ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Безударные течения из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости " Возвратимся снова к задаче 1. Пусть для этой задачи удовлетворены все необходимые условия экстремума. Это означает, в частности, что найдены постоянные Аз, А4, а также функции а(у), д у), ф у), Х2(у), удовлетворяющие уравнениям (2.11), (2.30), (2.36), (2.37) при А5(у) = 0. В решении задачи эти функции определяются на характеристике ЬЛ. [c.108] Рассмотрим в плоскости г, а всю я экстремаль, отвечающую найденным множителям Лагранжа. Напомним, что величина г определена формулой (2.50) и при фиксированной величине взаимно однозначно связана с у. Выражение (2.50) было введено для осесимметричного случая, однако, его можно использовать и в случае плоского течения. На рис. 3.20 изображена экстремаль одного из типов, которые получаются при осесимметричных течениях. [c.108] Для определения области минимального сопротивления конкретный вид экстремали в области г, а не имеет значения. [c.108] Величина 61 совпадает с 6, если при варьировании соблюдаются изопериметрические условия. Для найденной экстремали 6х = 0. [c.108] Выведем теперь еше одно из возможных необходимых условий минимума. Такие условия позволяют отбрасывать непригодные решения из полученных на основе необходимых условий экстремума. [c.109] Будем предполагать, что на исследуемом участке экстремали функция а у) или а(г) однозначна. [c.109] Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109] Применим теорему о среднем к интегралам, стоящим в правых частях последних равенств. Вспоминая, что величины 6а и ду на элементе ии имеют один порядок малости, убеждаемся в том, что вариации й/3, б-ф, бХ , А5 по сравнению с вариацией 6а имеют более высокий порядок малости. [c.111] В равенство (4.2) входят также производные от вариаций величин /3 и ф. Используя полученный здесь вывод о малости вариаций /3, 6ф, 6X2, 6Xs, а также первое и третье уравнения (4.4), находим, что порядки величин 5/3, 6ф и 6а совпадают. [c.111] минимум х может иметь место, если экстремаль bh принадлежит области (4.11) и если варьирование положения точки h ведет к увеличению Х- Если экстремаль целиком или частично принадлежит области (4.12), то минимум х на найденной экстремали не достигается. [c.113] Осесимметричный случай. Рассмотрим экстремали в плоскости г, а. Покажем, что условию (4.8), при котором Г = 0, соответствует равенство dy/da = о при v — . Стернин [7], рассматривая границу области непрерывных решений вариационной задачи при v = I, вывел условие для dy/da = о, совпадающее с Г = 0. [c.113] Из формул (4.6) и (4.14) следует, что у/йа = О при Г = 0. Иными словами, граница области минимального сопротивления совпадает с геометрическим местом таких точек экстремалей, в которых ускорения бесконечны. [c.114] Вернуться к основной статье