Несамосопряженные операторы

Отметим сразу же, что метод Бубнова — Галеркина переносится без изменения на тот случай, когда А является несамосопряженным оператором, а также интегро-дифференциальным оператором вида, встречающегося в наследственной теории вязкоупругости Больцмана — Вольтерра. [c.214]

Отметим, что в случае канала с твэлом и теплоносителем вследствие несамосопряженности операторов основного и сопряженного уравнений теорема обратимости температур, аналогичная (2.40), уже не действует. Можно, однако, доказать более общук> теорему обратимости температурных функций Грина в случае системы канал с твэлом, охлаждаемым движущимся теплоносителем. Для этого перепишем сопряженное уравнение (2.42) для функции Грина в случае постоянных значений теплоемкости твэла и теплоносителя и для следующих условий инверсии [c.44]

Следует отметить, что ввиду несамосопряженности операторов Л и / + из (3.58) теорема обратимости температур, аналогичная [c.89]

Метод Бубнова — Галеркина (см. исторический очерк в [0.11]) возник как видоизменение метода Ритца, связанное с вычислением коэффициентов системы алгебраических уравнений Ритца на основе вариационного уравнения. Позднее было замечено, а затем и доказано, что аналогичным образом можно приближенно решать также и некоторые дифференциальные уравнения, не являющиеся условиями стационарности никакого функционала (краевые задачи для несамосопряженных операторов), т. е. что метод Бубнова — Галеркина является более общим, чем ме- [c.174]

Гохберг И. Ц., Крейн М.. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.— М. Наука, 1965.— 448 с. [c.223]

Математическое обоснование аппарата, развитого в главах I и И, связано с привлечением некоторых разделов современного функционального анализа. В Дополнении, написанном М. С. Аграновичем, кратко изложены необходимые сведения из этих разделов и на этой основе проведено исследование свойств операторов, связанных с важнейшими из рассмотренных в книге задач. Эти операторы — несамосопряженные (что связано с сущностью исследуемых задач), и особенностью применяемого в книге аппарата является использование рядов по собственным функциям этих несамосопряженных операторов. Однако эти операторы, как показано в Дополнении, очень близки к самосопряженным. Это позволило доказать, что дифрагированное поле допускает разложение в нужные ряды, причем при правильном способе их суммирования они быстро сходятся и их можно почленно дифференцировать. В Дополнении указана также асимптотика собственных значений и выведены априорные оценки для решений рассматриваемых задач. Подробнее содержание Дополнения объяснено в 30. [c.16]

Доказательства основаны на использовании средств двух разделов математики, сложившихся сравнительно недавно теории несамосопряженных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве и теории эллиптических дифференциальных и псевдодифферен-циальных операторов в пространствах С. Л. Соболева. Мы приведем, в основном в 31—35, необходимые определения и формулировки теорем из этих двух разделов в удобной для нас форме с краткими пояснениями и ссылками на литературу ), а затем будем применять эти теоремы к конкретным задачам и операторам. [c.294]

Мы рассматриваем не все задачи, затронутые в главах I и II, а только наиболее типичные и, может быть, наиболее важные из задач, допускающих сведение к уравнениям Фредгольма в Ь 8) или Ь У+), где К+ — область, ограниченная поверхностью (или кривой) 5. Подробный разбор всех вариантов этих задач занял бы слишком много места. Все вторичные математические трудности мы устраняем, предполагая поверхность 5 гладкой и замкнутой, т. е. не имеющей ребер и отверстий, а диэлектрическую проницаемость г х) — меняющейся скачком при переходе через 5. (Таких трудностей особенно много в конкретных прикладных задачах, которые разбирались в главе IV.) К сожалению, в отношении задач, рассмотренных в 6 и 8, пока удалось выяснить очень немногое, и мы о них здесь не будем говорить. Не проанализирован также формальный метод Ритца отыскания стационарных точек функционалов (см. гл. III). Отметим, что другие методы вычисления собственных значений несамосопряженных операторов описаны, например, в [10], [14]. [c.297]

Системы векторов и несамосопряженные операторы в гильбертовом пространстве [c.297]

Мы введем шкалу гильбертовых пространств >5, связанную с оператором о- В 35 она будет использована для формулировки признаков базисности системы корневых векторов несамосопряженного оператора близкого к 0- Она более удобна, чем одно гильбертово пространство ф, если иметь в виду приложения к псевдо-днфференциальным операторам на замкнутой поверхности (ср, [28], [28а]). [c.329]

Эта теорема в известной мере отражает целое направление в теории несамосопряженных операторов. Оно начато в работах М. В. Келдыша [44], [45], где для более общих, чем здесь, операторов в Ь доказаны дискретность спектра, полнота и неравенство arg[ij < <8(/ /о(е)) со сколь угодно малым е > 0. Для s = 0 при менее жестком условии, чем 2), утверждение (35.1в) принадлежит А. С. Маркусу [52] (см. также [37]), утверждение (35.16) с у О — В. Э. Кацнельсону [42, 43] и утверждение (35.1а)—В. Э. Кацнельсону и В. И. Мацаеву (см. 43]). В [43] содержится также последнее утверждение теоремы 1 для у О. В высказанной здесь форме теорема 1 легко выводится из предложений 1—3 в [28]. [c.336]

Теоремы о суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряженных операторов и исчисление псевдодифференциальных операторов имеют примерно одинаковый возраст 10—15 лет. Как видно из сказанного, задачи этой книги побудили сопоставить эти две области в анализе, и это уже привело к расширению приложений и некоторому усовершенствованию известных теорем. Но вряд ли эту деятельность можно считать завершенной скорее всего в настоящем дополнении подведен итог лишь первого ее этапа. Вероятно, вопросы, фактически поставленные в этой книге, привлекут внимание многих математиков. [c.412]

М. С. Агранович, Несамосопряженные операторы в некоторых скалярных задачах дифракции на гладкой замкнутой поверхности, Радиотехника и электроника XX, X 1, 39—48 (1975). [c.414]

Н. Голубева, Некоторые скалярные задачи дифракции и связанные с ними несамосопряженные операторы. Радиотехника и электроника XXI, № 2, 219—227 (1976). [c.415]

В. Э. К а ц н е л ь с о н, О сходимости и суммируемости рядов по корневым векторам некоторых классов несамосопряженных операторов, канд. дисс., Харьков, 1967. [c.415]

Уравнение (6) можно представить как действие несамосопряженного оператора [c.261]

К сожалению, математическая теория таких спектральных задач развита слабо. Известна, например, теория несамосопряженных, операторов Лежандра [131], в которой доказывается, что спектры этих операторов состоят из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, не имеющих конечных предельных точек. Линейная оболочка множества собственных и присоединенных функций обобщенного оператора Лежандра плотна в Ь2 (—1, 1) [131]. Если в уравнении (24) в последнем члене положить Яп = сОп(1 —ю ) и считать этот множитель собственным значением, а все остальные Юп в (24), (26) — данными, то такое уравнение можно записать в виде 2 Тп = ЯпТп, где 2 — несамосопряженный обобщенный оператор Лежандра. Тогда все указанные свойства переносятся на полученное уравнение. [c.265]

При таком подходе для рассматриваемого уравнения собственное значение не обязано равняться со (1 —Юп). Однако оператор 2 является обобщенным несамосопряженным оператором Лежандра при произвольных конечных Юп, в частности для таких ю , которые удовлетворяют уравнению Яя = со (1 — соп). Поэтому можно надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляется возмон ным), что свойство полноты собственных функций для задачи (24), (26) также будет иметь место. Это заведомо так для частных случаев Рг = О и Ке = О, поскольку тогда задача превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значение 0)1 = 1 при всех значениях чисел Ке и Рг, что диктуется законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная функция (11) отвечает решению задачи с заданным ненулевым потоком тепла на бесконечности. [c.265]

Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. Труды 4-го Всесоюзн. матем. съезда, I. Л. Изд. АН СССР, 101—120. [c.643]

Поскольку рассматриваются линейные задачи, то представление (6.1) имеет смысл. Задача Ламба относилась именно к этому случаю. Функция Ф в общем случае является решением сложной краевой задачи, и никаких общих методов ее решения не существует. Заметим, что в ее граничные условия на свободной поверхности входит также и число ю. Таким образом, с математической точки зрения задача о свободных колебаниях — это некоторая спектральная задача теории несамосопряженных операторов. [c.70]

Мы видели, что все вопросы разрешимости задач теории линейных колебаний идеальной жидкости весьма элементарны и структура спектра может быть изучена с большой степенью подробности, В вязкой жидкости все указанные вопросы качественно сложнее, поскольку они сводятся к проблемам спектральной теории несамосопряженных операторов. В этой области пока еще очень мало результатов теоретического характера. [c.72]

С математической точки зрения возникающие здесь задачи на собственные значения являются задачами о собственных значениях некоторого линейного несамосопряженного оператора в функциональном пространстве. Для установления полноты системы собственных функций (или хотя бы собственных и родственных им присоединенных функций) такого оператора в ряде случаев можно воспользоваться теоремой Келдыша (1951) (см. также [c.100]

Теория несамосопряженных операторов находится в стадии становления [1,9—И] и пока далека от той степени завершенности, которая присуща теории самосопряженных задач. Несамосопряженным операторам присущи весьма необычные свойства достаточно сказать, что они могут вообще не иметь собственных функций. Однако и в тех случаях, когда собственные функции имеются, они не всегда обладают свойством базисности. Тогда приходится модифицировать классический спектральный метод, вводя присоединенные функции и т. д. [c.30]

В ряде случаев бывает полезен другой вариант спектрального метода, в котором в качестве базиса используются собственные функции оператора, в некотором смысле близкого к данному (например, в качестве такого оператора может быть использована самосопряженная часть рассматриваемого несамосопряжен-ного оператора, отвечающая той же электродинамической задаче, но без учета потерь). При этом для Ьк дз) и Ск уже не получается явных выражений дифференциальные уравнения для Ьк(дз) оказываются связанными, а для Ск получается система линейных -алгебраических уравнений. В дальнейшем мы остановимся на этих вопросах более подробно. Сейчас отметим только, что многие практически интересные задачи электродинамики систем с потерями порождают несамосопряженные операторы, которые являются слабыми возмущениями самосопряженных операторов. По своим спектральным свойствам они весьма близки к самосопряженным операторам. Специфика несамосопряженных задач проявляется в них не в полной мере или не проявляется вовсе. Поэтому для них при наличии достаточ.чо строгого обоснования могут быть использованы обычные схемы решения. [c.30]

Возможность разложения (3.2.2) в рассматриваемой задаче в отличие от случая идеальной проводимости неочевидна и требует специального обоснования. Для несамосопряженного оператора, отвечающего однородной задаче о волноводе с комплексным импедансом стенок в общем случае (см., например, [1]), имеет место полнота семейства корневых функций, содержащего кроме собственных также и присоединенные функции. Условия их существования определяются значениями приведенного импеданса т) в главе 1 сформулированы довольно общие достаточные условия для TJ, гарантирующие отсутствие присоединенных волн. В дальнейшем мы будем считать эти условия выполненными, так что использование разложения (3.2.2) законно. [c.122]

Третья глава относится к теории собственных колебаний упругих сильно неоднородных тел. Эти вопросы до сих пор мало-освещены в монографической литературе. В начале третьей главы даны теоремы общего характера о поведении спектра семейства абстрактных операторов, зависящих от параметра и действующих в различных пространствах, также зависящих от параметра. На основе этих общих теорем исследуется поведение собственных значений и собственных функций краевых задач, асимптотический анализ которых представлен в гл. II, а также некоторых других родственных задач. Даны оценки отклонения собственных значений и собственных функций задачи с параметром и усредненной задачи. Все задачи исследованы единым, предложенным в 1 гл. III, методом. Этот метод может найти дальнейшие широкие применения, так же как и теоремы, изложенные в 8 этой главы о несамосопряженных операторах. Общий метод исследования спектров операторов, зависящих от параметра, применяется также для исследования спектральных задач в областях с осциллирующей границей, задач для эллиптических уравнений в перфорированной области, вырождающихся на границе полостей, а также для изучения свободных колебаний тел с концентрированными массами. [c.7]

Здесь мы приводим некоторые известные результаты из теории операторов, которые будут использоваться в дальнейшем. Кроме того, в 1 гл. III дано доказательство теорем о сходимости собственных значений и собственных элементов для последовательности абстрактных операторов, определенных на разных пространствах. Подобные результаты для несамосопряженных операторов изложены в книге [11]. На этих теоремах основаны все дальнейшие исследования спектральных задач теории усреднения, а также вопросов о поведении спектров сингулярно возмущенных операторов, рассмотренных в данной главе. [c.210]

О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ G-СХОДЯЩЕЙСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ [c.292]

Излагаемый ниже метод с соответствующими моди шкациями можно применить и к другим задачам на возмущение. Этот метод аналогичен "дискретной сходимости", рассмотренной в работах Штуммеля [1, 3], и применим к несамосопряженным операторам. В связи с этим заметим, что самосопряженность не используется в доказательстве теоремы 6.1 и 6.2 она используется только при доказательстве теоремы 6.3. [c.291]

В качестве основного справочника по материалу 1 - 4 мы рекомендуем книгу Като [2]. Главная особенность применяемого метода состоит в том, что в нем не используется самосопряженность (исключение здесь составляет теорема 6.3). Хотя в большинстве известных физических примеров самосопряженность имеет место, общие результаты могут быть доказаны и для несамосопряженных операторов. Так обстоит дело в задаче усреднения ( 3) для само- [c.295]

Развитие методов, основанных на компактных аппроксимациях, фактически происходило в двух направле1шях — конструирование нецентрированных схем третьего порядка и центрированных схем четвертого порядка. Под нецентрированными (или несимметричными) схемами здесь условно понимаются схемы, содержащие операторы, меняющие свою самосопряженную или кососимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов уравнений или от знаков собственных значений матриц в случае систем уравнений. Наоборот, компактные схемы, разностные операторы в которых не переключаются при изменении этих знаков, в дальнейшем будем называть центрированными (или симметричными), имея в виду, что соотношения типа (0.17) для первых и вторых производных в этом случае будут иметь равные по модулю коэффициенты a j и a ,a также j3 , и jSi. Не-центрированные схемы треть. го порядка были впервые предложены, исследованы и применены автором этой книги [4, 5, 27 -29]. Первая из этих публикаций относится к 1972 г. Позднее появились центрированные схемы четвертого порядка [30-36], предложенные почти одновременно несколькими авторами (первое упоминание о таких аппроксимациях в [37], см. также [1]). Если последние применялись главным образом при аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, то схемы третьего порядка прошли всестороннюю апробацию для различного класса задач - в случае уравнений Эйлера и Навье-Стокса сжимаемого газа (задачи о внутренних и внешних течениях в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса), в случае уравнений гидродинамики, записанных в различных формах, в случае уравнений Рейнольдса осредненных турбулентных течений и т.д. Данная книга посвящена именно этому классу компактных схем. Компактные аппроксимации рассматриваются в ней прежде всего как эффективный способ дискретизации конвективных членов, содержащих несамосопряженные операторы наоборот, дискретизация членов с вязкостью вследствие самосопряжениости соответствующих операторов интерпретируется как второстепенная часть алгоритма, реализуемая различными способами. Таким образом, область целесообразного применения описываемых здесь методов — задачи с преобладающей ролью конвекции или чисто конвективные задачи. Именно таковыми в большинстве практически важных случаев являются задаад аэрогидродинамики. Благоприятные качества схем третьего порядка обусловлены в случае уравнений гидро-12 [c.12]

Толстых А.И. Метод внутренних итераций для решения пространственных задач с несамосопряженными операторами // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, № 3. С. 538-541. [c.224]

Гохберг И.Д., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов.—М. Наука, 1965. [c.415]

Однако вопрос о существовании такого базиса становится нетривиальным. Существуют несамосопряженные вполне непрерывные операторы, вообще не имеющие корневых векторов. Таковы вольтерровы операторы, [c.293]

Случай, когда разница порядков велика, не привлекал особенного внимания, хотя и был рассмотрен в [52], а это именно тот случай, который нужен в задачах главы II. Это задачи для эллиптических уравнений второго порядка, содержащие спектральный параметр в граничном условии на компактной поверхности 5. Сводя их на 5, мы приходим к рассмотрению эллиптических псевдодифференциальных операторов L = Lo- -Ll первого порядка, очень близких к самосопряженным полу-ограниченным операторам о (см. 36, 37). В частности, оказывается оператором порядка — оо, если несамосопряженность имеет причиной лишь условия излучения или граничные условия на поверхности, не имеющей общих точек с 5. [c.410]

Если оператор Ь несамосопряженный, то сопряженный ему оператор действующий на функции 1 )+, которые часто называются сопряженными функциями и могут удовлетворять граничным условиям, отличающимся от тех, которым удовлетворяют функции ф, можно определить из условия, что [c.198]

Для общего случая задач с энергетической зависимостью потока нейтронов интегральное ядро асимметрично даже для изотропного рассеяния, и оператор переноса нейтронов, как было показано, несамосопряженный. В этом случае соотношение между потоком нейтронов и сопряженной функцией определяется только уравнением (6.12). Далее будет показано (см. разд. 7.2.3), однако, что для тепловых нейтронов поток и сопряженная функция связаны простым соотношением, поскольку оператор переноса тепловых нейтронов может быть довольно просто приведен к почти самосопряженному виду. [c.205]

В основе соотношения взаимности (см. уравнение (7.20)1 лежит тот факт, что, используя условие детального равновесия, оператор переноса тепловых нейтронов можно сделать почти самосопряженным с помощью элементарного преобразования. С теоретической точки зрения важно, что оператор переноса можно, таким образом, сделать почти самосопряженным, так как понятно, что самосопряженные операторы лучше, чем несамосопряженные. Следовательно, для задач термализации можно сделать заключения относительно существования собственных значений и других свойств решений, которые невозмол<ны для более общих задач с энергетической зависимостью [11]. [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...