Интегрирование при помощи рядов

Интегрирование при помощи рядов [c.541]

Одним из простейших численных методов интегрирования дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Этим методом найдены уравнения для системы автоматического управления движением поезда (САУ или автомашиниста ), имеющей электронную цифровую вычислительную машину (ЭЦВМ). При помощи ряда Тейлора решается уравнение движения поезда при выполнении тягового расчета на ЭЦВМ. [c.124]

Таким образом, мы получим формальный метод интегрирования уравнений помощью рядов типа (2) вопрос о сходимости этих рядов, а также вопрос о том, удовлетворяют лн они диференциальным уравнениям, подлежит конечно особому рассмотрению. Сам собой напрашивается также вопрос об однозначности решений типа (2) можно определенно утверждать, что для достаточно малых значений X однозначность имеет место. В общем виде ее заведомо не существует, кгк это видно из простого примера, который в то же время поясняет физическое значение случаев наличия в решениях точки разветвления. Мы знаем, что прямолинейный стержень, сжатый некоторой силой в продольном направлении, при достаточной нагрузке, т. е. при достаточно большом X, претерпевает изгиб, т, наряду с неустойчивой прямолинейной [c.167]

Выбор единицы в качестве верхнего предела интегрирования сделан ради удобства, когда задача решается в обобщенных переменных. Функция / (г) может быть представлена в интервале (0 г 1) при помощи ряда Фурье — Бесселя [c.521]

В главе 3 приведены дифференциальные уравнения возмущенного движения, записанные для различных систем элементов. Интегрирование этих уравнений выполняется либо методом последовательных приближений, либо при помощи рядов. [c.421]

Теория возмущений, относящаяся к теории Луны, была развита с геометрической точки зрения Ньютоном. Мемуары Клеро и Даламбера в 1747 г. содержат значительные шаги вперед, ставя решения в зависимость от интегрирования диференциальных уравнений при помощи рядов. Клеро скоро получил возможность применить свой метод интегрирования к возмущениям кометы Галлея планетами Юпитером и Сатурном. Эта комета была наблюдена в 1531, 1607 и 1682 гг. Если бы ее период был постоянен, то оиа снова прошла бы через перигелий в середине 1757 г. Клеро вычислил возмущения, происходящие от притяжений Юпитера и Сатурна, и предсказал, что прохождение через перигелий будет 13 апреля 1759 г. Он заметил, что вычисленное время, возможно, ошибочно на месяц вследствие неопределенности масс Юпитера и Сатурна и возможности возмущений от неизвестных планет кроме этих двух. Комета прошла через перигелий 13 марта, блестяще доказав ценность методов Клеро. [c.374]

Применяя метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений при помощи бесконечных степенных рядов, получаем интеграл последнего дифференциального уравнения в виде ) [c.104]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

Отметим также, что интегралы системы (1), вообще говоря, не могут быть получены в конечной форме, и интегрирование выполняется только при помощи разложения в ряды. [c.81]

Закон изменения скорости получим приемом графического интегрирования, изложенным в гл. X. Метод основан на замене площади дифференциальной кривой рядом прямоугольников. В данном случае сами прямоугольники ускорений I я II будут этими заменяющими прямоугольниками. Сносим их вер. шины на ось W в точки 1 и 2 и, выбирая произвольное полюсное расстояние Н< , проводим лучи п 1 и При помощи этих лучей строим график скоростей. [c.319]

Коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболочек вращения не зависят от q>. Это позволяет в общем случае, т. е. при любом очертании меридиана, искать решение при помощи тригонометрических рядов. Применим этот метод к интегрированию статических безмоментных уравнений. [c.202]

Для обеспечения требований 2, 3, вообще говоря, желательно, чтобы коэффициенты рядов находились не путем последовательного дифференцирования (как в рядах Тэйлора), а с помощью интегрирования некоторых простых рекуррентных систем обыкновенных уравнений. Желательно, чтобы в случае нелинейной задачи начальная часть такой цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений была нелинейной, — тогда есть надежда передать коротким отрезком ряда основные особенности нелинейной краевой задачи, — а остальные коэффициенты определялись бы из систем линейных дифференциальных уравнений достаточно простой структуры. Описанные ниже конструкции рядов отвечают в некоторой степени перечисленным требованиям, особенно характеристические ряды п. 2 для квазилинейных гиперболических уравнений, нашедшие довольно широкую сферу приложений, в частности, при решении ряда сложных пространственных задач газовой динамики. [c.226]

Представления (2.6) (2.8) позволяют установить приближенный вид аналитических разложений для функции А Х) в окрестности особых точек, получить наклоны сепаратрис и осуществлять интегрирование (1.10) при помощи этих разложений как от Л = О, так и от Л = Ag. Оказалось, что задача численного интегрирования встречается с рядом трудностей неустойчивостью расчета, связанной с направлением интегрирования, большой чувствительностью к выбору величины шагов. Тем не менее использовав четыре различные численные методики, удалось расчетным путем, используя очень мелкий шаг интегрирования 10 ), установить существование интегральных кривых, соединяющих две особые точки для о се симметричного случая, и особую точку типа седла с точкой Л = О, Л(0) = а в плоском случае. [c.442]

Наличие этих данных позволяет нам при помощи формулы (2.301) (см. главу II книги) вычислить главные нормальные напряжения Р и Q в отдельности. Авторы применяют этот способ графического интегрирования при решении различного рода задач, рассматриваемых в книге. Однако, помимо этого способа графического интегрирования, существует ряд других способов, которые также дают возможность на основе данных эксперимента вычислить Р и Q в отдельности. Больше того, можно привести некоторую общую теорию графического интегрирования уравнения равновесия плоской задачи теории упругости, при наличии данных оптического метода изучения напряжений, из которой формула (2.301) вытекает как частный случай. [c.577]

Здесь необходимо еще заметить, что интегралы, через которые выражается функция в редких случаях могли быть найдены в замкнутой форме, поэтому определение их производилось А. Н. Динником численным интегрированием по способу Симпсона, при помощи табличных значений функций J,n y). Двойной ряд оказался быстро сходящимся. [c.108]

Поскольку внешним граничным условиям нельзя удовлетворить непосредственно, используя уравнение (10), то для этого применяется разложение в ряд Фурье. Так как в этом случае граница образована четырьмя прямыми сегментами, соединяющимися друг с другом в углах, то она разделяется на соответствующее участки между углами. Так же как и в работе [6], неизвестные коэффициенты вычисляются при помощи простой схемы численного интегрирования, а собственные значения определяются из решения результирующего стандартного определителя при удовлетворении внешним граничным условиям в N точках. [c.63]

Поэтому уравнения (4.2) являются весьма сложными и их интегрирование вообще возможно только при помощи бесконечных рядов того или иного вида. Это обстоятельство является, [c.182]

Решения не особенных задач, т. е. интегрирование системы дифференциальных уравнений (8.2) при заданных, не особенных, начальных условиях, так же как и в классических задачах, могут быть получены только приближенными методами, например, методами численного интегрирования или при помощи бесконечных рядов того или иного вида. [c.339]

Для интегрирования дифференциальных уравнений поступательно-вращательного движения как в абсолютных так и в относительных осях необходимо знать выражение силовой функции С/, в зависимости от тех зависимых переменных, которые желательно определить. Однако в общем случае силовая функция представляется (см. формулы (8.4) и (8.4 )) в виде суммы интегралов, каждый из которых имеет кратность не меньшую двух и не большую шести. Все эти интегралы вообще не вычисляются в конечном виде и могут быть выражены только при помощи бесконечных рядов того или иного вида. [c.402]

Для приближенного интегрирования уравнений возмущенного движения в элементах Делонэ или в элементах Пуанкаре нужно прежде всего выразить характеристическую функцию Р через время и сами элементы, что можно сделать, как мы уже знаем, только при помощи разложений характеристической функции в бесконечный ряд. [c.697]

Представление функций. Функцию часто представляют при помощи аналитического выражения через одну или более независимых переменных, о которых можно предположить, что они непрерывным образом изменяются в некотором интервале численных значений (бесконечном или конечном). Такая формула явным образом предписывает систему математических операций над этими переменными, при помощи которых эта функция определяется для любых частных значений переменных. Исчисление бесконечно малых занимается дифференцированием и интегрированием такого рода выражении. Другой формой задания функций является табличная форма, в которой численные значения функции заданы для некоторых определенных значений независимой переменной (или переменных). Значения независимой переменной, если имеется только одна, обычно записываются в столбец, и рядом с каждым из них располагается соответствующее значение этой функции. Такое наглядное представление называется таблицей. Независимая переменная называется аргументом. Аргумент обычно, но не всегда задается на равных интервалах разность между двумя последовательными аргументами, взятая независимо от знака, называется табличным интервалом, интервалом аргумента или просто интервалом. Когда имеются две независимые переменные, то значения одной из них (называемой вертикальным аргументом) можно написать вдоль левого поля страницы, а другой (горизонтального аргумента)—поперек страницы вверху тогда значения функции образуют прямоугольную таблицу, известную под названием таблицы с двумя входами. Таблицы с одной независимой переменной называются таблицами с одним входом. [c.120]

В ряде работ было предложено решение уравнения движения машинного агрегата. В работе, посвященной исследованию движения при силах, зависящих от скорости и положения звена приведения, М. И. Бать (1950) решал это уравнение путем разложения в ряд по малому параметру и интегрирования при помощи степенных рядов. Им был разработан аналитический метод исследования работы плоского механизма при произвольном законе изменения заданных сил (1960). А. П. Бессонов разработал графический метод решения того же уравнения (1953) и провел общее исследование уравнения, качественным методом изучая его особые точки (1958). [c.377]

Построив ряды, можно вычислить значение е и osi9 при некотором конечном значении z и дальше вести интегрирование системы (8.4.14) численно, использовав значения, вычисленные при помощи рядов, в качестве начальных условий. [c.383]

Схемотехническое проектирование радиотехнических (RF) схем отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, прежде всего в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик. Моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего выполняют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного рещения в ряд Фурье, подстановкой разложёния в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем выполняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.136]

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различных тел, например бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубопроводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями параллельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения элементов распределение температур может иметь очень сложный характер, и направление теплового потока может оказаться неожиданным. Поэтому указанный способ расчета объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно расчеты сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и линий тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электроаналогии. В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (см, 2-2 и 7-1) для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо привлекать современную вычислительную технику и машинный счет. Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного опыта, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели. [c.25]

Относительно природы самой основной задачи здесь нужно сделать одно существенное замечание. Вспомним, что если мы исключим частные законы сопротивления, плохо соответствующие действительности, то не сможем найти интегралы основной задачи точно, а определим их только приближенно, выводя из баллистических таблиц. Если некоторая функция определена посредством графика, вычерченного непрерывно механическими средствами или полученного путем графической интерполяции из какого-нибудь разрывного ряда точек, заданного в виде числовых таблиц, то интегрирование можно будет выполнить при помощи подходящих способов суммирования, с приближением, сравнимым с тем, которое имело место при построении графика. Наоборот, операция дифференцирования, поскольку требуется, чтобы от точки к точке оценивалось направление касательной, порождает неуверенность в том, что мы не придем таким путем к значительно ббльшим ошибкам. Поэтому в баллистическом случав нельзя прийти к приемлемым результатам, выводя общий интеграл уравнений (41) и (42) из интеграла основной задачи через интегралы соответствующих однородных уравнений (в вариациях). В этом случае лучше прямо получить последний интеграл, применяя к однородным уравнениям те же сгмые способы табличных и графических приближений, которые служат для решения основной задачи. [c.115]

Периодическое решение уравнения движения путем разложения его в ряд по малому параметру предложил М. И. Бать [31]. Интегрирование этого уравнения он выполнил при помощи степенных рядов. Впоследствии Бать разработал аналитический метод исследования установившегося движения плоского механизма при довольно произвольном законе изменения задаваемых сил [34]. [c.9]

Реализация указанных задач выполняется при помощи ЭЦВМ. При этом нами разработан и осуществлен следующий общий метод решения математической модели (2)—(5) для ряда конкретных задач получение функции диссипации, решение уравнения энергии с учетом полученного вида функции диссипации, т. е. определение температурного поля в первом и втором приближениях и затем интегрирование функции диссипации (при известном температурном поле) по всему рабочему объему машины с целью определения мощности диссипации ( дисс (1), а затем и мощности привода. В этом случае энергосиловые параметры оборудования определяются с учетом неизо-термичности процессов переработки термопластов. При этом температурное поле позволяет не только корректно решить уравнение теплового и энергетического баланса, но и обеспечивает технологически допустимый уровень переработки. [c.98]

У +1=Уп +Путлею л Мильна. При интегрировании уравнения dyjdx = f(x,y) первые четыре значения для У и у отыскиваются с помощью ряда Тэйлора или методами Рунге—Кутта или Мультона (см. стр. 236 и 237). [c.237]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Кроме работ по механике переменных масс, И. В. Мещерскому принадлежит ряд работ но общей маханике. Такова, например, статья Дифференциальные связи в случае одной материальной точки (1887), в которой рассматривается движение точки, подчиненной неголономной связи причем связь не является идеальной и линейной. Статья О теореме Пуассона при существовании условных уравнений (1890) посвящена интегрированию уравнений динамики. В работе Гидродтгаамическая аналогия прокатки (1919) предпринята чрезвычайно интересная попытка теоретического освещения процессов, происходящих во время прокатки, при помощи уравнений движения вязкой жидкости. [c.250]

В следующем параграфе мы найдем основные определенные интегралы, позволяющие нам оценить коэффициенты во всех рядах, которые представляют для нас интерес. Там же будут решены различные задачи по теплопроводности цилиндра при этом мы будем исходить из предположения о возможности разложения в ряд и допустимости почленного интегрирования. Все решения можно получить при помощи преобразования Лапласа, как это сделано в гл. XIII, XIV. [c.195]

При 1 = 0 из-за множителя возникает особенность. Поэтому следует ожидагь, что решения, получаемые разложением в ряд по 8 (так называемые кнудсеновские итерации, ибо то же самое получается методом итераций, если в качестве нулевого приближения выбрать свободномолекулярное решение), непригодны для малых скоростей молекул. Однако при вычислении моментов при помощи интегрирования функции распределения (см. (5.34)) вкладом медленных частиц обычно пренебрегают, по крайней мере в ограниченной области, поскольку и множитель компенсирует сингулярность. Это остается верным и в задачах с плоской двумерной симметрией, для которых соотношение (9.4) будет справедливо, если заменить 62 одномерной дельта-функцией, а — величиной проекции I на соответствующую плоскость. Если же задача обладает [c.311]

Сделав некоторые допущения, приведем систему (А) двух уравнений 1-го порядка к одному уравнению 2-го порядка. Его анрлиз дает ряд приближенных выводов о мягком и жестком возбуждении колебаний, об областях устойчивости и другие результаты. В главе 2 дан геометрический метод точного интегрирования выведенных уравнений движения и при помощи этого метода исследованы некоторые системы . [c.22]

К сожалению, в настоящее время мы еще не располагаем заранее составленными для ряда типовых материалов вспомогательными таблицами для расчета операций листовой гибки. Составление таких таблиц, как это было нами выяснено, связанс с относительно громоздкими вычислениями при помощи численного интегрирования системы уравнений (10-20) и (10-21 ), т. е. системы [c.316]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Уравнения, определяющие Тп Исоп, сводятся к двум уравнениям, совершенно аналогичным уравнениям (27), а следовательно, они тоже типа Фукса. Таким образом решается задача интегрирования системы уравнений (12)—(17) с помощью рядов (21) по степеням г (по крайней мере теоретически) коэффициенты при различных степенях г легко определить. Однако такое решение нельзя считать полным, так как не дано доказательство сходимости полученных бесконечных рядов. Приходится сожалеть, что это доказательство не может быть основано на известной теореме Пуанкаре . Наши уравнения можно свести к системе уравнений первого порядка, одно из которых будет иметь вид [c.94]

Прогибы балок в условиях установившейся ползучести могут быть определены путем интегрирования соответствующего дифференциального уравнения изогнутой оси. Этому вопросу посвящен ряд упомянутых выше ранних работ, а также статьи Андерсона, Гарднера и Ходгкинса [193], Тао [282], Эллингтона [192]. В двух последних показано, что некоторые задачи в случае использования степенной зависимости скорости деформации от напряжения могут быть решены при помощи бета-функций. [c.225]

В связи с теорией продольных колебаний возникает важная проблема удара. Когда два тела сталкиваются, каждое из них приходит в состояние внутренних колебаний в свое время, повидимому, надеялись, что разрешение задачи о колебаниях двух стержней, возникающих вследствие их продольного столкновения, может пролить свет ка законы удара. Пуассон первый приступил к разрешению проблемы с этой точки зрения. Его метод интегрирования в тригонометрических рядах чрезвычайно осложняет получение общих выводов вследствие досадной ошибки в анализе, он пришел к парадоксальному заключению, что два стержня из одвого и того же материала и с одинаковым сечением не могут отделиться друг от друга, если только их длины ие равны между собою. Сен-Венан ш) исследовал эту проблему, решая уравнение колебаний при помощи произвольных функций и получил некоторые результаты, наиболее важные из которых относятся к продолжительности удара и к существованию коэфициента восстановления для совершенно упругих тел 11 ). Эта теория не подтверкдается экспериментами. Поправка, предложенная Фохтом 1 ), будучи разработана до конца, также мало улучииет дело. Таким образом попытка свести проблему удара к колебаниям, повидимому, должна быть оставлена. Гораздо более успешной была теория Герца ), основанная иа решении проблемы, которую мы назвали проблемой передачи силы. Герц исследовал независимо частный случай этой проблемы, относящийся к давлению двух тел друг на друга. Он предложил рассматривать деформацию как местный статический эффект, который постепенно возникает и убывает. Он нашел способы определения продолжительности удара, а также величины и формы тех частей поверхностей, которые приходят в соприкосновение. Согласие этой теории с экспериментами оказалось удовлетворительным. [c.38]

Введенке. В этой главе мы рассмотрим решения уравнений равновесия изотропного упругого телд при ПОМОЩИ разложений в ряды гармонических функций и главным образом в ряды сферических функций. Мы начнем с некоторых специальных типов решений, полученных при помощи сферических функций и дающих важные, результаты, касающиеся равновесия шара, которые являются началом приложений теории упругости к геофизике. Мы будем следовать Кельвину, который выразил общее решение задачи 1) о шаре при помощи сферических функций, рассматривая их как функции декартовых координат и избегая преобразования к полярным координатам. После этого мы дадим некоторые применения рядов гармонических функций, отличных от сферических функций, для интегрирования уравнений равновесия. [c.261]

При попытках решения задачи о полном статистическом описании турбулентности при помощи определения характеристического функционала поля скорости из уравнения Хопфа мы сталкиваемся с той трудностью, что сколько-нибудь общего математического аппарата для решения линейных уравнений в вариационных производных еще не создано (и даже отсутствуют точные теоремы об условиях существования и единственности решений таких уравнений). Методы решения некоторых специальных типов линейных уравнений в вариационных производных, развитые, в частности. Татарским (1961) и Новиковым (1961г), для решения уравнения Хопфа оказываются недостаточными. Об единственном общем подходе к теории интегрирования уравнений в вариационных производных, связанном с использованием так называемых континуальных интегралов, мы еще будем говорить позже (в п. 29.5) пока, однако, мы рассмотрим некоторые более простые приближенные методы, аналогичные методам решения дифференциальных уравнений с помощью рядов по степеням независимых переменных или входящих б уравнения параметров. [c.641]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...