Приложение к дифференциальным уравнениям

Описанный выше шаг 2 является, в сущности, процедурой интегрирования по времени, близкой к используемой в методе Эйлера. Поэтому важно принять эффективную схему интегрирования с автоматическим выбором шага по времени, чтобы обеспечить как устойчивость, так и сходимость решения. В литературе можно найти большое количество таких методов [13], и мы изложим простой, недавно разработанный метод [24] в приложении к дифференциальному уравнению типа (12.34), т. е. к уравнению [c.351]

Достаточно общий ответ на поставленный вопрос дает теория групп Ли преобразований. Эффективные методы и приложения к дифференциальным уравнениям основаны на взаимно однозначном соответствии между группой Ли непрерывных преобразований (25,11) с вещественными параметрами и алгеброй Ли дифференциальных операторов. [c.300]

Результаты, выраженные формулами (278) и (г), можно получить и не обраш,аясь к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим равномерно распределенные сжимающие напряжения, внезапно приложенные к левому концу стержня (рис. 239). El первый момент они вызовут однородное сжатие бесконечно тонкого слоя на конце стержня. Это сжатие затем передается соседнему слою и т. д. Вдоль стержня с некоторой скоростью с начнет распространяться волна сжатия, и через промежуток времени t часть [c.497]

Условие стационарности полной потенциальной энергии бЭ = О приводит к дифференциальному уравнению изгиба кольца как легко проверить, уравнение (4.14) является уравнением Эйлера (см. Приложение I) функционала полной потенциальной энергии (4.17). Кроме того, условие бЭ = О можно использовать для построения приближенных решений [задач изгиба кольца. - [c.109]

Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на использовании так называемого представления когерентных состояний ), которое позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим метод когерентных состояний к уравнению (7.3.32) для затухающего квантового осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы фиксировать обозначения. [c.123]

Анализ процесса хроматографической адсорбции с точки зрения кинетики [Л. 235] свел задачу к решению уравнения (3-14) с краевыми условиями (3-15). Пусть f( , 5) есть изображение функции 7( , ц) по переменной т]. Приложение метода преобразования Лапласа по т) к дифференциальному уравнению в частных производных (3-14) дает [c.87]

Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны /, устройства для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3. Момент инерции звена 1 относительно оси поворота J масса звена 2 /пг, момент инерции относительно оси поворота /2 масса двигающейся руки со схватом тз, расстояние от оси поворота до центра масс р, момент инерции относительно центральной оси /3. К оси поворота приложен момент М, движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно Р 2 и р2з- Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь. [c.368]

Приложение дифференциальных уравнений к решению некоторых термодинамических задач [c.164]

При выводе дифференциальных уравнений теоретической физики используются самые общие законы природы, которые в свою очередь являются результатом чрезвычайно широкого обобщения опытных данных. Приложение этих общих законов к изучаемым [c.408]

Сначала составим уравнение рабочей машины в дифференциальной форме (см. 4.5). Выберем в качестве начального звена входной вал рабочей машины с координатой фрм = фм. К нему приведем все массы и силы, приложенные к механизму рабочей машины, (см. 4.4 и 4.3) после чего запишем [c.257]

Рассмотрим малые колебания амортизированного объекта (рис. 10.7, а), имеющего массу т. Для вывода уравнения движения амортизированных систем можно использовать принцип Даламбера. В произвольный момент времени t при значении текущей координаты 2 на массу т действует реакция Z(z,z) амортизатора. Приравнивая нулю сумму сил, приложенных к массе т, и силы инерции mz в соответствии с (10.8), получаем дифференциальное уравнение движения массы т [c.277]

Уравнение (48.2) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме, которая формулируется так производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Установим зависимость между изменением количества движения и импульсами действующих на точку сил. [c.129]

Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, есть функция координаты этой точки. В этом случае дифференциальное уравнение движения точки пмеет вид [c.248]

К силам Р, 8 VI Р, приложенным к твердому телу, добавляется сила трения скольжения = /Р, направленная в сторону, противоположную движению, т. е. по горизонтали налево. При этом Р войдет в правую часть дифференциального уравнения движения со знаком минус. Дифференциальное уравнение (2) примет вид [c.36]

К грузу, помимо упругой силы Р, приложен его вес Р. Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х [c.84]

Кроме сил Р и R, к грузу приложен его вес Р. Составим дифференциальное уравнение движения груза [c.90]

Мы получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза при наличии возмущающей силы са s m pt = L Таким образом, колебания вагона и, следовательно, точки А привеса пружины оказались источником возмущающей силы, приложенной к грузу. Перепишем дифференциальное уравнение (2) в виде [c.116]

Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, расположена при движении точки в одной плоскости с ее начальной скоростью, то движение точки происходит в этой плоскости. При этом можно ограничиться применением двух дифференциальных уравнений движения в проекциях на две оси декартовых координат или на оси полярных координат, расположенных в этой плоскости, или на иные оси. [c.538]

Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, расположена при движении точки на одной оси с ее начальной скоростью, то движение точки происходит прямолинейно вдоль этой оси. При этом следует ограничиться применением одного дифференциального уравнения движения в проекции на эту ось. [c.538]

Дифференциальные уравнения движения материальной точки поддаются сравнительно просто интегрированию в задачах, где равнодействующая сил, приложенных к точке, постоянна либо зависит только от 1) времени, 2) положения точки, 3) скорости точки. Труднее решать обратные задачи, если равнодействующая сила одновременно зависит от времени, положения, скорости и ускорения материальной точки. В этих случаях легко решаются задачи, которые приводятся к линейным дифференциальным уравнениям. [c.538]

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Наиболее удобно при решении задач пользоваться дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. В число данных и неизвестных величин должны входить момент инерции твердого тела относительно оси вращения, уравнение вращения твердого тела, внешние силы, приложенные к твердому телу. [c.541]

Можно получить первые интегралы дифференциального уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. Это осуществимо в задачах, где главный момент внешних сил постоянен либо зависит от угла поворота твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят момент инерции твердого тела относительно оси вращения, внешние силы, приложенные к твердому телу, угловое перемещение, угловые скорости твердого тела в начале и в конце этого углового перемещения. [c.541]

Можно упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек в задачах, где главный вектор и главный момент сил, приложенных к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек (угла поворота) твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят масса и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к неподвижной плоскости, силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек твердого тела (угловые перемещения), скорости точек твердого тела (угловые скорости) в начале и в конце этих перемещений. [c.542]

Если внешние силы постоянны либо зависят от положений точек твердого тела, то можно упростить интегрирование системы дифференциальных уравнений движения, применяя теорему об изменении кинетической энергии в задачах, где в число данных и искомых величин входят масса, главные центральные моменты инерции твердого тела, внешние силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек (угловое перемещение) твердого тела, скорости центра инерции и угловые скорости твердого тела в начале и в конце этих перемещений. [c.543]

Аналогично поступим с силами, приложенными к остальным точкам, и заменим в написанных выше уравнениях проекции равнодействующей суммой + то же сделаем по двум другим осям. Тогда дифференциальные уравнения примут вид [c.272]

Уравнения Риккати встречаются во многих задачах, особенно широко они стали использоваться в последние 25 лет в системном анализе и теории управления. Характерные, но ни в коем случае не исчерпывающие примеры применения уравнения Риккати можно найти в обычных классических учебниках по оптимальному управлению (см. работы II—51 и ссылки в них) и фильтрации (см. работы [3, 5—8] и ссылки в них). Одним из лучших учебников по математическим аспектам этой проблемы является работа Рейда [91, в которой наряду с вопросами управления и оценки рассматриваются приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными, однородным и неоднородным линиям передачи, диффузионной проблеме Мицельского—Паш-ковского и теории переноса нейтронов. Последняя задача является иллюстрацией той роли, которую играют уравцёния Риккати в методе инвариантного погружения (см. работы [10,111 и ссылки в них). Детали использования этих уравнений в решении двухточечных краевых задач рассматриваются, в частности, в работах Денмана, Бремли и К асти. [c.248]

Заметим еще, что всякую систему непрерывно распределенных сил можно рассматривать как предел системы конечного числа сил, приложенных к дискретной совокупности точек, в предположении, что число сил стремится к бесконечности и соответственно стремится надлелсащим образом к нулю всякая приложенная сила. Отсюда заключаем, что фигура равновесия нити в случае непрерывно распределенных сил представляет собой кривую (предел переменного веревочного многоугольника), которая называется веревочной кривой. От этих интуитивных соображений мы обратимся теперь к рассуждениям аналитического характера, чтобы придти к дифференциальным уравнениям, определяющим веревочные кривые. [c.199]

В системах нз одной, максимум — двух асферических поверх" ностей и произвольного числа сферических поверхностей большую пользу могут оказать приемы, основанные на приложении теоремы Ферма. Последняя обычно приводит либо к аналитическим соотношениям алгебраического типа, либо к дифференциальным уравнениям первого порядка. Такие задачи, как расчеты лннз, исправленных в отношении сферических аберраций при очень больших апертурах, также приводят к дифференциальным уравнениям. [c.559]

Проведем из начального положения точки С вертикально вниз ось Сх и изобразим цилиндр в произвольном положении, при котором точка С смещена вниз т величину X (рис. 261, б). На цилиндр в этом сложении действуют сила тяжести Р, архимедова сила J/ и сила сопротивления R (при ABi eHjHH цилиндра вниз, т. е. когда Vx>0, она направлена вверх) изобразим силы Р к R приложенными в точке С. Поскольку дополнительное погружение цилиндра равно х, то N=yS h+x)= =NQ-i ySx (мы видим, что N здесь является восстанавливающей силой, пропорциональной смещению х . Составляя дифференциальное уравнение поступательного движения цилиндра в проекции на ось Сх, получим [c.241]

Общее уравнение динамики (117.6) позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если механическая система состоит из отдельных твердых тел, то силы и[]ерции точек каждого тела можно привести к силе, приложенной в некоторой точке тела, и паре сил. Сила равна главному вектору сил инерции точек этого тела, а момент пары равен главному моменту этих сил относительно центра приведения (см. 109). [c.320]

Состави.м дифференциальные уравнения, описывающие движение механической системы (рис. 197, а). К колесу В приложены вращающий момент М, сила тяжести G = mgg, нормальная реакция в опорной точке К и сила сцепления Есп, предположительно направленная вправо. На тело А действуют сила тяжести Q = т , приложенная в центре тяжести С, реакция Yp, сила трения Xo=fYo и реактивный момент корпуса двигателя М. Силы взаимодействия в точке О. между телом А и колесом В являются реакциями внутренних идеальных связей и не показаны на рисунке. При расчленении системы на части (рис. 197, б, в) в точках О прикладываются силы взаимодействия Хо = Х о и Yq = Y q между телами Л и В. [c.271]

В этих задачах следует составлять дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме, учитывая при этом, кроме равнодействующей F заданных сил, приложенных к движущейся точке, нормальную реакцию N поверхностп и силу трения Fjp. Поэтому дифференциальные уравнения движения точки имеют вид [c.261]

Пример 185. На шкив радиуса г намотана нить, к которой подвешен точечный груз весом P= mg, где т-груза (рис. 223). К шкиву приложен враш,аюш,ий момент /И, при П0М0Ш.И которого этот груз поднимается, раскачиваясь в то же аремя в вертикальной плоскости. Составить дифференциальные уравнения движения системы, если момент инерции шкива относительно его оси равен и длина свисающей части нити при ее вертикальном положении в начальный момент равна [c.399]

Три совместных дифференциальных уравнения (126) второго порядка определяют координаты х, у w г в функции времени t. Если движущаяся точка М совершенно свободна, то приложенные к Heii силы могут быть функциями ее координат х, у и г, проекций ее скорости X, г/ и Z и времени t [c.263]

Пусть дана механическая система, состоящая из п материальных точек. Распределив все силы, приложенные к точкам этой системы, иа две категории (силы внешние и силы внутренние), наппшем дифференциальные уравнения движения точек системы в форме (129) в проекциях на ось абсцисс [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...