Преобразованная форма уравнений движения

ПРЕОБРАЗОВАННАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.587]

Преобразованная форма уравнений движения. Перейдем теперь от движения в плоскости к общему случаю. Откажемся па время от предположения, что центр масс G находится [c.587]

Таким образом, в результате преобразования форма уравнений не изменилась, а F как функция новой переменной г отличается от / как функции старой переменной г. Следовательно, рассматриваемое уравнение движения материальной точки представлено в форме, ковариантной относительно сдвигов. Читатель может сам убедиться в том, что это же уравнение инвариантно относительно поворотов вокруг любой оси, но лишь ковариантно относительно галилеевых преобразований. [c.47]

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.312]

Преобразования Галилея не изменяют формы уравнения движения точки (1), т. е. оно инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. [c.252]

Этот результат совместно с результатом преобразования неизмененной формы уравнений движения (т. е. формы, полученной при отсутствии диссипативных сил) дает [c.36]

Это, правда, еще не окончательная форма уравнений движения, так как она требует дальнейших преобразований но раньше чем этим заняться, распространим предыдущее рассуждение на тот случай, когда не существует силовой функции, а на месте ЬП в первоначальном символическом уравнении стоит 2" (X, ЬХ( + К,- 5у, + 2, б2,). Когда все выражено в величинах [c.312]

Канонические преобразования в QTP. Если мы хотим произвести в пространстве QTP преобразования координат, сохраняющие форму уравнений движения, то лучше всего свести все рассмотрение к форме Пфаффа [c.330]

Этой формой уравнения движения мы воспользуемся для включения в него в явном виде инерционных сил. Займемся для этого преобразованием производной ёЕ1(И. Исходим из положения теоретической механики о том, что изменение кинетической энергии материальной системы только знаком отличается от работы сил инерции, которыми учитывается инерция масс системы [c.67]

Для вычисления частных производных, входящих в уравнения (1.14), удобнее воспользоваться табл. 1.1, заполнив ее результатами, найденными из выражений (1.8). Подставив значения каждой строки табл. 1.1, выражения (1.8) и (1.17) в преобразованную форму уравнений Лагранжа второго рода (1.16), можно получить полные уравнения движения КА относительно его центра масс. [c.19]

Значения частных производных от выражений (1.29) сведены в табл. 1.3. Подставив найденные результаты в преобразованную форму уравнений Лагранжа (1.16), получим искомые уравнения движения [c.25]

Как и в классической динамике, будем рассматривать движение материальной частицы. Заметим прежде всего, что закон инерции инвариантен относительно преобразований Лоренца, т. е. если частица движется без ускорения относительно инерциальной системы 5, то она будет двигаться без ускорения и относительно другой инерциальной системы 5 . Для нахождения ковариантной формы уравнений движения их нужно представить четырехмерными векторами. [c.641]

В гамильтоновой форме уравнения движения (уравнения Пуанкаре-Четаева) получаются при помощи преобразования Лежандра [c.273]

Вообще говоря, такие преобразования (или подстановки) приводят к сложным и громоздким выкладкам, а поэтому, естественно, следует отыскивать такие формы уравнений движения и такие законы преобразований, которые позволили бы упростить и сократить эти выкладки и связанные с ними вычисления. Это удается осуществить, если уравнения движения записаны в особой форме, называемой лагранжевой, и особенно, когда их удается привести к так называемому каноническому виду (гамильтонова форма). В последнем случае можно осуществить множество преобразований, не изменяющих канонического вида уравнений. [c.266]

Модели, в которых уравнения движения сразу записывались в форме преобразований типа (1.1), были специально подобраны. Обычная форма уравнений движения — дифференциальная. По-.этому напрашивается вопрос можно ли от дифференциальной формы перейти к уравнениям отображений Оказывается, что не только можно (конечно, технически это пе всегда просто сделать), но н необходимо Поясним, почему это так. [c.75]

Различные эквивалентные формы уравнений движения можно получить друг из друга путем преобразования переменных. Одна из таких форм получается в результате введения функции Лагранжа [c.21]

Таким образом, мы определили такую замену переменных, которая не нарушает ни каноническую форму уравнений движения, ни форму интегралов площадей. Но противоположно тому, что дает преобразование переменных, приведенное в 30, здесь выражение кинетической энергии в функции переменных у не имеет такой же формы, как в функции у. Действительно, с учетом условия у т= Ь имеем [c.57]

Это преобразование координат имеет большие неудобства. Нарушается не только каноническая форма уравнений движения, но и форма интегралов площадей. Поэтому мы ими здесь не будем пользоваться. [c.59]

Если при этом существует функция Лагранжа (см. 94), то гамильтонова и лагранжева формы (21i) —(21г) 101 уравнений в вариациях обладают одними и теми же инвариантами группы монодромии. Действительно, переход от гамильтоновой к лагранжевой форме уравнений движения выполняется в силу изложенного в 6—8 с помощью преобразования, рассмотренного в 147. Если данное периодическое решение не представляет собой точку равновесия, то на основании сказанного в 148 можно гарантировать, что по крайней мере один, а следовательно, в силу 151 по крайней мере два из мультипликаторов si,. .., sjn равны 1. Таким образом, по крайней мере два из характеристических показателей 11,. . ., Xzn равны нулю. [c.135]

Сохраняется лишь общая форма уравнений движения (6.8) во всех ИСО. Что же касается входящих в них величин — проекций 4-векторов, то они в разных системах имеют различные значения. Сохранение формы уравнений (при изменяющихся в них величинах) в математике называют ковариантностью. Таким образом, получены уравнения движения (6.8), ковариантные по отношению к преобразованиям Лоренца. Для практических применений следует пользоваться системой уравнений (6.1) и (6.5), эквивалентной четырехмерному уравнению (6.8). Эти уравнения также будут кова-риантны, т. е. будут иметь указанный в равенствах (6.1) и (6.5) вид [c.284]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Но преобразование, переводящее переменные д я р) в переменные QJ и Р], каноническое, так как при нем сохраняют свою форму канонические уравнения движения. Оно принадлежит к бесконечно малым контактным преобразованиям, рассмотренным в предыдущем параграфе. Имеем [c.363]

В данной главе дается подробный вывод уравнений движ ения, которые в дальнейшем используются во всех главах. Вывод уравнений проводится в векторной форме, позволяющей получать уравнения в наиболее компактном и удобном при преобразованиях виде. Вначале выводятся общие нелинейные уравнения движения, а далее рассматриваются их частные случаи, в том числе и предельный частный случай — стационарное движение стержня. [c.24]

Уравнение неразрывности, преобразованное с помощью уравнения движения, приведено в форме [c.138]

Преобразование Пуассона и Гамильтона. В конце первого тома, в п. 291 и в следующих, мы видели, как можно преобразовать уравнения движения точки, взятые в форме Лагранжа, к форме, названной канонической. [c.364]

Эти соотношения можно использовать для преобразования уравнения движения (3.12) в дифференциальное уравнение орбиты. Кроме того, ими можно воспользоваться для интегрирования уравнений движения, заданных в форме (3.17), что даст нам непосредственно уравнение орбиты. Сначала мы пойдем по первому пути. [c.87]

Глава 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела. Углы Эйлера дают нам систему трех координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебра дают мощный и изящный аппарат для исследования характеристик движения твердого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом. Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. [c.163]

Мы видели, что уравнения движения Ньютона инвариантны только при преобразовании Галилея, которое, как мы знаем, нельзя считать верным. Поэтому априори весьма вероятно, что эти уравнения, а возможно и другие известные законы физики не будут сохранять своей формы при преобразовании Лоренца. Из постулата эквивалентности следует, что такие законы не дают правильного отражения опытных фактов, и их следует так обобщить, чтобы они были инвариантными относительно преобразования Лоренца. Конечно, эти обобщения должны быть такими, чтобы для скоростей, значительно меньших скорости света, они переходили в классические законы, так как при этих скоростях преобразование Галилея является приближенно верным. [c.210]

Если иметь в виду преобразования вида (4), то этому определению удовлетворяют уравнения движения в форме (7) с соответствующим общим выражением функций F ,Fy, p2 . Однако такая ковариантная форма уравнений движения неудобна, потому что она содержит для каждой точки 12 функций, меняющих свой вид при преобразовании — ими являются функции F , Fy, Fz, и девять частных производных в правых частях уравнений (7), т. е. I2jV функций для системы из N точек. Кроме того, функции, входящие в уравнения (7), лишены механического смысла. [c.123]

В СИЛ того, что изложено ьыше, урлвнения (43) представляют собой не что иное, как преобразованную форму уравнений (40). Однако, если это и верно с аналитической стороны, особая ценность уравнений Лагранжа с теоретической точки зрения заключается 1 том, что в окончательном синтезе они разделяют механические элементы, определяющие движение. Именно, все, что зависит от активных сил, объединяется в лагранжевых компонентах (обобщенных силах) а все, относящееся к материальной струк-туре системы, синтезируется в одной величине Т, т. е. в живой силе. [c.294]

Может случиться, что в новых переменных система уравнений (1) будет иметь более простую структуру и ее интегрирование будет проще интегрирования исходной системы. В новых переменных уравнения движения могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем далее рассматривать только такие преобразования (4), которые не нарушают гамильтововой формы уравнений движения. Это будут канонические преобразования. Ниже мы дадим определение канонических преобразований, получим критерии каноничности и укажем способ нахождения функции Гамильтона, отвечающей преобразованным уравнениям. [c.338]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

В заключение заметим, что, руководствуясь положениями, высказанными в этом параграфе, при изучении движения машинных агрегатов уравнение движения целесообразно составлять для всей системы и только путем соответствующих математических преобразований приводить его к форме уравнения движения одного звена, выбираемого за главное. Однако очень часто с целью упрощения решения задачи она решается не комплексно, а расчлененно. Так, диаграмму сил полезного сопротивления, приведенных к главному звену, рассматривают как реакцию исполнительной машины на двигатель и решают задачу о движении двигателя под действием заданных сил как самостоятельной машины. [c.203]

Говоря о различных формах уравнений вихревого движения жидкости, можно отметить полезные преобразования уравнений гидродинамики, рассмотренные в 50-х годах А. Клебшем и в 60-х годах Г. Вебером Уравнение Клебша представляет некоторое обобщение интеграла Бернулли, имеющее определенную аналогию с каноничсескими уравнениями Гамильтона, а преобразование Вебера дает видоизмененную форму уравнений движения в так называемых переменных Лагранжа. [c.75]

Показать, что вариационный нринцин Гамильтона дает форму уравнений движения механической системы в потенциальном ноле, ковариаптную но отношению к произвольным преобразованиям координат. [c.217]

Отметим, что для рещения частных задач достаточно использовать обобщенные уравнения Лагранжа второго рода. Конечно, можно применять и квазиканонические уравнения к решению частных задач, но цель преобразований системы уравнений движения элемента сплошной среды к гамильтоновой квазиканонической форме заключается не в отыскании эффективных способов рещения частных задач, а в подготовке аппарата для разработки общих методов интегрирования уравнений движения. [c.117]

Теперь от лагранжевой формы уравнений движения мы можем обычным путем перейти к гамильтоновой форме. С помощью (10.91) и (10.92) в выражении (10.99) можно исключить скорость ф и получить гамильтониан Я = = Я (Яц, x , t) как функцию от сопряженных канонических переменных (Рд, х ) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой форме dPix, dt = — дН1дх dx4dt — дН дР и соответствующим выбором контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильтона —Якоби. [c.279]

При этом выяснилось, что координаты точки (точнее - события) в двух инерциальных СО связаны друг с другом более сложными формулами, чем преобразования Галилея (6.1) - они называются преобразованиями Лоренца. Уравнения движения, даваемые вторым законом Ньютона, не сохраняют своей формы при преобразованиях Лоренца, что указывает на приближенный характер ньютоновской механики. Уравнения движения в релятивистской механике, построенной в начале нашего века и описывающей движение материальной точки с любыми скоростями вплоть до скорости света в вакууме, сохраняют форму при преобразованиях Лоренца. Однако, как было пояснено во введении, движение макроскопических тел вполне удовлетворительно описьшается ньютоновской механикой и не возникает практической необходимоста пользоваться релятивистскими формулами. [c.31]

Для получения уравнения движения в привычной форме следует из уравнений (2.2)-(2.8), (2.11)-(2.13) исключить переменные Л, тп, п, <р, /1, А, а, /3. С этой целью используется тождество (1.11), в правую часть которого величина V подставляется из (2.2), а величина У /2 — из (2.4). В процессе преобразований используются другие из перечисленных уравнений или их следствия (2.14). Вычисления дают йУ (13 dm п du [c.12]

Эти примеры поясняют понятие ковариантная форма записи уравнений движения , взеденное в гл. II форма записи уравнений называется ковариашпной по отношению к некоторому семейству преобразований, если при любом преобразовании из этого семейства форма записи уравнений не меняется, а меняются лишь содер-жаш иеся в этой зшшси функции от новых преобразованных) координат, первых производных и времени. [c.123]

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве новых координат принять отрюсительные ( греческие ) координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции ф,- и г ),-, т. е. преобразование (8) новых ( гре- [c.160]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Чтобы исключить разность давлений, применим к отсеку жидкости, ограниченному сечениями 1—/ и 2—2 и боковой поверхностью трубы (контрольная поверхность на рис. 83 показана штриховой линией), уравнение количества движения в преобразованной форме (6-12). При этом учтем, что на цилиндрической части боковой поверхности os (пх) = О, а на площади кольца Sk = Sg — Si. os (пх) = —1 и давление на ней можно принять постоянным р = р — onst. Кроме того, будем пренебрегать касательными напряжениями на рассматриваемом участке. Тогда вместо (6-12) получим [c.185]

Это и есть уравнение движения, определяющее значение параметра д, служащего для фиксирования положения точки на кривой в функции времени. Чтобы придать этому уравнению более удобную форму, мы применим к нему важное преобразование, введенное Лаг-ранжем, с которым мы снова встретимся в самой общей задаче динамики голономных систем. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...