Алгебраическое решение уравнений 3 и 4-й степеней

ГЛАВА 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 3 И 4-й СТЕПЕНЕЙ [c.10]

Нетрудно видеть, что уравнения (27) после подстановки значений Xs (/s Zs Пц (г / =, 2, 3) Ф Од, выраженных алгебраически через постоянные параметры механизма и угол ф, будут содержать только эти последние. Возможность приведения уравнений (27) к такому виду неоспорима, поскольку все входящие в него параметры определяются через постоянные параметры и угол ф путем алгебраического решения уравнений не выше четвертой степени. Эта форма уравнений здесь не приводится ввиду громоздкости. Уравнения пригодны для постановки и решения задач синтеза направляющих механизмов рассматриваемого вида любыми известными методами интерполирования, квадратического и наилучшего приближения. Ограничимся здесь рассмотрением проблемы синтеза направляющего пространственного четырехзвенника по методу точечного интерполирования. [c.47]

В соответствии с определением 8.8.1, чтобы найти собственные значения позиционной линейной системы, достаточно решить уравнение частот. В общем случае это — алгебраическое уравнение степени п. Как видно из рассмотренных примеров, при малых п, а также в некоторых других исключительных случаях его решение может быть [c.582]

Применение этого метода встречает, однако, затруднение. Алгебраическое решение системы уравнений (19), (20) приводит к уравнению четвертой степени, и предшествующие вычисления вводят корни этого уравнения. Мы не будем останавливаться на этом осложнении вычислительного характера. [c.263]

Уравнение (10.11) является алгебраическим уравнением и-й степени относительно со . Корни его определяют те частоты, при которых функции (10.9) могут служить решениями уравнений [c.351]

Это равенство представляет собой алгебраическое уравнение степени 2п относительно X и имеет 2п корней типа характеристическое уравнение). При этом общее решение системы дифференциальных уравнений запишется в виде [c.155]

Используя любые три выражения этой алгебраической системы уравнений первой степени, найдем решения для указанных выше задач лучистого теплообмена. [c.157]

I. Решение в полиномах. Решение плоской задачи осуществимо полуобратным методом, если сначала задаться аналитической формой функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению (6.11), а затем определить, каким нагрузкам на контуре она соответствует. В качестве бигармонической функции можно принимать алгебраические полиномы разных степеней. [c.62]

Рассмотрим наиболее простой полуобратный метод решения с помощью целых алгебраических полиномов различных степеней. Сущность метода состоит в том, что функцию ф(х, ) задают в виде полинома, коэффициенты которого подбираются так, чтобы удовлетворялось бигармоническое уравнение (17.22) и граничные условия. [c.351]

Определенному решению этих уравнений действительно соответствует при достаточно малых значениях ц единственное аналитическое относительно J. и устойчивое периодическое решение основной системы с периодом ((г), обращающееся при И = О в порождающее, если все корни алгебраического уравнения степени k — 1 [c.55]

Попытка решения уравнения (8-78) приближенным методом, например с использованием разложения логарифма в ряд Маклорена, приводит к необходимости нахождения корней алгебраических уравнений высоких степеней. Решение в этом случае оказывается весьма громоздким. Решим (8-78) с помощью следующего искусственного приема. Введя в (8-78) в качестве параметра относительную заданную скорость [c.453]

С помощью системы уравнений (8.22) в принципе можно решать и третью из основных задач расчета трубопроводов, а именно дан напор в начальной точке М, известны расходы жидкости, которую нужно подавать во все конечные точки ветвей, даны все местные гидравлические сопротивления, давления в конечных точках и все геометрические данные, кроме диаметров труб требуется определить диаметры труб на каждом из участков. Однако, так как уравнения системы (8.21) — (8.24) содержат искомые диаметры в четвертой степени при ламинарном режиме и в пятой степени при турбулентном, это очень затрудняет алгебраическое решение этих уравнений. Кроме того, окончательно выбранные диаметры должны отвечать ГОСТам и некоторым другим конструктивным, а иногда и экономическим требованиям. Поэтому систему уравнений (8,21) — (8.24) лучше решать относительно диаметров, используя при этом метод подбора. Рекомендуется начинать с магистральной линии, по которой жидкость подается с полным расходом, и задаться диаметром этой линии исходя из рекомендуемых предельных скоростей. [c.130]

Легко видеть, что вследствие однородности оператора Л относительно X, у, Z каждое слагаемое функции <р, которое представляет однородный алгебраический многочлен, должно в отдельности удовлетворять уравнению (1). Каждое такое однородное решение уравнения (1) называется объемной сферической функцией соответствующей степени. Если q> есть объемная сферическая функция степени п и если положить [c.137]

Вообще если коэффициенты любой системы линейных уравнений образуют матрицу, в которой число столбцов п больше числа рядов т, то ранг г этой матрицы является максимальным порядком неисчезающих определителей, которые мог т быть образованы из т рядов и п столбцов. Алгебраическая теория утверждает, что (это будет показано ниже) существует единственное решение уравнений из любых г членов при условии, что детерминант, составленный из коэффициентов, не является нулем любой подбор делается для оставшихся членов, неравных нулю. Далее теория утверждает, что здесь имеется только п—г линейных независимых решений это значит, что любой другой подбор оставшихся членов будет просто давать полученные ранее комбинации. Поэтому в общем случае число линейно независимых решений линейных уравнений для степеней размерных величин дает также определенное число безразмерных произведений в целой системе. [c.12]

Если разыскивать регулярное решение уравнения (14) в виде полинома степени тг+1, то для получается алгебраическое уравнение четвертой степени с решениями = и п + 2 —тг + 1 —п—. Условие покоя на бесконечности обеспечивается, лишь когда в разложениях (12) все а > О, поэтому два последних корня должны быть отброшены, но две первые ветви собственных значений остаются. В рассматриваемом частном случае Ке == О эти ветви налагаются, так что мон но считать, что (14) имеет целочисленный двукратный спектр а = тг и каждому а соответствуют две регулярные собственные функции [c.279]

И пусть особенность такова, что в пятимерном пространстве девиатора напряжений имеют место пять независимых функций Д = = 0. Пусть решение этой алгебраической системы уравнений будет равенство нулю всех пяти инвариантов (3.7). В силу независимости a j и e Pj следует, что Xij = О, т. е. согласно (3.6) имеют место соотношения теории малых упруго-пластических деформаций. При подобном обосновании соотношений теории малых упруго-пластических деформаций нет необходимости требовать пропорциональности нагружения, несжимаемости материала, степенной зависимости и т. д. [c.145]

Алгебраические уравнения степени выше четвертой, вообще, неразрешимы извлечением корня. Нижеприводимые практические способы для нахождения действительных решений пригодны и для трансцендентных уравнений. Раньше всего определяется приблизительное значение корней данного уравнения /(лг) = 0. [c.69]

При решении уравнения (82) относительно г , получается алгебраическое уравнение девятой степени с одним неизвестным. Для его решения целесообразно пользоваться вычислительными машинами. [c.139]

Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при Ъij 7 О, г 7 ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы А, В, С являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица А определяется матрицей инерции I реального твердого тела А = 1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах. [c.347]

Задача о нахождении стационарных решений системы (1), (2), отличных от Н, сводится к вычислению корней алгебраических уравнений степени выше четвертой. Ограничимся поэтому удобными для анализа неявными либо асимптотическими выражениями. Полагая в (1), (2) левые части равными нулю, выразим сначала О,- через динамические параметры ш,- [c.158]

Решение уравнения частот, как и характеристического уравнения, представляет собой уже чисто алгебраическую задачу. Известно, что точное решение этой задачи вообще возможно лишь для полных уравнений не выше 4-й степени. Но даже для уравнений 3-й и 4-й степени применение регулярных методов практически бывает затруднительно. Поэтому часто пользуются всевозможными численными и графическими методами приближенного решения, применимыми также к уравнениям высоких степеней. Иногда бывает возможно левую часть характеристического уравнения представить, хотя бы приближенно, в виде произведения двух или большего числа полиномов достаточно низких степеней, и тогда решение значительно облегчается. В ряде конкретных случаев заранее заготовляются специальные таблицы, графики или номограммы, с помощью которых получается достаточно быстрое и вполне удовлетворительное решение. [c.221]

Таким образом, плоская задача интерференции при удалённом контуре питания сводится к решению алгебраической системы уравнений первой степени (7.12), (7.13). [c.92]

Как и ранее,, можно легко написать характеристическое уравнение такой системы, разыскивая для каждой функции решение, пропорциональное. В этом случае получается система из двух алгебраических однородных уравнений первой степени, детерминант которой и является характеристическим уравнением. В случае постоянного давления подачи 6->оо и характеристическое уравнение сводится к виду [c.652]

На поставленный вопрос о местоположении частицы контура нефтеносности на нейтральной линии тока в момент прорыва воды в скважины можно дать ответ, приравняв правые части формул (1Х.66) и (IX.67) и решив затем полученное уравнение относительно г. Подлежащее решению уравнение будет алгебраическим уравнением степени п [c.202]

Аналитическое решение первой основной позиционной задачи сводится в итоге к решению алгебраического уравнения п-й степени от одной переменной. Здесь п определяет число точек (действительных, мнимых, совпавших) пересечения линии с поверхностью. Например, пусть требуется найти точки пересечения прямой /, определяемой системой [c.130]

Дело в том, что матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит МКЭ,— сильно разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали (рис. 1.4). Целое число/., представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ в САПР и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит, в свою очередь, от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. [c.18]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Описанный подход является типичным для ручного счета. Для вывода равенств (1) и (2) применяется простейшее правило Крамера, позволяюгцее выразить решение алгебраической системы уравнений через определители (см., например, [91]). Равенства, аналогичные (1) и (2), могут быть записаны для системы с любой степенью статической неопределимости и иллюстрируют основные соотношения матричной формулировки задачи, которая описана ниже. [c.118]

Алгебраические уравнения второй, третьей и четвёртой степени решаются посредством конечного ряда арифметических и алгебраических действий (в некоторых случаях с применением тригонометрии) над коэфициентами уравнений по готовым формулам в определённом порядке (см. ниже). Уравнения степени выше четвёртой в общем случае так решить нельзя. Их приходится решать либо графически (см. стр. 121) с последующим уточнением корней (см. стр. 122), либо посредством метода итераций (см. стр. 125) и метода Лобачевского— Греффе (см. стр. 123). В этих случаях число действий существенно зависит от степени точности, с которой желательно найти значения корней уравнения. При решении уравнений следует иметь в виду, что их коэфициенты являются чаще всего числами приближёнными. Поэтому не следует искать значения корней с большей точностью, чем заданы коэфициенты уравнения. Уравнения третьей и четвёртой степени решаются приближёнными методами нередко проще, чем приёмами общего решения этих уравнений, причём значения корней получаются с достаточной степенью точности. Об щих приёмов решения трансцендентных уравнений нет. Чаще всего грубые значения корней определяются графически (с.м. стр. 121) и зате.м уточняются аналитически (см. стр. 122). Корни некоторых трансцендентных уравнений см. на стр. 129. [c.119]

Анализ выясняет чувствительность системы, склонность её к колебаниям, предел устойчивости системы, получающееся отклонение скорости и т. д. Этот анализ отличается некоторой сложностью [27, 53]. При несколько упрощённом рассмотрении процессов и их линеаризации обычно получается семейство линейных диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами 3, 4, 5 и высших порядков. Так как решение алгебраических (характеристических) уравнений выше 4-й степени невозможно, то при анализе обычно ограничиваются выяснением пределов условий устойчивости системы на базе критерия Гур-вица. При этом неизбежно приходится нтти на упрощения, пренебрегая иногда при наличии нескольких членов в отдельных равенствах членами, имеющими по сравнению с другими малую величину. [c.73]

Этап решения дифференциальных уравнений движения можно миновать для механизмов, уравнения движения которых являются линейнылш дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют общее решение, которое достаточно просто можно ввести непосредственно в программу на ЭЦВМ При создании этих механизмов у конструкторов появляется некоторая свобода выбора схемы. Система с п степенями свободы может иметь п (2л -р I) постоянных коэффициентов в левых частях дифференциальных уравнений движения. Эту систему можно заменить одним уравнением 2л порядка с 2п + 1 постоянными коэффициентами В[. Коэффициенты В однозначно определяют движение каждого элемента системы, поэтому оптимизировать можно коэффициенты В . Найденным оптимальным значениям В,- отвечает ряд линейных систем с п степенями свободы, и конструктор может выбрать наиболее рациональную. Однако при таком подходе приходится решать еще дополнительную алгебраическую систему уравнений (равенств нз зависимостей между С[ к Вi а неравенств, вытекающих из ограничений на реальные значения параметров). [c.130]

Полагая движения вертолета медленными, будем считать достаточно приемлемой низкочастотную или квазистатическую модель несущего винта. Эта модель, включающая влияние махового движения лопастей, была получена в разд. 12.1, где приведены выражения для сил на втулке вследствие движений вала винта, отклонений управления и воздействия аэродинамических возмущений. Низкочастотная модель основана на решении уравнений установивщегося движения (алгебраических, не дифференциальных) и не вносит в систему дополнительных степеней свободы. [c.709]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Однако это трансцендентное выражение не обладает преимуществами алгебраического выражения, анализ которого был бы возможен элементарными средствами. При решении более сложных случаев, приводящих к уравнениям с более высокой степенью, трудности становятся непреодолимыми, и получаемые решения не представляли бы никаких преимуществ для их применения на практике. Поэтому ниже мы даем при-бл[иженный элементарный метод решения уравнения в конечных разностях (17.17). [c.206]

Известен целый ряд стандартных программ определения корней алгебраических уравнений, и инженер имеет возможность выбрать ту или иную из них. Таковой является, например, подпрограмма РОЬКТ, входящая в пакет программ для научных исследований фирмы ШМ. В ней метод Ньютона используется для нахождения всех п корней алгебраического уравнения п-й степени. Программа для решения уравнения из данного примера с помощью подпрограммы РОЬНТ имеет вид [c.30]

Вообще говоря, наличие кратных корней при некоторых вычислительных методах затрудняет отыскание корней, их отделение и решение уравнения высокой степени в численном виде. Даже близость корней друг к другу является таким затруднением, скажем, в методе квадриро-вания. Тем не менее, с чисто алгебраической точки зрения такое особенное качество корней, как их равенство, дает некоторые возможности для вывода соотношений, позволяющих в общем виде обнаружить их наличие. [c.129]

Этим самым мы свели задачу решения системы трансцедентных уравнений к системе двух линейных уравнений первой степени с двумя неизвестными, которые мы без особых затруднений и находим,так как Ло. Ля-1 суть известные нам величины, получаемые из ординат желаемой кривой переходного процесса. Задача для системы второго порядка допускает и чисто алгебраические решения в общем виде, но для нас достаточно и того, что мы можем найти численные решения коэффициентов Лх и Л2, т. е. решить квадратное уравнение (в числах же) [c.152]

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого явного решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с решениями Кёттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134]. [c.157]

Проблема описания всех инстантонов для произвольной компактной классической группы Ли получила полное математическое реп]ение на основе методов алгебраической геометрии 5]. Вместе с тем, было бы очень интересно, хотя бы для дуального подкласса, построить общие (а не только параметрические типа иистантонных) решения уравнений Янга — Миллса, определяемые набором произвольных функций, достаточным для постановки задачи Коши (или Гурса). Это удается сделать при наложении дополнительных условий симметрии, упрощающих изучение рассматриваемой системы благодаря редукции полного числа ее степеней свободы к инвариантным относительно некоторой подгруппы конформной группы координатных преобразований. (Напомним, что теория Янга — Миллса инвариантна относительно прямого произведения последней и калибровочной групп.) Требование цилиндрической симметрии в / 4 позволяет в полной мере решить рассматриваемую задачу и в то же время сохранить ряд основных изических свойств теории. Именно на этом подходе мы и остановимся более подробно. [c.134]

Выбор типа языкового процессора. В настоящее время при создании пакетов проектирования находят применение оба принципа, хотя чаще используется принцип интерпретации, а пакеты-трансляторы сочетают в себе оба этих принципа, причем в разных пакетах в различной степени. Так, в программе многоуровневого моделирования MA RO генерируется на языке ФОРТРАН только подпрограмма, реализующая алгоритм Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений, в пакете КРОСС в виде объектной программы на языке ПЛ/1 оформляются уравнения математической модели всей проектируемой системы, в программном комплексе ПА-6 компиляции подлежит большинство модулей нижних [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...