О числе независимых переменных процесса

О ЧИСЛЕ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССА [c.63]

Первая глава посвящена термодинамическим основам термоупругости. Изложение начинается с основных положений классической термодинамики. При рассмотрении второго закона термодинамики предпочтение дается новой его формулировке, разработанной профессором Киевского университета Н. Н. Шиллером в 1897—1901 гг., немецким математиком Каратеодори в 1909 г. и Т. А. Афанасьевой-Эренфест в 1925—1928 гг. Эта формулировка устанавливает общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов — принцип адиабатической недостижимости, удобный для математического выражения второго закона термодинамики в случае термодинамических систем, состояние которых определяется большим числом независимых переменных (деформируемых твердых тел и др.). [c.6]

Основное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых деформируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная [c.6]

Все параметры, определяемые в процессе эксперимента, можно подразделить на две группы. К первой группе относят величины, которые находятся в результате прямых измерений, например длина, измеренная линейкой, время, измеренное секундомером, и т. д. Ко второй группе относят величины, которые определяются в результате вычислений и представляют собой функции некоторых аргументов. Определенным преобразованием функциональной зависимости, определяющей искомую величину, можно добиться, чтобы эта величина зависела от одной или нескольких из следующих разновидностей параметров от параметров, которые можно считать точными (независимые переменные, числовые коэффициенты, в том числе такие как я, основание натурального логарифма е, которые могут быть представлены со сколь угодно высокой точностью, и т. п.) от приближенных величин, определенных с ограниченной, но известной точностью, например табличных данных о теплофизических свойствах вещества от приближенных [c.37]

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (л-т е о р е м е) зависимость между N размерными величинами, определяющими данный процесс, может быть представлена в виде зависимости между составленными из них N—К безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с независимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. Например, в уравнении [c.92]

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, выяснилось, что для линейных уравнений и минимизируемых функционалов при линейных граничных условиях указанные условия оказываются, как правило, достаточными условиями оптимальности (с теми оговорками, о которых шла речь выше,— см. стр. 235). Аналогичные результаты получены и для тех случаев, когда процесс описывается совокупностью уравнений в обыкновенных и частных производных с различными граничными и начальными условиями. Условия оптимальности для задач с нефиксированной областью изменения независимых переменных (в том числе и задач на оптимальное быстродействие) получены в аналогичной форме. [c.238]

Таким образом, если условие дФ д1 = О нарушается в процессе движения, мы не можем выбрать бх, Ьу, 6z так, чтобы они были равны bt, Уравнение дФ д1=0 является условием того, что уравнение связи (1) не содержит явно времени. 352. Большое преимущество теоремы живой силы состоит в том, что она сразу дает соотношение между скоростями рассматриваемых тел и переменными или координатами, определяющими положение тел в пространстве В частности, если по смыслу задачи положения всех тел могут быть определены одной переменной, то уравнение живой силы полностью определяет движение. Вообще говоря, теорема живой силы часто дает первый интеграл уравнений движения второго порядка. Если, однако, для рассматриваемой системы справедливы также некоторые теоремы, установленные в п. 282, так что общее число первых интегралов равно числу независимых координат системы, то также отпадет необходимость выписывать уравнения движения второго порядка. (См. п. 143 ) [c.304]

Это уравнение содержит три переменные 2, 1 вместо п + 1 переменных, имевшихся в исходных уравнениях для dQ и йЬ, Уменьшение числа переменных в выражениях для dQ и Ь, а именно переход от я + 1 всего лишь к трем переменным, оказалось возможным благодаря использованию второго начала термодинамики. Более того, эти три переменные зависят друг от друга, так что независимых переменных всего две. На это указывает уже тот факт, что в правой части выражения для (10 находятся два, а не три дифференциала, а именно 2 и сИ, В этом же можно убедиться и из следующих соображений. При адиабатическом процессе (10 = О, поэтому уравнение адиабаты имеет вид 2 — Ыt = Допустим, что переменные [c.28]

Согласно формуле (2.1.22), для вычисления среднего числа положительных пересечений (Н) заданного уровня Н стационарным процессом Г) ( ) на интервале времени [О, Т] = [О, 1] необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности (г), Г) ) = р (т) ( ), Г) ( )) для значений процесса т] t) и его производной т) ( ) в совпадающие моменты времени. Используя определение (1), функцию р (г), г) ) можно получить следующим путем [75]. Сначала записывается совместная плотность вероятности 2п взаимно независимых нормально распределенных случайных переменных t) и ( ). Затем в этой плотности вероятности выполняется переход к интересующим нас переменным П (О и т] t) при помощи надлежащей замены переменных (перехода к сферическим координатам). Окончательное выражение для Р (г). Г) ) = р %, % ) имеет при этом вид [c.75]

Наконец рассмотрим влияние на модель носледнего фактора — старения сопротивляемости элемента в ходе его функционирования. Необратимые изменения предельных свойств элемента, вызванные старением в процессе функционирования, находят в модели отражение в форме изменения от нагружения к нагружению начала отсчета и масштаба сопротивляемости 2 . Однако, пользуясь допущенпем о независимости переменных й и можно отобразить изменения, связанные со старением сопротивляемости элемента, в эквивалентных изменениях (от нагружения к нагружению) второй составляющей модели — нагрузки а, которая окажется теперь зависимой от номера п нагружения. Такой перенос не изменяет величины вероятности отказа восстанавливаемого элемента, определяемой по критерию (8.49), так как она определяется только соотношением мелоду й и и не зависит от их абсолютных (в том числе и случайных) значений. [c.133]

Как правило, для пространственных координат х, у, г, являющихся независимыми переменными, может быть выбран тот или иной естественный масштаб L. Примером, свидетельствующим о противном, служит задача о продольном натекании неограниченного потока на тонкую неограниченную пластину. Очевидно, развитие пограничного слоя у поверхности пластины определяется расстоянием х от ее передней кромки. Однако возникает вопрос, в долях какого отрезка уместно выражать эту координату Здесь неизбежно прибегнуть к искусственному масштабу длин, который прямо или косвенно выражался бы через фиксированные параметры задачи. Такого рода масштаб подсказывается либо структурой подходящего безразмерного комплекса, вытекающего из уравнений процесса, либо он конструируется с помощью интуитивных качественных рассуждений. В примере с неограниченной пластиной расстояние х целесообразно выражать сообразно структуре числа Рейнольдса, в долях от = где w — скорость [c.98]

Более строго, в совр. понимании, П. т. — учение о методах исследования явлений, основанное на идее, что каждая задача должна рассматриваться в своих, характерных для нее нереме пных, представляющих собой безразмерные степен1н,1е комплексы (см. Размерностей анализ), составленные из величин, существенных для исследуемой задачи. Конечная цель исследования — определение количеств, закономерностей явлений, т. е. установление зависимостей, к-рыми неизвестные величины, существенные для процесса, определяются как ф-ции величин, известных непосредственно по постановке задачи. Однако аргументами в этих зависимостях являются пе только независимые переменные, но и параметры задачи (размеры системы, физ. константы, режимные параметры). Значения параметров фиксируются условиями задачи и изменяются при переходе от одного частного случая к другому. Папр., при рещении задачи о перераспределении тепла в твердом теле темп-ра (искомая переменная) определяется как однозначная ф-ция координат и времени (независимые переменные). Однако ур-ние, связывающее темп-ру с координатами и временем, включает ряд параметров (размеры тела физ. константы вещества — теплопроводность, теплоемкость, плотность величины, характеризующие начальные и граничные условия, — темп-ру тела перед началом процесса, темп-ру поверхности тела или окружающей среды коэфф. теплоотдачи). Т. о., темп-ра оказывается ф-цией большого числа аргументов различного типа. [c.80]

Заканчивая обсуждение аналитических моделей микроструктуры аэрозоля, можно согласиться с мнением автора монографии [20] о том, что причина, по которой логарифмические нормальные распределения наиболее адекватно описывают реальные спектры аэрозольных частиц, заключается в следствиях центральной предельной теоремы. Как показано Колмогоровым [16], если статистичес1Йя переменная есть результат процесса, в котором выход пропорционален уже достигнутой величине переменной, то ее статистическое распределение должно быть логарифмически нормальным. Поскольку процессы, определяющие трансформацию состояния частиц в атмосфере, действительно являются функцией приобретенного ею размера, то логнормальное распределение является, по-видимому, естественным свойством этой системы. По этой же причине реальную кривую распределения счетной или массовой концентрации любой конфигурации можно аппроксимировать суперпозицией логнормальных распределений, количество которых соответствует числу независимых конкурирующих источников [20]. [c.47]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Согласно правилу фаз система, состоящая из газа и конденсированной фазы фиксированного состава, независимо от действительного числа компонентов имеет одну степень свободы. Это означает, что для сохранения этого фиксированного состава (он может соответствовать любой степени дефектности) из двух переменных (температура и давление) лишь одна является независимой, тогда как вторая — ее функция, например ро, —ЦТ). Следовательно, при синтезе феррита любому изменению температуры в процессе спекания и термической обработки должно соответствовать изменение давления кислорода в атмосфере так, чтобы это давление было равно равновесному для феррита данного состава. Разумеется, что в зависимости от природы феррита и степени его дефектности функция ро, =/( ) должна иметь различный вид. Вместе с тем для феррита со структурой шпинели удалось найти некоторые общие закономерности [2], облегчающие выбор контролируемой атмосферы спекания. В первую очередь следует отметить, что для различных ферритов со структурой шпинели Ме Ме Рез-д -4,04 i Y, характеризующихся одинаковым значением Y, парциальная мольная энтальпия кислорода почти одинакова. Например, когда у 0 (состояние, которое у многих ферритов достигается на низкокислородной границе шпинельного поля) АЯо = —144 4 ккал1г-моль. Постоянство относительной парциальной мольной энтальпии кислорода в ферритах различного химического состава в известной мере свидетельствует о том, что энергия связи кислородных ионов в решетке мало зависит от природы двухвалентных катионов. Это явление довольно просто объяснить в рамках чисто ионной модели строения ферритов. Ионы Со +, Fe +, Ni +, Zn +, Mg2+, Mn +, имеющие одинаковый заряд и довольно близкие значения радиусов, сравнимы друг с другом по величине электростатического взаимодействия и одинаковым образом стабилизируют кубическую упаковку ионов кислорода в шпинели. Так как, по определению, [c.132]

Хотя прямое применение П-теоремы приводит к обязательному появлению одних и тех же т переменных в каждом члене, это не единственно возможное для них функциональное объединение. Если, например, У, 2)= О, будет также справедливо равенство р2[ХУ, 1, 1Х) =0. Иными словами, различные П-члены, получаемые при применении этой теоремы, можно произвольно объединять друг с другом при соблюдении условия, чтобы количество независимых безразмерных групп после объединения не изменялось. Вследствие этого процесса переменные, общие для двух объединенных групп, будут взаимно уничтожаться (для чего обычно и проводится объединение), в результате чего одна или более из первоначальных повторяющихся переменных исчезнут из данной группы. При дальнейшем исследовании движения жидкости по трубам будет обнаружено, что десять различных функциональных групп могут быть представлены или путем последовательного различного подбора повторяющихся переменных, или путем последовательного перекрестного перемножения первых двух групп параметров (т. е. К = = Ке2Е и т.д.) при большом числе переменных, однако, указанный процесс должен рассматриваться как шаг назад. [c.20]

Для рациональной организации производства необходимо, кроме того, знать, сколько отказов данного вида будет поступать в зоны ремонта в течение смены, недели, месяца будет ли их количество постоянным или переменным и от каких факторов оно зависит, т. е. речь идет не только о надежности конкретного автомобиля, но и группы автомобилей, например, автомобилей данной модели, колонны, АТП. При отсутствии этих сведений нельзя рационально организовать производство, т. е. определить необходимое число рабочих, размеры производственных площадей, расход запасных частей и материалов. Взаимосвязи между показателями надежности автомобилей и суммарным потоком отказов для группы автомобилей изучают с помощью закономерностей третьего вида, которые характеризуют процесс восстановления — возникновения и устранения отказов и неисправностей изделий во времени. Предположим, что фиксируются моменты появления однородных отказов в группе из п автомобилей (рис. 2.6). Очевидно, что наработки на отказы, во-первых, случайны для агрегата каждого автомобиля и описываются соответствующими функциями F(x) и f(x), во-вторых, независимы у одинаковых агрегатов разных автомобилей, в-третьих, при устранении отказа в зоне ремонта безразлично, от какого автомобиля поступает отказ и какой он по счету. К важнейшим характеристикам закономер- [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...