Общая теория траекторий

Глава XV Общая теория траекторий [c.497]

Если, наконец, 2 не является простым нулем функции Ф (г) (он может быть только двойным, поскольку всегда существует нуль, меньший — /), то из общей теории заключаем, что в течение всего движения будет иметь место равенство г = т. е. траектория оказывается параллелью с высотой [c.153]

Еще до изложения общей теории нами был приведен один пример классификации траекторий. Мы имеем в виду задачу о сферическом маятнике ( 5.3). Па рис. 7 изображена диаграмма h, а. Критическими кривыми являются кривые а = О и а = ф (/i). Мы видели, что траектории подразделяются на три типа в зависимости от того, располагается ли точка h, а внутри допустимой области или находится на одной из критических кривых, ее ограничивающих. [c.311]

Здесь hi (а) определяется уравнением (17.7.4). Полуплоскость а < О исключается, а в верхней полуплоскости мы имеем три области, разделенные критическими кривыми. Рассмотрим определенное значение а (т. е. точки на некоторой горизонтальной прямой па рис. 51) и проследим за теми изменениями, которые происходят при увеличении h от —оо до -(-оо. При А =- О ф (0) < О, и при движении слева направо (т. е. из области в область SI, см. 17.5) система траекторий распадается па две системы. Здесь нужна известная осторожность при применении общей теории, иначе можно прийти к выводу, что при h = О имеем устойчивую круговую траекторию на линии и = 0. Однако [c.312]

Перейдем теперь к классификации траекторий. Как и в общей теории ( 17.4), здесь можно воспользоваться плоскостью ha, однако удобнее применить более простой метод. Кубический полином R должен иметь все пули вещественными. В самом деле, если [c.317]

Однако Гамильтон и Мёбиус не рассматривали годографы с этой точки зрения (которая, очевидно, имеет более недавнее происхождение) они нашли и использовали замечательные свойства годографов как средство геометрического выражения динамических связей, определяющих траекторию в небесной механике. Интересно отметить математическую сторону вопроса работа Гамильтона опиралась на дифференциальные соотношения,ВТО время как Мёбиус использовал для наглядности отображения метод конечных разностей. В частности, Гамильтон пришел к понятию годографа естественным путем в результате своей классической работы по кватернионам [4]. Как следствие вполне объяснимый энтузиазм Гамильтона по поводу потенциальных возможностей годографов привел его к открытию множества фундаментальных теорем, которые имеют широкое применение в задаче двух тел. Общая теория годографов космических траекторий остается справедливой для движения в присутствии любых произвольно заданных притягивающих центров и для любых ускорений от приложенных сил (например, от силы тяги бортового двигателя или от сил атмосферного сопротивления). [c.41]

Значительно позже, в работе 1912 г., Дж. Биркгоф связал эти результаты с общей теорией динамических систем. В частности, он показал, что среди геодезических или траекторий третьей категории всегда существует по крайней мере одна траектория, которая соответствует так называемому рекуррентному движению. Это показывает связь результатов Адамара с теорией [c.136]

Уточненный и дополненный с учетом пелен и нее существенных моментов вариант общей теория [2 в близкой к [5] Главе 11.1. Дальнейшее развитие теории двухфазных течений с пеленами и шнурами - образованиями с конечной линейной плотностью выполнено в [6]. В отличие от [4,5] и Главы 11.1, где пелены могли возникать из-за пересечения траекторий частиц второй фазы внутри ноля течения, в [6] исследовано образование пелен нри выпадении частиц на обтекаемые новерхности и последующего схода с них. Шнуры могут возникать либо нри пересечении траекторий частиц, составляющих пелену, либо нри кумуляции частиц внутри ноля течения, нанример, на оси симметрии сопла. [c.465]

Если функция Лагранжа явно зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве, вообще говоря, пересекаются. Поэтому вводят в рассмотрение расширенное фазовое пространство хК - прямое произведение фазового пространства и оси времени. Все отмеченные здесь понятия относятся к общей теории дифференциальных уравнений, и неудивительно, что мы фактически повторно обсуждаем вопросы, о которых уже упоминали в 1.5 в связи с уравнениями механики свободной системы в декартовых координатах. [c.263]

Представляется, что полное изучение вариации Ь1 составляет важное достоинство обсуждаемой здесь работы, так как такой анализ, выполненный методами качественной теории дифференциальных уравнений и с учетом закономерностей полета, вытекающих из общих теорем динамики, рисует картину решения проблемы в целом. В частности, при этом эффективно разрешается и вопрос о существовании оптимальной траектории и задача конкретного ее вычисления. При этом работа с вариацией б/, рассматриваемой не только на стационарных движениях и на экстремалях, позволяет еще (и действительно позволила в дальнейшем, см. 11) организовать эффективные численные процедуры для определения оптимальных движений в конкретных прикладных нелинейных задачах. К сожалению, в дальнейшем увлечение выводом различных форм необходимых условий оптимальности несколько затенило перечисленные выше и очень существенные для приложений обстоятельства. [c.183]

Здесь, в развитие некоторых идей Э. Т. Уиттекера, была построена теория локализации траекторий и теория построения полос, заключающих внутри себя траектории некоторого типа, например, периодические (замкнутые). Кроме того, была разработана общая теория построения областей сплошной устойчивости и неустойчивости траекторий в задачах рассматриваемого типа и были указаны некоторые достаточные признаки частных видов устойчивости, названные авторами устойчивостью по Якоби и орбитальной устойчивостью . [c.345]

Эквивалентность лучей и геодезических линий позволяет использовать стандартный формализм ковариантного дифференцирования, обычно используемый в общей теории относительности. При этом мы можем получать дифференциальные уравнения, описывающие оптические траектории в произвольной системе координат. [c.129]

Через каждую точку векторного поля, в которой V О, проходит одна и только одна линия тока и единственная траектория (в предположении, что L J, 1 2 и 1 3 —однозначные и непрерывно дифференцируемые функции). Те точки, где V = О, носят название критических точек. Классификация этих точек дается обычно в общей теории дифференциальных уравнений. [c.90]

Некоторые общие утверждения о ТСП и системах сравнения. С целью рассмотрения вопросов существования ключевых траекторий (замкнутых фазовых характеристик и др.), докажем одну общую теорему. Для этого заметим, что вплоть до прямых А 1 и Ло (а также Ло и Ai) существует семейство замкнутых кривых, которое является ТСП (интегральные кривые системы (1.24),(1.25 ), описывающей физический маятник). Здесь [c.97]

Все предложения настоящей главы, позволяющие сделать весьма далеко идущие заключения относительно возможных свойств разбиения на траектории, заданного системой (А), фактически являются следствием двух основных общих теорем — теоремы о существовании и единственности решения и теоремы [c.40]

Однако особенностью потоков в двумерном случае является то, что траектории локально разбивают фазовое пространство Этот факт сохраняется при переходе от сферы к другим замкнутым поверхностям он справедлив также для обратимых каска-, дов на окружности 5. Для соответствующих ДС получается достаточно содержательная общая теория (гл. 4 и статья I, гл. 2, 2, 4) . Когда же траектории не разбивают фазового пространства, ситуация, по существу, становится неизмеримо сложнее, 4 в общем случае никакая топология помочь не может. [c.179]

Теперь обсудим специфические для стационарных режимов определения устойчивости. Сразу заметим, что стационарный режим из-за наличия близких к нему иных стационарных режимов, в отличие от равновесий, никогда не бывает асимптотически устойчивым. Он может быть устойчивым по Ляпунову в случае систем с диссипацией (общего положения), когда его траектория асимптотически устойчива. В случае консервативных систем, когда траектории стационарных режимов не изолированны (заполняют целые подмногообразия в фазовом пространстве), устойчивость по Ляпунову возможна, но лишь как редкое исключение. Действительно, если начальное возмущение приводит к смежному стационарному режиму (с другой траекторией), то требуется, чтобы выполнялось некоторое условие изохронности этих стационарных движений. Например, когда они периодические, нужно, чтобы при таком возмущении период не изменялся. В ином случае возмущенные движения за конечное время разойдутся на расстояние порядка диаметра траектории. В ситуации общего положения это и происходит. Поэтому в общей теории естественны иные определения устойчивости. [c.251]

Интересной задачей является задача выбора такого начального положения КА и его скорости, а также начального положения Солнца, чтобы траектория движения была в некотором смысле наилучшей , т. е. важно так определить начальные условия, чтобы на заданном интервале времени отклонение КА от точки либрации было наименьшим. Никакой общей] теории по этому вопросу нет. В работах [176, 177] приведены результаты отдельных [c.240]

С ним мы столкнемся только при рассмотрении неконсервативных систем. Хотя, как мы только что видели, периодические движения в консервативных системах, вообще говоря, неустойчивы по Ляпунову, однако они все же обладают некоторым видом устойчивости. Именно — достаточно близкая траектория всегда лежит целиком в непосредственном соседстве с рассматриваемой. Такой вид устойчивости носит название орбитной устойчивости эта устойчивость играет существенную роль в общей теории поведения интегральных кривых. [c.151]

Трудности, которые возникают при исследовании конкретных динамических систем, очень велики, и поэтому часто ввиду отсутствия регулярных и достаточно эффективных методов приходится обращаться к различным способам численного интегрирования. Однако есть случаи, когда на основании общей теории исследование сравнительно просто может быть доведено до конца. Один из таких случаев (практически, пожалуй, наиболее важный) — это тот, когда удается каким-либо способом показать, что на фазовой плоскости рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий. [c.345]

Заметим, что здесь мы не коснемся ряда вопросов, представляющих интерес для общей теории, например вопроса о совместном существовании особых точек различных типов на сфере Пуанкаре, вопроса об изображении траекторий на проективной плоскости и т. д. [c.365]

Наряду с развитием общей теории упругопластических процессов, описанной в 5.4, 5.5, для практического приложения необходима разработка упрощенных теорий пластичности. Эти теории можно условно разбить на две группы. К первой группе относятся теории, приемлемые для описания частных видов процессов и материалов. К числу таких теорий относятся деформационная теория пластичности Генки, теория малых упругопластических деформаций Ильюшина, теория процессов малой и средней кривизны, теория процессов для траекторий в виде двузвенных ломаных и т. д. Ко второй группе относятся приближенные теории, использующие дополнительные гипотезы. Примером такой приближенной теории может служить рассмотренная в 5.7 гипотеза компланарности, а также так называемая гипотеза локальной определенности Ленского. [c.258]

В общей теории относительности уравнение траектории планеты в метрике Шварцшильда определяется интегралом [2] [c.174]

Отметим, что равномерное давление, распределенное по части FD мембраны, статически эквивалентно давлению той же величины, равномерно распределенному по пластинке D, а растягивающие усилия в мембране, действующие вдоль границы этой пластинки, находятся в равновесии с равномерной нагрузкой на пластинке. Следовательно, в рассматриваемом случае может использоваться тот же экспериментальный метод с мыльной пленкой, что и раньше, так как замена части мембраны FD пластинкой D не вызывает изменений в конфигурации и в условиях равновесия остальной части мембраны. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда границы отверстия уже не являются траекториями иаирял ений для сплошного вала. Из общей теории кручения мы знаем (см. 104), что вдоль каждой границы функция напряжений должна быть постоянной, однако эти постоянные не могут выбираться произвольно. При рассмотрении многосвязных границ в двумерных задачах было показано, что в подобных случаях необходимо обраи1,аться к выражениям для перемещений, и постоянные интегрирования следует подбирать таким образом, чтобы эти выражения становились однозначными. Аналогичная процедура необходима и по отношению к задачам о кручении полых валов. Постоянные значения функции напряжений вдоль границ следует определять таким образом, чтобы перемещения были однозначными. Тогда будет получено достаточное число уравнений для определения [c.335]

Для механизмов с несколькими степенями свободы изображающая точка должна рассматриваться в фазовом яростран стве обобщенных координат и скоростей. Тогда для изучения многомерных фазовых траекторий применяется общая теория точечных преобразований поверхностей. [c.203]

Поверхности прочности различных анизотропных композитов соответствуют многочисленным механизмам разрушения и могут иметь самые разнообразные размеры и форму, так что для описания таких поверхностей необходимо иметь достаточно гибкую математическую модель. Несмотря на то что форма поверхности прочности может быть достаточно сложной, по аналогии с выводами общей теории пластичности можно ожидать, что она будет выпуклой (Поль [38]), но даже при отсутствии выпуклости (Ашкенази [1]) для любой заданной траектории нагружения условие разрушения, записываемое в виде некоторого уравнения, имеет только один корень. Например, две прямолинейные траектории, идущие вдоль коллинеарных лучей, пересекают, как показано на рис. 2, а, поверхность прочности не более чем в двух точках. Наличие единственного корня (рис. 2,6), означающее, что для некоторых траекторий нагружения материал обладает бесконечной прочностью, физически допустимо, но в инженерной практике встречается редко. [c.408]

Важность изучения этих двух траекторий коренится в следующем предложении в течение движения рулетта катится без скольжения по своей базе. Эта теорема, которая в плоскости аналогична предлонсеншо, установленному в предыдущей главе для пространства, доказывается совершенно такими же соображениями, именно при помощи фиктивного относительного движения. Однако мы здесь вкратце повторим это рассуждение, чтобы развить учение о плоском движении совершенно независимо от общей теории движения твердых тел. [c.224]

Примеры использования главной функции. Мы видели, что главная функция зависит от 2п + 2 независимых переменных координат щчальной и конечной точек в g -пространстве и начального и конечного моментов времени. В простейших случаях (см. ниже пример 1)) этим переменным можно задать произвольные значения, так что, сообщив движение из точки Qq в момент tg, можно достигнуть цели — точки qi — в момент ti. В подобных случаях функция S существует и является (однозначной) дифференцируемой т )ункциёй при всех вещественных значениях, аргументов. В более сложных случаях это не имеет места, что, однако, не противоречит общей теории, поскольку практически мы всегда начинаем с заданной дуги известной траектории. Это соответствует определенной точке [c.275]

В общей теории относительности Г. з. частицы, прилетающей из бесконечности, становится возможным, если тяготеющим центром является чёрная дыра. В этом случае, если траектория частицы подходит достаточно близко к чёрной дыре, частица оказывается гравитационно захваченной и надает в чёрную дыру. Для иорслятнинстских частиц, имеющих на бесконечности скорость сечение Г. з. невращающейся чёрной дыры определяется выражением [c.529]

Как было показано в гл. 8, даже при пропорциональном нагружении композиционных материалов имеют место достаточно сложные траектории деформирования и нагружения на стр)гктурном уровне. Перераспределения напряжений при неодновременном переходе к пластическому деформированию элементов структуры, локальных разгрузках и разрушении приводят к изменениям направлений процессов деформирования, что в отдельных случаях сопровождается изломом траектории. Таким образом, микромеханика композитов требует привлечения соотношений пластичности, способных описывать процесс сложного деформирования (нагружения), включающего точки излома. В монографии [123] отмечено, что в противоположность большинству других проблем механики деформируемого твердого тела, допускаюпщх использование теорий простого (пропорционального) деформирования, проблема устойчивости упругопластических систем является главным потребителем общей теории пластичности, развиваемой для описания произвольных процессов. Проведенные исследования упругопластического деформирования и структурного разрушения композиционных материалов дают основания полагать, что последнее утверждение в полной мере должно относиться и к механике композитов. Проблема же закритического деформирования композиционных материалов в этом смысле является показательной, поскольку включает вопросы, связанные как с упругопластическим деформированием, так и с устойчивостью. [c.197]

Опыт научной работы членов кафедры и их участие в научно-технической помощи организациям промышленности, выступления перед научно-технической обш,ественностью (с докладами, а также в печати) привели кафедру к выводу о необходимости некоторой модернизации программы основного курса. Начиная с 1959/60 учебного года члены кафедры вели преподавание курса теоретической механики по новой программе. В курс были введены следующие главы Кинематика управляемых движений точки Теория эллиптических траекторий в центральном поле тяготения Земли Вариационный принцип Гамильтона Общая теория малых колебаний с д-степенями свободы Общие теоремы механики тел пере менной массы . [c.228]

Из анализа эллиптических движений (/г < О или е < 1) в задаче двух тел ( 7(р) 1/р) следует, что независимо от начальных данных, когда ф изменяется на 2т1, радиус р совершает полное колебание, например от р1 до р2 и обратно до р1, т.е. значение р(фо) совпадает с р(фо + 2к). Можно показать, что такой периодический характер движения сугцествует только при С/(р) 1/р и С/(р) р . Во всех остальных случаях Щр) для почти всех начальных данных, при которых движение остается ограниченным, период полного колебания по р не будет рационально соизмерим с 2к. Например, для потенциала С/(р) = - х/р + е/р , где е - малое число, в общем случае движение в конфигурационном пространстве (р, ф) происходит уже по незамкнутой кривой, типа представленной на рис. 107. Если е достаточно мало, то движение на каждом обороте близко к движению по эллипсу, однако угол со, который определяет положение перицентра эллипса, медленно, со скоростью, пропорциональной 8, изменяется с течением времени. К такому эффекту приводит учет, например, в задаче двух тел песферичности одного из тел или эффектов общей теории относительности. При этом так же, как для задачи о движении точки по поверхности (см. 4.10), для специальных начальных данных траектория движения в плоскости (р, ф) может замкнуться через п оборотов, число которых будет велико при малом 8. [c.281]

Предположим, что решение у = 1 (х) определено на интервале 1, Жг) ), и пусть X стремится к одному из концов этого интервала, например х x (все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда X Жг). На основании общих теорем нетрудно видеть, что если при х- х точка с координатами (х, f (х)) не стремится к границе области С, то она стремится к точке М Xi, f (а )), для которой Р (Xi, f Х1)) = о, т. е. к точке, в которой уравнение (П) теряет смысл. Если при этом О х , / (0 1)) = = О, то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I), в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точки естественно рассматривать уравиение (II ), и как продолжение интегральной кривой, соответствующей данному решению у = i х) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую уравнения (II ), проходящую череэ точку М (а , / (3 1)). Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р х, у), ни Q (х, у) не обращается в нуль, решение уравнения (II ) может быть получено из решения у = / (х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х = (у)> а части соответствующих интегральных кривых уравнешш (II) и (И ), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают. [c.39]

Для исследования свойств и бифуркаций такого квазифокуса построим в его окрестности на линии сшивания х = О функцию последования (точечное отображение), как и в случае настоящего сшитого фокуса (см. 4, п. 1). Будем строить эту функцию последования из двух функций соответствия между положительной и отрицательной полуосью у одной — по траекториям системы (8) и другой — по траекториям системы (9). Будем строить эти функции соответствия, используя общие интегралы систем (8) и (9), в окрестности точки 0(0, 0). Так как точка 0(0, 0) является неособой точкой для систем (8) и (9), и (по условию) каждая из этих систем определена в некоторой полной окрестности точки 0(0, 0), то в силу общих теорем (см. гл. 1) в окрестности этой точки (локально) существуют интегралы этих систем вида [c.374]

После появления теории тяготения Эйнштейна Т. Ка-луца [ ] (1921) был первым, обнаружившим возможность построения приближенной единой теории тяготения и электричества путем расширения четырехмерного пространственно-временного континуума общей теории относительности на одно дополнительное измерение. Ему удалось пока ать, что траектория заряженной частицы может быть приближенно интерпретирована как геодезическая линия в пятимерном пространстве Римана, метрика которого существенно зависит от отношения заряда к массе рассматриваемой частицы, но не зависит от пятой дополнительной координаты (условие цилиндричности). Для того чтобы установить однозначное соответствие между пятнадцатью метрическими потенциалами пятимерного пространства [c.20]

Возвращаясь к прохождению света через деформированную среду, будем опираться на исходные представления общей теории относительности и замечания Ланцоша [76]. Будем полагать, что лучи света движутся по геодезическим естественной геометрии пространства, связанного с деформируемой средой, если свет монохроматичен и длина волн света достаточно мала. При этом с>сч и, как видно из равенства (2.107), йзфО, т. е. траектории лучей света не являются минимальными геодезическими. [c.63]

Попытки решения задачи трех тел привели попутно к получению многих интересных математических результатов. Мы уже обсуждали общую теорию периодического движения, связанную с именами Пуанкаре [337 ] и Биркгофа [29 ], а также развитие теории KAM. Изучение стохастичности тоже было обусловлено попыткой понять хаотическое поведение траекторий вблизи гомоклинных точек (см., например, [374, 310]). В одном из вариантов ограниченной задачи трех тел Ситников [379 ] и Алексеев [6 ] показали, что в окрестности сепаратрисы (параболической траектории легкого тела) существуют траектории с произвольно большими и случайными временами возврата. Аналогичные результаты более абстрактного топологического характера были получены также Смей-лом [381 ]. [c.487]

Аккуратная реализация этой схемы требует рассуждений такого же типа, как и, скажем, при доказательстве того, что индексные пространства данного А гомотопически эквивалентны, нли что /г(Д) =h(Ai) /h(A2), когда А есть дизъюнктное объединение Ai и Аг. Естественно желать, чтобы результат этих рассуждений тоже был раз и навсегда зафиксирован в общей теории в виде некоторой готовой формулировки. Она должна была бы включать что-то вроде отображения индексов. h(a)— h(Ay), возникающего при сдвигах по траекториям. Однако для гомотопических типов невозможно разумным образом определить морфизмы. Дело в том, что если X и Y гомотопически эквивалентны, то этим еще не сказано, какой именно гомотопической эквивалентностью X—> Y надлежит пользоваться (эти эквивалентности могут быть негомотопны друг другу, пример [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...