ФУНКЦИИ S66 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИ

Фиг. 15.6. Граничные функции четырехугольного элемента.

Простейшие четырехугольные элементы — параллелограммы только для этих элементов оказывается возможным выбор искомых перемещений и построение аппроксимаций, для которых в процессе реализации описанного выше алгоритма не встречаются иррациональные функции. Подробнее об этом будет сказано в следующей главе сейчас укажем только вид аппроксимирующих функций для перемещений в плоской задаче теории упругости. Для этого введем косоугольную систему координат, показанную на рис. 3.4. В этой системе имеем аппроксимации [c.144]

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для случая разбиения Q на четырехугольные подобласти, при использовании аппроксимаций степени выше первой, для трехмерных задач теории упругости. В задаче изгиба тонких пластин необходимо различать базисные функции, соответствующие прогибу и производным от прогиба, в связи с чем простая система уравнений (4.8) для определения базисных функций заменяется достаточно громоздкой системой подробнее об этом будет сказано позже. [c.160]

При построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основную идею метода конечных элементов используют аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматривают элементы в форме треугольника или четырехугольника (рис. 7.11). Функция элемента представляется плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число точек, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного —четырем. [c.199]

Основные этапы применения метода конечных элементов для приближенного решения сформулированной вариационной задачи следующие. Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Разбиение на элементы может быть выполнено множеством разных способов, так как выбор размеров и форм элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно -имеют треугольную или четырехугольную форму. Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (23.25) в виде суммы [c.247]

Специальные элементы. Простейший четырехугольный элемент показан на рис. 13.1. Наиболее распространенный выбор функции перемещений в пределах элемента состоит в их параметрическом задании с помощью локальных координат — 1 < 1, Т1<1 [c.84]

Для численного определения коэффициентов влияния (значений функции влияния в заданных точках тел) используем МКЭ. Его разрешающее уравнение (4.43) при заданной единичной силе однозначно определяет перемещения любого узла (точки) рассматриваемого тела. При конкретном расчете тела фланцев разбивают, учитывая их осевую симметрию, на кольцевые элементы треугольного (реже четырехугольного) поперечного сечения с линейной аппроксимацией перемещений внутри элемента. [c.288]

Библиотеки конечных элементов содержат их модели — матрицы жесткости. Очевидно, что модели конечных элементов будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформаций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т. п.), разных форм конечных элементов (например, в двумерном случае — треугольные рши четырехугольные элементы), разных наборов координатных функций. [c.218]

Для начала рассмотрим двумерную область . В этом случае область можно рассматривать в качестве плоской, которую дискретизируют с помощью конечных элементов основных типов (треугольных, четырехугольных). С каждым элементом связана интерполяционная функция или функция формы по перемещениям, т. е. мы имеем возможность связать внутренние значения перемещений и с узловыми значениями и (узлы элементов размещают в его вершинах, а иногда и на гранях в определенных [c.343]

Определим вектор-функцию G [92], которая потребуется в дальнейшем. Когда активный узел к входит в контакт с четырехугольным сегментом, вектор-функция определяется следующим [c.234]

Рассмотрим четырехугольный элемент произвольной формы с узлами в вершинах (рис. 5.7, а). Поставим целью построить систему аппроксимирующих функций, обеспечивающую совместность элементов. Для этого необходимо, чтобы вдоль каждой стороны элемента перемещения н, Uy изменялись по линейному закону. [c.160]

Аналогично могут быть построены и более сложные элементы. На рис. 5.11, а показан, например, четырехугольный элемент с двенадцатью узлами. Помимо четырех узлов в угловых точках на каждой стороне имеется по два промежуточных узла. Поставим в соответствие этому четырехугольнику квадрат со стороной 2 в координатах т] (рис. 5.11, б). Будем считать, что промежуточные узлы квадрата расположены на расстоянии Сд от середин его сторон, так что их координаты равны = q, т]г — 1 или = 1, Лг = Со- В угловых точках = = 1, Лг = 1- Как и в предыдущих случаях, можно подобрать двенадцать функций г ) ( , ti) таких, что каждая из них имеет единичное значение в одном из узлов и обращается в нуль [c.174]

Подобным же образом можно ввести четырехугольные конечные элементы второго и третьего порядков (рис. 7.4). Соотношения, полученные выше для элемента первого порядка, остаются и здесь в силе. Отличие будет лишь в выражении для функций г >г (I, т]). Для элемента второго порядка должны использоваться функции (5.62). Интегрирование в (7.21) следует выполнять при этом по трем точкам Гаусса для каждой из переменных т], а в (7.22) — по двум. [c.236]

В 5.12 описаны два метода, которые могут быть использованы для поузлового интегрирования метод Маркова и метод Эйлера. Первый из них пригоден для тех конечных элементов, у которых в узлах задаются значения функций, но не их производных. Примерами могут служить четырехугольные конечные элементы плоской задачи теории упругости, для которых матрицы г имеют вид (см., например, 5.2) [c.339]

Возможна другая форма упрощения соотношений для элементов большей размерности, позволяющая перейти от них к соответствующим соотношениям для элементов меньшей размерности. Так, Уотсон [7] показал, что совмещение узлов 2, 3 и 6 четырехугольного элемента второго порядка в один узел (рис. 8.11, а) дозволяет получить квадратичные базисные функции для треуголь- [c.226]

Совершенно аналогичным образом, очевидно, могут быть рассмотрены криволинейные четырехугольные элементы. Соответствующие им базисные функции поэтому можно найти в разд. 8.7.2 и 8.7.3. [c.228]

Пусть теперь искомые функции заданы на пересекающихся в точке О отрезках ОА и ОВ акустических характеристик разных семейств (рис. 3.8.2), причем значения этих функций при подходе к точке О вдоль разных характеристик совпадают. По этим данным можно определить решение в четырехугольной области, ограниченной отрезками ОА и 05 и акустическими характеристиками разных семейств, выходящими из точек Л и 5 ). Для получения сетки характеристик и значений искомых функций в ее узловых точках процедура решения элементарной задачи метода характеристик используется совершенно аналогично тому, как это было сделано в гл. II при решении соответствующей задачи. [c.283]

В области между характеристиками АО и 05 функция та же, что и для одиночного профиля АОВ и, очевидно, она удовлетворяет условию обтекания участка О В профиля А 0 В В области между характеристиками Л О и О В функция О та же, что и для одиночного профиля А 0 В и она удовлетворяет условию обтекания участка ОВ профиля АОВ. Таким образом, давление на участках ОВ и О В профилей такое же, как и на участках Л О и АО соответственно, т. е. давление на задних скатах треугольных профилей то же, что и на передних. Вследствие этого общее сопротивление биплана Буземана равно нулю. В четырехугольной области между парами характеристик обоих семейств давление равно сумме давлений в волнах, идущих от участков Л О и Л О обоих профилей, и равно, следовательно. [c.365]

Линия тока АО продолжается до точки О встречи ее с характеристикой второго семейства, идущей из точки А. В области между характеристиками АО и ОВ функция Р определена значениями А/7=А/ а и соответственно 0 = 0а на Л О в области между характеристиками Л О и О В функция С определена значениями Ар = Ар и соответственно 0 = —0а на Л О. Таким образом, в четырехугольной области, образованной пересечением этих двух пар характеристик, А/ = 2А/ а, а 0 = 0аН-(—0а) = 0 в треугольных областях, примыкающих к 05 и 0 5, соответственно Ар = Ар , 0 = —0а и Ар=А/7а, 0 = 0 . Так как течение за точкой пересечения характеристик 05 и 0 5 вновь должно стать параллельным линии симметрии (т. е. в нем [c.367]

Для бигармонического уравнения у (см. пример 1.11) минимальные требования непрерывности состоят в обеспечении непрерывности функции и ее первых производных. Обсудим некоторые свойства интерполяционных функций для треугольных и четырехугольных элементов применительно к данному классу задач. При этом ограничимся рассмотрением тех элементов, которые многократно проверялись в практических расчетах, и было обнаружено, что они имеют достаточную точность. [c.116]

Рассмотрите этапы формирования изопараметрических четырехугольного и треугольного элементов для функций с непрерывностью второго порядка с использованием численного интегрирования. Заметим, что в данном случае требуется преобразовать частные производные второго порядка, а якобиан есть переменная величина. [c.132]

Фиг. 1.5. Моделирование двумерной скалярной функции с помощью треугольных и четырехугольных элементов.

Цри построении дискретной модели непрерывной величины, определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими (фнг. 1.5 или криволинейными (фиг. 1.6) поверхностями. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, а для четырехугольного — четырем. [c.14]

Матрица Якоби является функцией и т] даже для простей ших четырехугольных элементов. Эта зависимость легко обнаруживается при рассмотрении преобразования координат [c.300]

Если стороны элемента прямолинейные, проще всего интегралы в (15.29) вычисляются аналитически. После вычисления коэффициентов матриц они могут быть сохранены в машинной памяти для дальнейшего использования. Рассмотрим линейный четырехугольный элемент, на второй стороне которого (узлы 2 и 3) наблюдается конвективный теплообмен. Вычисление интегралов начнем с вычисления функций формы при 1, что соответствует рассматриваемой стороне. Вспоминая функции формы (15.4), имеем [c.305]

Значения ненулевых коэффициентов в матрицах, получаемых в результате вычисления интегралов (15.29), идентичны значениям, полученным для треугольных элементов. Соотношения (14.17) и (14.18) могут быть применены и к четырехугольным элементам. Выведенные выше формулы могут быть также использованы для элементов с криволинейными границами, при этом величина 36 представляет собой длину дуги рассматриваемой стороны. Этот факт непосредственно следует из соотношения (15.32), в котором длина дуги у выражается через (или т)) с помощью соответствующих функций формы. [c.307]

Получите выражения для функций формы Л з и квадратичного четырехугольного элемента. [c.310]

Получите выражения для функций формы четырехугольного элемента, изображенного ниже. [c.310]

Выпишите функционал Рейсснера в дискретном виде, используя значения функции напряжений Эри как параметры напряжений, а также компоненты перемещений и к V. Обсудите выбор вида функций формы для этих полей в случае четырехугольного элемента с узлами в вершинах четырехугольника. [c.204]

В начале главы изучаются общие условия, которым должны удовлетворять выбираемые представления функций поведения. Далее обсуждаются вопросы задания указанных представлений в виде полиномиальных рядов. Затем описывается регулярный подход к построению представлений в терминах физических степеней свободы, т. е. в виде функций формы. Для треугольных (двумерных) элементов этот подход реализуется посредством использования треугольных координат, а для тетраэдра (трехмерный случай) — тетраэдральных координат. Далее описываются концепции, лежащие в основе интерполяции семейств функций для двух- и трехмерных четырехугольных и шестигранных элементов. [c.227]

Четырехугольный элемент нельзя просто получить из прямоугольника. Можно было бы использовать преобразование координат описанного в гл. 8 типа, ио, к сожалению, в этом случае нарушается критерий постоянства кривизны. По-видимому, такие элементы обладают плохими свойствами. Используя только функции от I и т), лишь для параллелограмма можно удовлетворить критерий постоянства кривизны. [c.199]

Рассмотрим функции формы для треугольных и четырехугольных элементов. Простой прямоугольный элемент исследоваться не будет. [c.216]

В следующем. В четырехугольном элементе (фиг. 10.20) перемещение представляется в виде суммы трех функций [c.221]

С другой стороны, использование сложных изопара-метрических конечных элементов приводит к значительным затратам машинного времени, связанным с тем, что матрицы жесткости таких элементов, как упоминалось ранее, могут быть получены чаще всего путем численного интегрирования. В то же время матрицы жесткости элементов с линейными функциями формы вычисляются очень быстро с помощью аналитических расчетов. Использование плоских треугольных и четырехугольных конечных элементов, а также в форме тетраэдров и парал- [c.51]

Возвращаясь к конечным элементам, заметим, что они в процессе исследования трещин предлагают специальные возможности. Наиболее явная заключается в наличии так называемых специальных элементов, размещаемых в вершине трещины или надреза, с помощью которых ожидаемое сингулярное поведение в вершине трещины встраивается в функции формы [Л ] элемента (см., например, Бысков [57] и Уилсон [58], где рассматриваются ранние этапы этого подхода, и Сведлоу [44], где описан усовершенствованный вариант). Альтернативный подход заключается в использовании четырехугольных элементов [59,60], в которых для моделирования сингулярности узлы, расположенные в центре грани, смещаются на четверть стороны или же имеет место вырождение некоторых угловых узлов, благодаря чему устраняется необходимость в специальных элементах. [c.347]

Суть метода механических квадратур заключается в следующем. Представим некоторую двумерную область V в виде М плоских сегментов, а границу S разобъем на N отрезков. Для вектора смещения заранее выбранной характерной точки границы Р можно записать интегральное уравнение (П1.9). Элементы, на которые дискретизируется граница, будем называть граничными элементами (ГЭ). Геометрия элемента в общем случае произвольна, но, как правило, используются ГЭ в виде отрезков прямых, дуг окружностей либо отрезки квадратичных функций. Сегменты, на которые разделена область V, называют ячейками. Обычно ячейки выбирают в виде треугольных или четырехугольных конечных элементов. [c.56]

В работах И. А. Игнашова [25—30] способом, изложенным в этом разделе, д) рассмотрен ряд задач. В работе [25] решена задача о напряженной посадке кругового диска—х,, ц, в круговое отверстие правильной криволинейной четырехугольной пластинки —Хо, цо, внешность жоторой отобр1ажается функцией (1.22) на внешность единичного круга. [c.432]

В качестве примеров на рис. 14 приведены фазовые портреты — линии равного уровня функции (3.35) — для относительного движения трех и шести хетонов, при условиях существования, соответственно, трех и шести радиальных осей симметрии. При этом области 3 принимают в первом случае вид шестиугольной, а втором — двенадцатиугольной звезды (аналогично тому, как для случая двух хетонов эта область имела форму четырехугольной звезды — рис. 9а). Следует отметить, что в данном случае фазовые кривые построены в осях (х, у) при различных значениях 7 (см. подпись к рисунку), и при переходе к координатам (7а , 7у) линейный масштаб на рис. 14Ь увеличится вдвое. [c.574]

Обобщенный вариационный подход, описанный в гл. 6 и 7, особенно привлекателен при формулировках изгиба пластин. Так как трудно определить и оперировать с полями поперечных перемещений, которые полностью межэлементно согласованы, желательно выбрать удобное поле, которое не удовлетворяет этим условиям, и далее навязать условие непрерывности, задавая ограничения. Для двенадцатичленной функции (12.27), например, необходимо обеспечить лишь непрерывность угловых перемещений. Довольно глубокие исследования в этой области четырехугольных изгибаемых элементов можно найти в статьях [12.16, 12.17]. Этот подход обсудим для треугольных элементов в разд. 12.13. [c.358]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...