Основные формулы для напряжений и деформаций

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ [c.416]

В этой главе кратко приводятся основные формулы теории напряжений и деформаций при этом выделяются сведения, наиболее важные для построения теории пластичности. [c.12]

Произведение, стоящее в знаменателе формулы (7), т. е. EF, называется жесткостью при растяжении (сжатии). Чем жесткость бруса будет больше тем при одной и той же длине он получит меньшую деформацию. Жесткость характеризует одновременно физические свойства материала и геометрические размеры сечения. Формула для напряжения (5) и закон Гука (6) или (7) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие. [c.25]

Кроме описанных выше двух основных разновидностей анализа при помощи простых моделей, подробно обсуждаемых в последующих разделах, имеются другие подходы к проблеме предсказания механических свойств композита по свойствам его компонентов. Это в основном полуэмпирические методы. Для обработки известных экспериментальных результатов с целью получения эмпирических зависимостей применялись различные функциональные зависимости с неопределенными параметрами, в частности степенные законы. Подобные формулы обычно выражают связь между напряжениями и деформациями через физические параметры, такие, как объемная доля включений и характеристики компонентов композита. Сами напряжения и деформации могут быть локальными, но чаще они берутся средними по объему композита. В обоих случаях такой анализ не является истинно микромеханическим, потому что он не дает локальных градиентов напряжений и деформаций внутри композита. Преимущество такого подхода состоит прежде всего в том, что он позволяет получить простые инженерные оценки зависимости напряжений от деформаций в композите— информацию, являющуюся исходной для большинства макромеханических исследований или анализа структур как слоистых. [c.208]

Вывод основных формул для деформаций и напряжений [c.168]

Первый способ, разработанный в Ленинградском политехническом институте им. М. И. Калинина, основан на анализе термических напряжений и деформаций, создаваемых в металле плазменной дугой. Мы уже приводили выше формулу (57) для расчета мощности, развивающейся на поверхности сдвига. Принимая далее, что при черновой обработке металлов главная составляющая силы резания Рг+ формируется в основном под влиянием работы деформации на этой поверхности, можем написать Для вычисления интеграла в выражении (57) принято, что постоянная пластичности в срезаемом слое меняется по экспоненциальному закону (61), а величина К на линии среза (у=0, рис. 32) соответствует постоянной пластичности исходного материала. Приводя при этих допущениях интеграл в выражении (57) к изученным функциям и представляя Рг+ через Мх, получаем формулу [c.81]

Все формулы справедливы, строго говоря, только для одного специального случая распределения усилий и реакций. Но на основании принципа Сен-Венана ими можно пользоваться и в случае усилий, приводящихся к силам Р, распределенным по концам произвольно нужно только исключить из рассмотрения узкие области около концов, где основная картина напряжений и деформаций будет искажена вследствие местных напряжений и деформаций, зависящих от закона распределения усилий и от способа закрепления. Это замечание относится и к другим случаям деформации стержней, а также и пластинок. [c.80]

В инженерной практике к методам теории упругости и теории пластичности прибегают обычно в особо ответственных случаях, подавляющее большинство расчетов производится на основе элементарных приемов. Эти элементарные приемы дают точные или почти точные результаты для стержней и стержневых систем, а определение напряжений и деформаций в стержнях, как уже указывалось, составляет одну из основных задач сопротивления материалов, и этому вопросу посвящена значительная часть настоящего курса. Но уже при изучении напряженного состояния в стержнях при растяжении мы столкнулись с группой задач, выходящих за рамки элементарного рассмотрения. Это задачи о концентрации напряжения. Для пластических материалов качественные рассуждения привели нас к заключению, что при расчете на прочность концентрацию напряжений учитывать не следует и Достаточно вести расчет по формуле [c.105]

Простейшими видами напряженного состояния стержневых элементов конструкции являются растяжение, кручение и изгиб. Основные расчетные формулы для определения напряжений и деформаций приведены в табл. 4.1. [c.69]

На основании гипотез прочности выводят формулы для вычисления эквивалентного напряжения, которое затем сопоставляют с допускаемым напряжением на растяжение. Таким образом, условие прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и нормальные и касательные напряжения, будет иметь вид [c.270]

Чтобы вычислить коэффициент концентрации напряжений в моделируемом композите, армированном волокнами бора, в формулу (26) нужно подставить модуль Ес композита. В данном случае различие между величинами этого модуля для модели и для натуры мало в интервале значений объемной доли волокон от 0,50 до 0,70 оно составляет менее 10%. Коэффициент концентрации деформаций в этом же интервале меняется приблизительно от 4 до 12. Этот факт показывает, что основным критерием прочности в случае поперечного нагружения является максимальная деформация матрицы. [c.516]

Используя формулы (5.15) и (5.16) и аналогию между напряженным и деформированным состояниями, приведем основные зависимости между деформациями для двухосного деформированного состояния (рис. 5.8). Эти зависимости используются при экспериментальных исследованиях элементов конструкций, так как по найденным из эксперимента величинам деформаций можно с использованием закона Гука определить напряжения. На основании аналогии с помощью замен (5.17) из формул (4.25), (4,26) получим выражения для линейных деформаций по произвольным взаимно перпендикулярным направлениям [c.104]

При волочении наблюдается падение давления вдоль образующей рабочего конуса волоки от плоскости входа к плоскости выхода (рис. 22). Такое распределение объясняется возрастанием продольных растягивающих напряжений в металле при прохождении его через очаг деформации. В теории волочения основной задачей является определение именно продольных напряжений в металле, в том числе продольного напряжения на выходе из волоки (напряжение волочения). Однако имеющиеся теоретические решения нетрудно преобразовать и применить для определения давления на стенку рабочего канала волоки. Так, на основании выводов С. И. Губкина [28.] можно рекомендовать формулу для определения давления на стенку волоки в любом сечении рабочего конуса [c.34]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Формулы (129) и (132) являются основными для расчетной оценки напряженного и деформированного состояний в окрестности трещины в уп-)угой и упругопластической областях. 1о мере уменьшения сопротивления пластическим деформациям, характеризуемого уменьшением показа геля т, коэффициенты интенсивности деформаций при заданном номинальном напряжении увеличиваются. Значения этих коэффициентов при других видах нагружения, отличные от призе- [c.41]

Плоские и объемные модели изготовляются из прозрачного материала, который для упругих моделей удовлетворяет следующим основным требованиям механическая и оптическая изотропность и однородность пропорциональность между деформациями, напряжениями и порядком полос интерференции, а также отсутствие заметных механической и оптической ползучести при прилагаемых к модели нагрузках прозрачность, достаточная для просвечивания модели в полярископе отсутствие начального оптического эффекта достаточная величина модуля упругости материала при данной его оптической активности, обеспечивающая отсутствие заметного искажения формы модели при нагрузке возможность механической обработки неклейки при изготовлении моделей при исследовании по методу замораживания — способность материала к замораживанию и достаточная величина показателя качества материала при исследовании методом рассеянного света — необходимая высокая прозрачность и оптимальные свойства рассеяния. Показатель качества , оценивающий минимальное искажение формы замораживаемой модели при получении необходимого оптического эффекта при нагрузке, принято подсчитывать по формуле [c.164]

Расчет на прочность но показателю контактной прочност и. Как известно из курса сопротивления материалов, нри всех видах деформаций между основной характеристикой прочности — напряжениями а (или т) — и нагрузкой М (или Q ш М) суш,ествует линейная зависимость типа а = СМ, где С — коэффициент, зависящий от геометрической характеристики сечения. Исключение составляют контактные напряжения, пропорциональные нагрузке в степени 0,5 М [см., например, формулу (6.8) или (1.23)]. Поэтому величина контактных напряжений не дает привычной связи между несущей способностью передачи (т. е. допускаемым моментом) и прочностью рабочих поверхностей катков. Для восстановления привычного масштаба характеристики прочности преобразуем формулу (6.8), для чего возведем ее в квадрат и отделим величины, характеризующие материал, от параметров передачи [c.178]

В целях получения расчётных формул для рассматриваемой балки надо повторить в основном вывод, изложенный в 78 и 79. Верхние волокна балки сжаты, нижние растянуты, нейтральный слой проходит на некотором расстоянии г от верхнего края балки. Принимая, что сечения при изгибе остаются плоскими, получаем, что относительные удлинения и укорочения меняются по закону прямой линии (фиг. 272). Умножая относительную деформацию в каждой точке на модуль упругости соответствующего материала, получаем эпюру распределения нормальных напряжений (фиг. 273). [c.345]

Существуют также и другие формулы, полученные на основании теоретического анализа напряженного и пластически деформированного состояния металла в очаге деформации в конечный момент процесса штамповки наружных и внутренних колец конических роликоподшипников. Однако по своей структуре эти формулы сложны, малопригодны для практики и служат главным образом для качественного уяснения влияния основных технологических факторов на силовой режим, что бывает иногда важно для создания оптимальных условий выполнения штамповочных операций. [c.333]

Расчет напряжений в диске с учетом пластических напряжений, разработанный И. А. Биргером [11, 17, 29], опирается на основные положения теории пластичности. По одной из основных гипотез этой теории, подтвержденной многочисленными экспериментами, принимается, что переход упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда эквивалентное напряжение, называемое интенсивностью напряжений и определяемое по формуле (6.88), достигает предела текучести. Связь между напряжением и относительной деформацией, включая пластическую деформацию, определяется экспериментальной диаграммой растяжения образца (рис. 6.21). Эта связь, т. е. вид диаграммы, зависит только от свойств материала и почти не зависит от типа напряженного состояния. Таким образом, диаграмма, полученная в экспериментах для одноосного-растяжения образца, может служить выражением связи между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций в сложном упругопластическом напряженном состоянии. [c.313]

В предыдущей главе путём анализа экспериментальных данных было показано, что основные законы пластичности при активном процессе деформаций, выражаемые формулами (2.3) и (2.6), имеют место по крайней мере в том случае, когда деформация элемента тела является простой или близка к простой. Возникает вопрос, существуют ли такие нагрузки, прилагаемые к телу произвольной формы, чтобы от момента их приложения и в течение всего времени их возрастания до заданных окончательных значений направляющий тензор напряжений или направляющий гиперболоид напряжений в любой данной точке тела оставался постоянным, будучи различным в разных точках тела. Иначе говоря, существует ли для тела сложной формы и нагрузок данного типа (любого) такой способ их возрастания от нуля до заданных значений, чтобы главные оси напряжений, различные в разных точках тела, не изменяли своей ориентации относительно материальных частиц за все время возрастания нагрузки, и чтобы отношение между собой главных касательных напряжений оставалось постоянным. (но, вообще говоря, различным для разных точек тела). [c.115]

Некоторый свет на механизм размытия фаз может пролить исследование величины и знака параметра X, определяемого множителями и и V, согласно формуле (6.95), и фазами амплитудной модуляции относительно цикла низкочастотных осцилляций, обязанных шейке . Если размытие фаз обусловлено вариациями ориентации, т.е. мозаичностью структуры относительно направления <111>, то должно быть X - 0,1 если оно вызвано неоднородностью поля (хотя, конечно, в этом случае распределение Лоренца неприменимо), то X - 0,03 если размытие фаз обязано вариациям механических напряжений вдоль <111), то X — —0,3 и, наконец, при чисто сдвиговых напряжениях (т.е. эффект от напряжений вдоль <111) за вычетом эффекта от соответствующего уменьшения объема), то X - — 1. Поэтому большое и отрицательное значение X для двух образцов < 111 > заставляет предположить, что в этих случаях основной причиной размытия фаз служат неоднородные напряжения, хотя аргументов явно недостаточно, чтобы установить, какой тип деформации превалирует. При отклонении от направления <111> на 6° получен положительный знак X. Это наводит на мысль, что доминирующий вклад в размытие фаз связан с неоднородностью ориентации, хотя, возможно, неоднородные напряжения также дают свой вклад и искажают ту тесную связь между ф и 0, которую можно ожидать для случая только неоднородной ориентации. Вариации напряжений, по-видимому, связаны с наличием [c.358]

Желая применять теорему Кастильяно к тем или иным конкретным задачам, мы должны уметь вычислять потенциальную энергию деформации через внешние силы. Это всегда можно сделать, если воспользоваться. формулой (150.2) и выражением удельной энергии а через напряжения. Во многих случаях это бывает удобнее сделать, переводя внутренние силы в категорию внешних и применяя теорему Клапейрона. Дадим сводку формул упругой энергии для основных видов деформации. [c.340]

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует Цг=0. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения щ различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [c.86]

Линейная механика разрушения (точнее, механика развития магистральных трещин) описывает хрупкое разрушение, происходящее в результате роста трещины при отсутствии заметных пластических деформаций у вершины трещины. В этом случае справедливы асимптотические формулы для напряжений и деформаций (см. 2), и задачу о раснростраиеппи трещины можно сформулировать в терминах коэффициентов интенсивности напряжений. Таким образом, основной признак линейной механики разрушения — возможность изучения поведения тела с трещиной с помощью коэффициентов интенсивности напряжений, причем само попятио этого коэффициента имеет физический смысл. [c.55]

Основная цель пособия — создать наглядность при изучении теоретических вопросов курса Сопротивление материалов . Такая наглядность позволит во многих случаях обнаружить единство методов решения различных задач и аналогии, которые проходят через весь курс, начиная от формул для напряжений при различных деформациях и заканчивая аналогиями проф. П. М. Варвака в дифференциальных уравнениях для перемещений. [c.3]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Упругость и пластичность. Понятия напряженного и деформированного состояний, введенные в предыдущих -параграфах, носят первое — чисто статический характер, второе — геометрический, и еще ничем ие связаны с реальными свойстваш тела. Напряжения и деформации могут существовать не только в твердом теле, но и в жидкости, в газе и вообще в любой сплошной среде. В реальных твердых телах напряжения и деформации оказываются связанными между собой определенными зависимостями, которые могут быть установлены лишь из опыта. Н ежное установление этих зависимостей является основной задачей при построении теории сопротивления материалов. Различные материалы обладают различными свойствами, зависимости между напряжением и деформацией оказываются для них различными. Поэтому прн пользовании темн или иными формулами сопротивления материалов необходимо следить за тем, чтобы свойства тех тел, к которым эти формулы применяются, соответствовали основным предпосылкам, положенным в основу при их выводе. [c.25]

Используя при проектировании конструкций предельно упрощенные формулы, связывающие нагрузки с напряжениями, перемещениями и деформациями, мы негласно предполагаем, что выполняются основные принципы теории предельных состояний идеально пластических тел [6, 7] и существует достаточно большая зона допустимых изменений параметров, в которой поведение материала и элемента конструкции устойчиво в широком смысле этого слова. Наиболее утешительным является статический принцип теории предельных состояний [8], который дает нижнюю оценку величины предельной нагрузки для пластичного конструкционного металла. Этот принцип в области своей применимости под-тверл дает наши оптимистические предположения о том, что, если вообще существует возможность равновесного распределения напряжений, когда максимальные напряжения ниже или равны предельным для данного материала, конструкция сама придет к такому распределению или ему равноценному. [c.16]

В. Д. Ярошевич [47] рассмотрел случаи, когда предэкспонента Ео основного уравнения для скорости термоактивируемого течения является функцией напряжения, и предложил более совершенную методику определения термоактивационных параметров процесса деформации металлов. Он установил, что для всех исследованных металлов температурный коэффициент напряжения течения определяется формулой [c.85]

Формулы интегрирования уравнений (2.95) с помощью а-метода приведены в [49, 115]. В [115] для значения параметра а О (неявная схема) при интегрировании уравнений (2.95) используется метод Ньютона — Рафсона для решения нелинейных уравнений, так как правая часть в (2.95) зависит от искомых напряжений (и от их скоростей при учете пластических деформаций). Более эффективная схема интегрирования соотношений (2.95) предложена в [52, 89]. Алгоритм определения напряжений, предложенный в этих работах, назван алгоритмом вычисления функции эффективного напряжения, или ESF (effe tive stress fun tion) алгоритмом. Основные положения ESF-алгоритма заключаются в следующем. [c.207]

Мы еще не доказали, что полученные выражения для S и р удовлетворяют также основным уравнениям (9) и (10) упругого равновесия, выведенным в 80. Доказательство этого путем неносредственной подстановки S и р в уравнения (9) и (10) привело бы к очень сложным вычислениям. Вместо этого, мы покажем, что напряжения, соответствующие деформациям S и р, уже выраженные при помощи формул (123) и (124), удовлетворяют условиям равновесия элемента объема, т. е. уравнениям (1) или (4), выведенными в 80, из которых, в свою очередь, нами были выведены и основные уравнения упругого равновесия (9) и (10). Очень простые вычисления показывают, что эти условия действительно выполняются. [c.207]

Испытания на растяжение и сжатие. Как видно из предыдущего, располагая весьма небольшими сведениями о поведении растянутых и сжатых стержней под действием приложенной к ним нагрузки, мы уже оказались в состоянии сформулировать условие прочности и расчетным путем находить деформации при допускаемых нагрузках. Это позволило получить решение основных задач проверки прочности и жесткости элементов конструкций. Однако такое решение, по существу, носит чисто формальный характер. Не имея более детальных сведений о процеесах. деформации и разрушения растянутых и сжатых стержней, мы лишены возможности оценить, насколько расчетные формулы, выведенные нами для сплошных, однородных и изотропных тел, применимы для реальных стержней, установить пределы применимости этих формул, установить сознательно величину коэффициента запаса (а следовательно, и допускаемого напряжения). Поэтому ближайшей задачей нашего курса является изучение-процессов растяжения и сжатия стержней из реальных материалов. [c.42]

Как видно, выражение меры ползучести С (t, т) в виде (2.23) исходит из подобия кривых ползучести в различных возрастах бетона ). Между тем, если сравнить опытные кривые ползучести, полученные на образцах, загрун енных в возрасте нескольких суток, с кривыми ползучести для бетона зрелого возраста, то нетрудно убедиться, что подобие нарушается. Скорости роста деформации ползучести в молодом возрасте бетона затухают относительно быстрее, чем в старом возрасте, хотя абсолютные их значения в первом случае больше. Цоэтому, если определить скорость деформации ползучести в первый момент приложения нагрузки, пользуясь формулами (2.28) и (2.27), то она окажется гораздо меньше действительной, иначе говоря, кривые ползучести, построенные по этим формулам, поднимаются более вяло, чем это наблюдается в экспериментах. Как показывают исследования (С. В. Александровский, 1966 А. А. Гвоздев, 1955), это может привести к определенным погрешностям в случае быстро изменяю-ш ихся напряжений, а также в задачах о релаксации напряжений в молодом возрасте бетона. Поэтому естественно, что с целью учета этих обстоятельств были сделаны различные предложения для дальнейшего уточнения и усовершенствования выражений (2.23) и (2.28) для меры ползучести бетона С ( , т) при одновременном сохранении их основной структуры и преимуш еств. [c.186]

Все расчеты цельных станин проводятся на основе формул, приведенных в табл. 10 и 11 [4]. При пользовании таблицами необходимо учитывать знаки. Положительным направлением ординат эпюры моментов, перемещений, а также и расстояний, отсчитывае)Ушх от нейтральной оси сечения рамы, считается направление внутрь ее контура. В соответствии с этим записаны формулы для определения напряжений и сближения стоек. Для продольных деформаций положительным считается такое направление деформаций, при котором расстояние между противоположными элементами рамы увеличивается. Поперечная сила Q на участке считается положительной, если изгибающий момент на этом участке в направлении слева направо или шизу вверх возрастает. Эпюры по-аеречных и нормальных сил в табл. 10 и 11 изображены только от основной технологической нагрузки Р. [c.364]

Случай малых упруго-пластических деформаций. Теория пластичности для этого случая была рассмотрена выше. Основные положения ее сводятся к следующему направляющие тензоры напряжения и деформацпи одинаковы, как это следует из формул (398), так как иаправляютцим тензором называется девиатор, [c.479]

Метод разгрузки для определения естественных напряжен и й был разработан в 1935 г. Д. Д. Головачевым (в дальнейшем он был усовершенствован). Определение напряжений методом разгрузки с измерением деформаций полного упругого восстановления производится в основном по трем схемам. Схема ВНР1МИ заключается в измерении деформаций забоя скважины при выбуривании кериа. На выравненный забой скважины наклеиваются тензодатчики, после чего забой скважины обуривается и производятся измерения деформации разгрузки керна. Переход от замеренных деформаций к напряжениям осуществляется по формулам теории упругости. Исследования зависимости напряженного состояния забоя сква- [c.45]

В общем случае прослойка может бьпъ расположена под углом а к главным осям рабочих нацряжений (рис.7.6.6). Несмотря на Гфотета-ние пластических деформаций, напряжения и (7.6.6,6) в прослойке, ввиду соблюдения уравнений равновесия, будет таким же, как и в основном металле. Их можно определить по известным формулам для вычисления напряжений при повороте осей ху через о, и 02-Напряжение вдоль прослойки будет определяться уровнем возникших в прослойке деформаций е . [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...