со значительными математическими трудностями. Поэтому большое значение имеют вариационные принципы, открывающие путь построения эффективных прямых приб лиженных методов, минуя интегрирование дифференциальных уравнений. [c.95] Пусть тело, находящееся в равновесии, занимает объем, ограниченньгй поверхностью S, на одной части поверхности заданы поверхностные силы, а на другой части поверхности -перемещения щ. [c.95] Второй интеграл в левой части (2.3.1) берется только по той части поверхности, на которой заданы поверхностные силы. [c.95] Первое слагаемое в правой части (2.3.3) представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе - удельную работу изменения формы. Второе слагаемое можно интерпретировать площадью, ограниченной диаграммой деформирования материала. На рис. 2.3.1 эта площадь заштрихована вертикальными линиями. [c.95] Для функционала Э [26] 5 5 0, т.е. действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что для нее полная энергия принимает минимальное значение. Эта формулировка определяет принцип минимума полной энергии. [c.95] Первое слагаемое в правой части (2.3.7) представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе - определяется площадью, заштрихованной горизонтальными линиями на рис. 2.3.1. [c.96] Уравнение (2.3.9) является математической формулировкой принципа возможных изменений напряженного состояния тела, согласно которому сумма работ приращений всех внешних сил на перемещениях точек приложения этих сил равна приращению дополнительной работы всего тела. [c.96] Принцип минимума полной энергии (2.3.4) является основой для разработки метода перемещений, в котором варьируются перемещения, а принцип минимума дополнительной работы (2.3.10) является основой метода сил, в котором варьируются усилия. Решение задачи этими методами дает возможность установить верхнюю и нижнюю границы решения, т.е. получить дополнительную информацию о свойствах получаемых решений. [c.96] Существует несколько вариантов метода последовательных приближений решения упругопластических задач. [c.96] В основе метода переменных параметров упругости (31] лежит представление зависимостей деформаций от напряжений по теории малых упругопластических деформаций в форме обобщенного закона Гука, в котором параметры упругости зависят от напряженного состояния и поэтому различны для разтшчных точек тела. [c.96] С целью решения упругопластической задачи по методу переменных параметров упругости используют процесс последовательных приближений, заключающийся в следующем. [c.97] Недостатком метода переменных параметров упругости яштяется необходимость изменять матрицу [В (е)1 в тех точках, для которых эквивалентное напряжение больше предела текучести материала при каждом приближении, что увеличивает объем вычислений. К методам, свободным от указанного недостатка, относят методы начальных напряжений (упругих решений [24]) и начальных деформаций [4]. [c.97] Последующий расчет проводят так же, как по методу начальных напряжений. Однако вычисляют начальные деформации при достигнутом уровне напряжений, а не начальные напряжения при достигнутых деформациях. Процесс вычислений по методу начальных деформаций показан на рис. 2.3.4 цифрами без штрихов. Точка 2 лежит на линии, параллельной начальному упругому участку, но сдвинутой по оси абсцисс на величину приращения эквивалентной начальной деформации первого расчета. После определения точки 2 строят следующее приближение по изложенной методике (точка 3 и т.д.). [c.98] Если принять, что соотношения (2.3.18) выполняются на всем пути деформирования тела, т.е. задача является геометрически линейной, то соотношения (2.3.11) и (2.3.18) позволяют установить матрицу жесткости конечного элемента. С этой целью принцип возможных перемещений (2.3.1) применяют к конечному элементу, находящемуся в равновесии, т.е. [c.99] После рещения (2.3.24) по найденным узловым перемещениям д) формируются векторы т для каждого конечного элемергга. Соотношения (2-3.18) и (2.3.11) дают возможность определить деформации и напряжения во множестве конечных элементов. [c.100] Решение матричного уравнения (2.3.24) сводится, по существу, к решению системы нелинейных алгебраических уравнений со многими неизвестными. Для этого используют рассмотренные в п. 2.3.2 итерационные методы решения задач теории пластичности в виде последовательности линейных упругих решений. [c.100] Рассмотрим особенности этих методов в сочетании с МКЗ. Принимают, что до приложения нагрузок [Я] известны компоненты вектора М = о . в общем случае не равные нулю. [c.100] Полученному решению соответствует точка 1 (см. рис. 2.3.2), расположенная на продолжении начального линейного участка диаграммы деформирования. [c.100] Последующие приближения (точка 3 на рис. 2.3.2 и т.д.) определяют до тех пор, пока узловые перемещения практически не перестанут изменяться. [c.100] Вернуться к основной статье