Серпинского

Рисунок 2.3 - Ковер Серпинского Физический смысл определения фрактальной размерности регулярных фракталов сводится к след> ющему. Прямая линия представляет собой множество точек в пространстве при любом изменении масштаба мы получаем то же самое множество точек. Кроме того, параллельное смещение линии не изменяет множество. Это означает, что прямая инвариантна относительно переноса и изменения масштаба, т.е. обладает свойством самоподобия. Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна, соответственно, 1, 2 и 3. В случае фрактальных множеств маспггабный множитель равен

НИИ салфетки Серпинского (см. рисунок 2.2) треугольник заменяется N=3 треугольниками уменьшенными с коэффициентом г = . В этом случае размерность подобия будет равна D = D = — = 1,58... [c.82]

Слева рисунка показана начальная процедура построения треугольной салфетки Серпинского, а справа - четвертое поколение предфракталов. [c.82]

В случае ковра Серпинского (см. рисунок 2.3) затравкой яв гяется квадрат, а образующий элемент состоит из N=8 квадратов. Они получаются из затравки путем ггреобразования подобия (сжатием) с коэффициентом подобия 1 [c.82]

Е. Хорнбоген [6] использовал салфетку Серпинского в качестве геометрического аналога фрактальности мартенситных структур при описании процесса образования мартенсита а в исходном аустенитном зерне р. При мартен- [c.82]

Для апробации предложений методики были получены мультифракталь-ные спектры для модельного ковра Серпинского с точно известной фрактальной размерностью D = 1,7925 (измерения проводили для набора 1п4 [c.119]

Рис 12, Этапы построения плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского [c.27]

Похожий алгоритм используется для построения салфетки Серпинского (см. рис. 12). Здесь из середины плоского треугольника вырезается треугольник с длиной стороны, равной половине длины стороны исходного треугольника. Фрактальная размерность этого построения лежит между 1 и 2. [c.27]

Пример аппроксимации природных фракталов регулярными предфракталами, получаемыми с помощью рекуррентных процедур разбиения исходной фигуры на части, или покрытия аппроксимируемой структуры элементами определенной формы и размера представлен на рис. 21. Данная структура отражает фрактальную модель структуры дисперсно-наполненных композитов на базе ковра Серпинского (светлые области -матрица, темные - дисперсные включения D = 1п8ДпЗ). [c.41]

Например, обобщение процедуры построения ковра Серпинского иллюстрируется на рис. 23, где параметр R принимает одно из двух возможных значений или /fj с вероятностью р - р) соответственно. Получаемая в итоге статистическая самоподобная структура в масштабном интервале самоподобия имеет фрактальную размерность [c.42]

Эффективным оказалось сопоставление исследуемых структур с известными геометрическими фрактальными структурами. Хорнбоген [129] при анализе микроструктуры чечевицеобразного мартенсита рассмотрел треугольник Серпинского (рис. 56) в качестве геометрического аналога фрактальности мартенситных структур (рис. 57). При мартенситном превращении площадь поверхности раздела а/Р-фаз увеличивается с увеличением числа актов фрагментации х, при этом доля остаточного аустенита р уменьшается. Поэтому в качестве измеряемого параметра при определении фрактальности мартенситной структуры была выбрана длина линии L ., отвечающей пересечению границы раздела фаз с плоскостью листа. Если использовать аналог в виде треугольника Серпинского, то после соответствующего акта фрагментации можно представить в виде [c.80]

Рис. 56. Построение регулярного треугольного ковра Серпинского для моделирования процесса мартеиситного превращения

Темные кружки отвечают геометрическим фракталам различным вариантам кривой Кох (/, 4-6), ковру Серпинского с треугольным покрытием (J), ковру Серпинского с квадратным покрытием и кривым Мандельброта-Гивена с ветвями и без ветвей (2) [c.158]

Рис. 1.1. Примеры регулярных фракталов а — кривая Кох б — ковер Серпинского

Можно построить плоский объект с размерностью меньше двух. На рис. 1.1, б приведен пример такого объекта— ковер Серпинского. В качестве затравки использован квадрат. Для получения первого поколения фигуры квадрат делится на девять частей и центральная из них удаляется. Далее над каждой оставшейся частью процедура повторяется. Фрактальная размерность ковра Серпинского [c.25]

Объемным аналогом ковра Серпинского является губка Серпинского, которая представляет собой пример пористого тела — трехмерного фрактала. [c.25]

Точкой отсчета времени возникновения теории фракталов принято считать двадцатые годы XX в., когда математиками было сформулировано довольно абстрактное геометрическое понятие — размерность Хаусдорфа — Базиковича. Затем понадобилось более шестидесяти лет, чтобы были найдены геометрические объекты (канторовское множество, кривая Кох, ковер Серпинского), дающие зримое представление об объектах дробной топологической размерности. В 1982 г. в монографии Фрактальная геометрия природы Б. Мандельброт доказал существование фрактальных объектов в природе. Однако до самого последнего времени методы теории фракталов составляли содержание самых сложных разделов теоретической физики — квантовой теории поля, статистической механики, теории фазовых переходов. [c.289]

Дипольпый остаток такой молекулы увеличивает диэлектрическую постоянную растворителя, влияет на его оптические и другие свойства. и. СерпинскиИ. [c.350]

Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252]

Докажем теорему Боля-Серпинского-Вейля пусть ср — поворот окружности М на угол, не соизмеримый с 2тг [c.128]

Полученный результат, принадлежащий П. Болю (Р. Bohl [1]), В. Серпинскому (W. Sierpinsky) и Г. Вейлю (И. Weyl) [1], [2], [3], часто называют теоремой о равномерном распределении по модулю 1. Это одна из первых эргодических теорем. Исторически она родилась из попыток Лагранжа [1] решить проблему среднего движения (см. пример 3.1, гл. 1, и приложение 13). [c.134]

Рис. 3.2. Первые шаги построения треугольной салфетки Серпинского. При бесконечном числе повторений этих шагов получается фрактальная кривая с размерностью = 1п3/ 1п 2 1.58496...

Рис. 3.3. Первые шаги построения ковра Серпинского. В пределе - фрактальная кривая с размерностью = 1п8/1пЗ 1.892789...

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...