Выражения амплитуд и фаз колебаний

Мы называем ф аргументом г, а г - модулем г. Эта форма записи особенно удобна для выражения амплитуды и фазы колебаний. Умножение и деление комплексных чисел выглядят теперь гораздо проще [c.142]

ВЫРАЖЕНИЯ АМПЛИТУД И ФАЗ КОЛЕБАНИЙ [c.31]

Чтобы получить интересующие нас зависимости от ш, рассмотрим аналогично 7, исходя из уравнений 4, сферически-симметричную задачу о теплообмене капли (частицы) с газом в монохроматической звуковой волне, где реализуются установившиеся вынужденные колебания тина (2.7.11). При этом следует положить 2 = W, = О, г,ь = О внутри капли (г < а) и = = во внешнем газе. Тогда аналогично (2.7.13) можно получить следующие комплексные выражения, определяющие распределения по г амплитуд и фаз колебаний температур во внешней [c.229]

Таким образом, для работающей машины, когда зеркальце движется по круговой траектории, амплитуды и фазы колебаний в системе балансировочной машины определяются выражениями [c.138]

Интегралы Френеля не берутся в элементарных функциях, но для них составлены таблицы и графики (рис. 308), которыми мож-но воспользоваться для вычисления выражений (8.45). Затем уже легко найти амплитуду и фазу колебания (8.42). [c.321]

Простыми тригонометрическими преобразованиями можно получить выражения для амплитуды и фазы суммарного колебания [c.177]

Выражение для смещения осциллятора в безразмерном виде. Амплитуда и фаза осциллятора зависят от частоты вынуждающей силы. Уравнения, выражающие эту зависимость, легко записать в безразмерном виде, пригодном для всех осцилляторов, совершающих вынужденные колебания. Покажите, что [c.235]

Выражения (100) и (102) позволяют определить амплитуды и фазы главных колебаний, если только известны начальные значения обобщенных координат и их скоростей. [c.66]

Используя эти законы движения, условия периодичности и теорему импульсов, получим следующие безразмерные выражения для амплитуд и фаз соответственно свободных и вынужденных колебаний [c.302]

Как следует из выражения (8.12), для определения отклонений формы в поперечном сечении необходимо знать амплитуду и фазу каждой гармонической составляюш,ей профиля. Для периодических упругих деформаций технологической системы СПИД при шлифовании, когда имеет место единственная s-я гармоника неровностей заготовки и действуют только вынужденные колебания станка с единственной частотой со, в гл. 14 приведены формулы [c.245]

Рассмотрим периодическое изменение произвольного параметра А) среды или тела с амплитудой колебаний ДЛо, круговой частотой (1) и фазой колебаний ф. В случае простейшего синусоидального колебания изменение рассматриваемой величины А во времени определяется из выражения [c.7]

Для выяснения этого вопроса рассмотрим случай сложения нескольких гармонических колебаний одинаковой частоты. Используем при этом принцип суперпозиции. На основании этого принципа можно заключить, что при сложении колебаний с постоянными амплитудами и фазами получается новое колебание, интенсивность которого определяется выражением [c.16]

Так как по истечении времени t и возбуждающая сила прекращает действовать, ясно, что движение после этого момента складывается из свободных колебаний нити с закрепленными концами. В соответствии с этим, если вместо функции f (к, t — и) подставить ее выражение, данное в п. 407, то мы увидим, что выражение для у будет состоять из п колебаний с периодами, которые были найдены в п. 404. Их амплитуды и фазы зависят от действия возбуждающей силы. [c.319]

Наиболее общее выражение для колебания с частотой п, амплитуда и фаза которого медленно изменяются с частотой т, следующее [c.93]

В зависимости от свойств вновь введенных функций A t) и ф(i) зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой Ло- При постоянных Л и ф выражение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания. В случае, когда А и ф — почти постоянные , т. е. медленно меняющиеся функции времени, выражение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой этот случай типичен для систем со слабой нелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем. [c.51]

Полученное выражение (6.4) интересно не только в том отношении что оно дает звукоизоляцию жесткой однородной сравнительно тонкой стены, частицы которой приходят в продольные колебания (волны сжатия ). Наложенное выше ограничение, касающееся соотношения толщины стены и длины волны, в принципе равносильно тому, что все материальные частицы стены вибрируют с одинаковой амплитудой и фазой. Такая однородная стенка вела бы себя, как некоторый колеблющийся, как целое, поршень. [c.238]

Если г] = со/, то а ехр (i o/) описывает гармоническое колебание с амплитудой а и круговой частотой со (с периодом Т = 2я/со). Если начальная фаза колебания равна б, то выражение для колебания будет а ехр [i (оз/ -f б)] = а ехр ( 6)-ехр ( ш/). Обозначая а ехр (/б) = С, мы вводим комплексную амплитуду С, причем в это выражение входит как обычная амплитуда а, так и начальная фаза колебаний б. Таким образом, [c.31]

Выполняя соответственные вычисления, мы получим Ег и выраженными через Дь ф и п, но при этом найденные выражения будут не действительными, а комплексными. Комплексное выражение для амплитуд отраженной и преломленной волн имеет весьма простой смысл аргумент комплексной амплитуды определяет сдвиг фазы колебания (см. упражнение 193 и 4). Таким образом, появление комплексных величин в выражениях для амплитуд отраженной и преломленной волн означает, что эти волны отличаются от падающей волны не только по амплитудам, но и по фазам. Рассмотрим отраженную и преломленную волны отдельно. [c.483]

Максимальное отклонение точки от центра колебания называется амплитудой колебания, расстояние между крайними положениями колеблющейся точки — размахом колебания. Наконец, постоянная а (пли ) характеризует начальное положение точки при / = О и называется начальной фазой колебания, а выражение Ы а (или г" + ) — фазой колебания. [c.147]

В результате использования мнимых величин получаем, как известно, комплексное значение амплитуды, физический смысл которого заключается в том, что начальная фаза колебания изменяется на некоторую величину бо (см. 1.4). Появление мнимых выражений в амплитудах отраженной и преломленной волн означает, что эти волны отличаются от падающей волны не только по амплитуде, но и по фазе. [c.23]

Рассматривая выражения (16,13), (16.14), (16.15) и (16.18), мы замечаем, что период и частота колебаний не зависят от начальных данных, а амплитуда и начальная фаза зависят. [c.147]

В выражениях (0. 1) и (0. 2) величина а — амплитуда колебаний с размерностью в см, m — круговая (или угловая) частота в ф — начальная фаза колебания в рад, соответствующая [c.6]

Примеры амплитудных, фазовых, векторных диаграмм и промежуточных вычислений по компонентам числителей для некоторых случаев двухмассовых систем (с обозначениями по крутильным колебаниям) показаны на фиг. 1. 8—1. 10. Кривые фаз приведены как по компонентам числителей (е - ) и знаменателей (—Ёд) выражений амплитуд (1. 45) и (1. 46), так и для полных фаз, находимых по формулам (1. 31) и (1. 32) по разностям предыдущих. [c.49]

Выражение (17) связывает отношение амплитуд колебаний ротора и корпуса с разностью фаз колебаний. С помощью (17) можно попытаться исключить фазы из соотношений (16). Одно из таких выражений получим, складывая первое уравнение (16) с третьим, а второе — с четвертым [c.40]

Обозначим —значение i на фазе застоя, при котором имеет экстремум соответствующие значения для и / на фазе движения обозначим через и Ту. Тогда из интегралов движения имеем следующие формулы для выражения амплитуд авто колебаний [c.125]

Частотные характеристики (со) = / (со) и ( ) = / (со) определяются при помощи выражения (473) во формулам (478) и (479). Вместе с тем они легко определяются экспериментально. Для этого достаточно входную координату системы изменять по гармоническому закону с определенной амплитудой и задаваемой частотой. Замер установившихся колебаний на выходе системы по амплитуде и сдвигу фазы при различных частотах колебаний входной координаты дает возможность построить искомые амплитудную и фазовую частотные характеристики. [c.425]

Полученное выражение для амплитуды вынужденных колебаний А и для фазы а, рассматриваемые как функции частоты внешней силы и, называются соответственно амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками линейного осциллятора. Они изображены на рис. 59 в виде семейства кривых, где параметром [c.173]

Если S = к, то в выражении для Ask числители всех слагаемых положительны, и график зависимости Л,,(ш), сочетающий в себе понятия амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик одномерной системы, имеет вид, изображенный на рис, 61. График показывает, что всегда имеется ровно п резонансов и ровно п --1 точек на оси частот, при которых амплитуда колебаний возбуждаемой обобщенной координаты равна нулю. Такое явление называется [c.181]

Физический смысл соображений, положенных в основу проведенного вывода, состоит в следующем. Как следует из выражения (5.2.3), амплитуда Лф в пределах центрального максимума остается положительной, т. е. фаза всех колебаний в его-пределах одна и та же. За пределами центрального максимума амплитуда меняет знак, а соответственно и фаза изменяется на п. Таким образом, если в пределы углового размера ф = Ь//1 попадают первые побочные экстремумы, то. фаза в пределах размера щели Ь не остается постоянной, что и приводит к существенным искажениям дифракционной картины от щели шириной Ь. Отметим еще, что величина 2ан равна линейному размеру центрального дифракционного максимума от щели Ь. [c.341]

Группу, описываются колебаниями с близкими по значению амплитудами и с постоянной разностью фаз, одинаковой для всех групп и определяемой выражением (9.14). [c.80]

По этим выражениям получены следующие коэффициенты влияния на амплитуду и фазу колебаний заслшки [c.305]

Сравнивая формулы (69), определяющие вынужденные движения, возникшие благодаря действию вынуждаюш,ей силы (58), с выражением для этой силы, устанавливаем, что в этом случае вынужденн1.1е движения представляют собой гармонические колебания той же частоты, но с иными амплитудами и со сдвигом фаз. Амплитуды и фазы вынужденных колебаний полностью определяются введенной выше комплексной функцией F (tQ), и для данной системы зависят поэтому только от частоты внешней силы 13. [c.245]

Выражения (4.107) для амплитуды и начальной фазы совпадают с известными зависимостями [61] для амплитуды и фазы координаты х звена 1 при его вынужденных колебаниях под действием кинематического возмущения rsinQo с заданной частотой fio, приложенного к концу упругого элемента с коэффициентом жесткости l (со стороны двигателя см. рис. 34). Такой результат в рассматриваемом случае вполне оправдан, поскольку [c.96]

Выражения (9.44) для амплитуды о п начальной фазы о совпадают с известными зависимостями для амплитуды и фазы нормальной координаты Уг при вынужденных колебаниях системы под действием возмущающего момента sin (vQoi + l v) с заданной частотой vQo [28]. Последнее предполагает наличие в системе идеального источника энергии с бесконечно большим запасом свободной мощности по сравнению с мощностью осцилля-циониых сопротивлений. Такой результат вполне закономерен, поскольку выражения (9.44) отвечают условию (9.37), т. е. применимы только при анализе колебаний сравнительно невысокого уровня. Максимальный уровень колебаний в системе с малой диссипацией имеет место при Qo гг/v. При этом параметры я и характеризуются следующими значениями йр и [c.154]

Так как в соотношении (6.8) амплитуды и фазы и определяются при помощи довольно сложных выражений, приведенный выше метод, хота он остается всегда пригодным, часто неудобен. Приведем теперь другой изящный метод ([12], см. также 8 гл. IV и 5 гл. XV), где решение выражается в виде тригонометрического ряда по л с коэффициентами, которые яв ляются функциями, времени. Этот метод, в частности, полезен при "рассмотрении ряда простых колебаний температуры поверхности, которые часто возникают на практике (например, прямоугольные и пилообразные колебания), мы рассмотрим случай установиешгй-температуры в пластине О < х < /, [c.110]

Таким образом, mojkiio сформулировать следующее правило для составления амплитудно-фазовых уравиеПий первого приближения (158) необходимо найти величину средней виртуальной работы, которую совершили бы возмущающие силы за полный цикл колебания в синусоидальном реншме па виртуальных перемещениях, соответствующих вариациям амплитуды и фазы, разложить найденное выражение в ряд Фурье, после чего частные производные s-ro члена подставить в уравнения (158). [c.173]

Таким образом, изменение магнитного поля связано в этом случае с действием ВЧ-давления. Формула (4.21) имеет принципиальное отличие от (4.20). Механизм образования нелинейного магнитного поля в данном случае не сводится к действию ВЧ-давления. Он аналогичен механизму возбуждения магнитного поля люнгмюровскими колебаниями в плазме без внешнего магнитного поля [4 22] и связан с неоднородностью амплитуды и фазы потенциала колебаний, приводящей к различию В фазах разных компонентов электрического поля. В частности, выражение (4.21) отлично от нуля для вращающихся полей [4.13]. Отметим, что дВ в (4.21) может иметь разные знаки. [c.77]

Формы колебаний с учетом трений и различий в фазах для любых частот по формулам (1. 31) и (1. 32) могут быть графически представлены в виде кинематических векторных диаграмм по фиг. 1.6. Знаменатель и его фаза для всех выражений амплитуд одинаковы при этом УОц является масштабным фактором и в основном определяет коэффициент динамического увеличения , а Бд определяет фазу состояния или степень резонансности. Если частота стремится к бесконечности (ш - со) при п степенях свободы у системы, база построения кинематических диаграмм, [c.40]

Из этого выражения следует, что при малых значениях частоты и амплитуды колебания скорости внешнего потока, т. е. при е —> О и Sh - О, коэффициент теплоотдачи стремится к квазистацио-нарному значению. При увеличении частоты наблюдается сдвиг по фазе между колебаниями скорости внешнего потока и коэффициентом теплоотдачи. В обш,ем случае коэффициент теплоотдачи является величиной комплексной, мнимая часть которого характеризует фазу колебания. [c.110]

В формулах (12) и (13) амплитуда А является действительным числом. Наряду с Зейстеительной ампяитудой используются также комплексные амплитуды, равные в зависимости от способа задания гармонических колебаний Ае или Ае . Рассмотрим, например, выражение и = Re (Л(,е ), где А — комплексное число, действительная и мнимая части которого равны соответственно А и Л . Тогда с учетом выражения (11) приходим к формуле (8), причем амплитуда и начальная фаза равны соответственно [c.20]

В гл. II мы многократно выводили дифференциальные уравнения для амплитуды а и фазы г ) (амплитудно-фазовые уравнения) колебательных систем при использовании метода усреднения. Здесь изложим другой алгоритм построения амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (вида (2.144)), не требующий предварительного написания возмущенных уравнений вида (2.133). Этот алгоритм основан на применении так называемого энергетического метода [147], хорошо известного в уравнениях математической физики. Для построения уравнений первого приближения достаточно знать некоторое выражение для работы возмущающих сил, а не сами силы, входящие в уравнения Лагранжа второго рода (2.128) или (2.133),.В ряде случаев это существенно упрощает задачу. Чтобы не загромождать суть дела большим количеством громоздких формул и выкладок, вернемся к задаче (см. 2.9) о построении приближенных решений системы (2.133), близких к одночастотпым колебаниям с медленно изменяющейся частотой (оДт). [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...