ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Другой вид вариационных задач из "Аналитические исследования динамики газа и жидкости " До сих пор рассматривались вариационные задачи с независимой переменной у. Введем в качестве независимой переменной гр, сформулируем вариационную задачу, найдем необходимые условия экстремума, а затем сравним оба вида решений. [c.95] Величины гр), А гр), в ф), Ро ф) представляют собой, как и раньше, соответственно, у( ф), 0 ф), р ф) на характеристике ас. [c.97] Сформулируем вариационные задачи 3 и 4, эквивалентные, соответственно, задачам 1 и 2. [c.97] Задача 3. Найти функцию а(ф), принадлежащую классу и реализующую минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), при заданных функциях ф), А ф), в ф), 1р ф) = Ра ф), заданных величинах Уо УЬ) -У, С, граничных условиях (3.29), (3.30) и условиях (3.31) в случае непрерывности функций а, 1 в точке с. [c.97] Лз — постоянные, А (ф), Лз( ) — переменные множители Лагранжа. [c.97] Здесь величины и и вычисляются по формулам для и и Щ при У, А, 0, равных, соответственно, величинам у,а, в,(р в точке Л. Символ 6 ф означает изменение величины ф в точке к при движении точки к в направлении характеристики первого семейства ак. [c.98] Решение задачи сводится к отысканию точки Л в области саН и решению уравнений (3.27), (3.28), (3.37), (3.38), (3.41), (3.42), определяющих функции у ф), а ф), т ( ), р ф), Л4(У ), А ( ф). Граничными условиями являются равенства (129)-(3.31), (136). Величины Лз, Лз находятся из условия выполнения равенств (3.25), (3.26). [c.100] Уравнения (3.44), (3.45) помимо а ф), д ф) содержат только постоянные величины. Следовательно, величины о и постоянны на экстремали, если при этом (р( ф) Pu ip). Из уравнения (3.39) тогда вытекает, что = onst. Этот результат уже был получен в 3.3.1. [c.100] Сопоставляя условия (3.48) и равенства (3.17), (3.51), (3.50), видим, что действительно У , 0. [c.101] 49) следует, что только неравенство б р 0, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина i . Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101] В случае независимой переменной у при решении задачи 1 множитель Латранжа А2 является, вообще говоря, переменным. Если течение является изэнтропическим ( о = onst), то множитель А2 оказывается постоянным в плоском и осесимметричном течениях. Формулы для изэнтропических течений становятся сравнительно простыми. [c.101] Более детально о решении задач 1 и 3 можно сказать следующее. [c.102] В плоском изэнтропическом случае при независимой переменной у уравнение (2.11) интегрируется в конечном виде, а при независимой переменной интегрируется соответствующее уравнение (3.27). Искомые величины а, в, ф в первом случае и величины а, в, у во втором случае связаны конечными уравнениями. [c.102] В плоском неизэнтропическом случае, если независимой переменной является ф, уравнение (3.27) интегрируется в квадратурах, и решение на экстремали получается в замкнутом виде. [c.102] В осесимметричном изэнтропическом случае, если за независимую переменную принята величина у, уравнение (2.11) интегрируется в квадратурах, и решение на экстремали также представляется в замкнутом виде. [c.102] В осесимметричном неизэнтропическом случае система равенств, определяющих искомые функции на экстремали при любой из независимых переменных у к ф, включает два дифференциальных уравнения. [c.102] Таким образом, и в плоском, и в осесимметричном случаях функция тока ф линейно зависит от у на экстремали, полученной при решении задачи 2. [c.103] Если рассматривается решение задачи 4 при независимой переменной ф и выполнении условия (р ф) ро ф), то, как уже здесь отмечалось, величины Л4, а, 1 и постоянны на характеристике ЬЛ. Связь между у и V совпадает, конечно, с (3.54). [c.103] Вопрос о сушествовании найденного решения задач 2 и 4 при 1р ф) (ро ф) требует дополнительного исследования. [c.103] Отмеченные преимущества и недостатки двух вариантов решений не носят принципиального характера. В то же время они создают определенные удобства или неудобства при использовании того или иного варианта в различных случаях. [c.103] Вернуться к основной статье