Замечательные частные случаи

Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Замечательные частные случаи [c.45]

Замечательные частные случаи [c.289]

В частных случаях некоторые из составляющих движения могут отсутствовать. Особый интерес представляет движение частиц без вращения или безвихревое движение (ы = 0), имеющее ряд замечательных свойств. Прежде чем переходить к его изучению, выясним основные закономерности более общего, вихревого движения, когда ю 0. [c.42]

Мы предоставляем читателю самому исследовать все упомянутые нами частные случаи. Наиболее замечательным из них по своей простоте является тот, при котором V содержит п-е производные только линейно. [c.329]

Семейства ( j) и (С , образующие в основной плоскости аргументов (х, /) сетку кривых, обладающих тем замечательным свойством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в на-ше.м частном случае уже проинтегрированным конеч-кым соотношениям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений в частных производных угловые коэффициенты этих кривых, определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические направления. [c.167]

Теореме Пуассона в классических Лекциях по динамике ) Якоби посвящена тридцать четвертая лекция. По словам Якоби, зто одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, а в частном случае, когда положено Н— Т- -1, это есть основная теорема аналитической механики . Чтобы, комбинируя некоторый интеграл с ранее известным, получать новый интеграл, надо, указывает Якоби, чтобы он был интегралом, специально принадлежащим рассматриваемой частной задаче. Но первые интегралы, которые отыскивались для какой-нибудь предложенной задачи, были, как правило, те, которые следовали из общих принципов (например, из принципа сохранения площадей) поэтому они не принадлежали специально именно к рассматриваемой задаче и нельзя требовать, чтобы из них должны были выводиться все первые интегралы . [c.518]

Дробно-линейная подстановка обладает тем замечательным свойством, что она сохраняет круги, т. е. любой окружности плоскости она приводит в соответствие также окружность плоскости 2, и обратно. При этом прямые рассматриваются как частные случаи окружностей. Проще всего это доказать следующим образом. Уравнение любой окружности на плоскости 2, как известно, имеет следующий вид [c.168]

XIX столетие, в особенности его вторая половина, было эпохой замечательных успехов математической физики, Пуассон, Коши, Грин, Кирхгоф и особенно Стокс и Релей — вот очень неполный перечень имен, если его можно считать достаточным. Однако, за исключением обсуждения Стоксом вопроса о природе естественного и частично поляризованного света как суперпозиции многих поляризованных волн (разд. 5.13 этой книги), основные проблемы оптики не были решены. Поиски направлялись скорее на умение математически формулировать сложные явления, чем на проникновение в физическую сущность простых явлений. Были найдены координатные системы, в которых волновое уравнение допускает разделение переменных. Толкование Френелем принципа Гюйгенса было математически обосновано Кирхгофом. Бесселевы и родственные им функции стали могущественным оружием. Проблемой, типичной для той эпохи, было рассеяние света однородным шаром, что является одной из главных тем этой книги. Она оказалась одной из весьма трудных проблем, и, хотя многие частные случаи были рассмотрены ранее, ее полное решение было сформулировано Ми только в 1908 г. [c.17]

Теперь мы хотим рассмотреть еще один тонкий вопрос, касающийся задачи Синьорини. Как мы видели, условие (10.1) достаточно для существования решения и задачи Синьорини, если оно выполняется в сильном смысле, т. е. если знак равенства в (10.1) имеет место тогда и только тогда, когда ре/ . Мы докажем, что в одном частном случае, имеющем первостепенное значение для механики, строгое условие и необходимо для существования решения. Это приведет нас к замечательной механической интерпретации этого условия. [c.138]

Замечательной особенностью преобразований Лоренца является то, что при V< они переходят" в преобразования Галилея (6.1). Таким образом, в предельном случае V< законы преобразования теории относительности и ньютоновской механики совпадают. Это означает, что теория относительности не отвергает преобразований Галилея как неправильные, но включает их в истинные законы преобразования как частный случай, справедливый при V< . В дальнейшем мы увидим, что это отражает общую взаимосвязь между теорией относительности и ньютоновской механикой — законы и соотношения теории относительности переходят в законы ньютоновской механики в предельном случае малых скоростей. [c.193]

Отображение Пуанкаре возникло и постоянно используется в теории неинтегрируемости и детерминированного хаоса. Оно также полезно для изучения интегрируемых случаев, так как позволяет наглядно представить взаимное расположение различных частных решений в фазовом пространстве, среди которьк имеются особо замечательные и имеющие важное значение (см. гл. 2). [c.57]

Задача экспериментального определения функций от двух переменных представляется также достаточно сложной, но уже не безнадежной. Замечательно, однако, что в некоторых случаях удается теоретически предсказать форму зависимости соответствующих функций двух переменных от одного из них, а для ряда статистических характеристик вообще свести всю неопределенность, имеющуюся в теоретических формулах,, к неопределенности в выборе числового коэффициента. Для этого надо только использовать дополнительные соображения о подобии, относящиеся к совсем другому классу турбулентных течений, включающему атмосферную турбулентность в качестве частного случая. Рассмотрению такого подобия будет посвящена основная часть гл. 8 в ч. 2 поэтому дальнейший анализ формул типа (7.94) мы отложим до ч. 2 настоящей книги. [c.405]

Известно очень много разных видов, в которых встречаются С -алгебры и их представления как алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и в частности алгебр фон Неймана. Замечательная классификация алгебр фон Неймана, в которой последние подразделяются на непересекающиеся типы, была разработана на раннем этапе развития теории Мюрреем и фон Нейманом [282] для частного случая факторов . Классификация Мюррея и фон Неймана полна в том смысле, что любой фактор с необходимостью приводит лишь к одному типу алгебр. Эта классификация основана на свойствах области значений функции размерности , которая представляет собой обобщение обычного понятия следа в случае операторов проектирования рассматриваемой алгебры фон Неймана ) На основе обобщенного понятия следа, которое мы введем в дальнейшем, была предпринята попытка расширить классификацию факторов до классификации общих алгебр фон Неймана. Типы полученных при этом общих алгебр фон Неймана в случае факторов совпадают с типами Мюррея и фон Неймана. Новые типы алгебр также не пересекаются. Однако в отличие от случая факторов новая классификация не является исчерпывающей, т. е. общая алгебра фон Неймана не обязательно принадлежит одному из типов. Тем не менее такая классификация представляет определенный интерес, поскольку позволяет всегда осуществлять каноническое разложение произволь- [c.165]

Нам нужно было бы эту систему проинтегрировать но это интегрирование мы вообрце выполнить не умеем однако при удачном выборе переменных можно точнее установить, в чем, собственно, заключается трудность проблемы это одновременно выявляет также наиболее замечательные частные случаи, в которых интегрирование приводится к квадратурам. [c.215]

Герц предложил замечательную геометрическую интерпретацию принципа Гаусса в частном случае, когда приложенные силы равны нулю. Он показал, что в этом случае мера принуждения Z может быть интерпретирована как геодезическая кривизна траектории С-точки, изобража-юш,ей положение механической системы в ЗЛ/-мерном евклидовом пространстве с прямоугольными координатами Ymiiji, (см. гл. I, пп. 4 и 5). Из-за наличия [c.134]

Это одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, и, в частном случае, когда иоложено Н Т— U, это есть основная теорема аналитической механики. Именно она иоказывает, что если имеет место теорема живой силы, то из двух интегра.юв дифференциальных уравнений движения простым дифференцированием вообще можно вывести третий интеграл, отсюда четвертый и т. д., так что либо получатся все интегралы, либо по крайней мере некоторое число их. [c.241]

Мастерство экспериментатора, так же как и теоретика, в немалой степени характеризуется проницательностью и вкусом в отборе подлежащих исследованию объектов и ситуаций. Важная задача, исчерпывающе исследованная крупным экспериментатором, способна открыть общие закономерности и модели в понимании новых явлений, присущих широкому классу тел, и в то же время продемонстрировать замечательные особенности, имеющие место в частных случаях. В значительной части исследований по механике сплошных твердых тел, с начала XIX века, выбор задачи диктовался практическими запросами техники и находился под их влиянием. Такая попытка служить двум господам приводила к компромиссу, при котором избирались для широкого изучения, повторного изучения и подробнейшего освещения в литературе сугубо индивидуальные неизвестной природы стальные образцы, образцы из сложных металлических сплавов, не содержащих железа, или крайне чувствительные к способу изготовления образцы из неметаллических веществ. Обилие различающихся результатов сильно повлияло на общее отношение к предмету, породив широко распространенное предубеждение, будто результаты эксперимента с твердыми телами существенно зависят от индивидуальных особенностей каждого образца. Но время и независимо мыслившие эксперимента-TopHj стремившиеся к простоте и вместе с тем учитывавшие как текущее состояние тела, так и его предшествующую историю, продемонстрировали, что точность и порядок в экспериментальных методах механики твердого тела все же существуют. [c.28]

Обобщая рассмотрение случаев двумерной и трехмерной залиси голограммы, можно сказать, что наиболее полный а-бор сведений о волновом поле объекта несет вся окружающая его безграничная объемная картина стоячих волн (рис. 22). С помощью фотографической модели этой картины можно восстановить практически все параметры волнового поля излучения, рассеянного объектом, — амплитуду, фазу, а также спектральный состав. Именно это свойство объемной картины стоячих волн и представляет собою первичное явление голографии, из которого, как частные случаи, следуют все остальные методы. Такая всеобщая связь методов голографии обусловлена замечательным свойством объемной картины стоячих волн делиться без ущерба для целостности восстановленного голограммой изображения. Оказывается, что полное изображение объекта несет не только вся объемная картина стоячих волн, но и ее отдельные фрагменты, в частности, ограниченная часть объема этой картины 62 [c.62]

Повидимому, еще не делалось попыток рассмотреть вопрос о возникновении пластических областей вокруг небольшой эллипсоидальной полости в упругом теле, находящемся под действием однородного поля напряжений, когда эти напряжения приложены на большом расстоянии от полости и дей-ствуют по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тем не менее в связи с этой темой следует обратить внимание на замечательную статью М. Садовского и Е. Стернберга ), в которой дано точное решение упругой задачи о распределении напряжений вокруг эллипсоидальной полости для случая, когда тело на бесконечности находится в равномерном всестороннем напряженном состоянии, главные оси которого параллельны осям эллипсоидальной каверны. Полученное ими решение выражено в замкнутом виде через эллиптические функции Якоби, причем приведены формулы для определения концентрации напряжений, вызванных наличием эллипсоидальной полости ). Из этого общего решения в частном случае получается задача о полости в поле чистого сдвига 0i=0, 03=—о, од=0, когда две из трех главных осей эллипсоидальной полости параллельны главным напряжениям и Og. Другие частные случаи относятся к полостям в форме эллиптического цилиндра и сферы. [c.589]

Замечательно, что в частном случае /г = 6 (когда длина пробега излучен я I Т ) уравнения гидродинамики с учетом лучистой теплопроводности (но без учета энергии и давления излучения) допускают автомодельное решение. Это решение соответствует закону нарастания температуры на границе среды То t (существование такого автомодельного решения указано в работе Маршака [7]). Масштаб плотности при этом постоянен и равен начальной плотности среды Qo, давление р qT 1/5, скорость вещества и YpIQ [c.527]

Поэтому хотелось бы иметь возможность при помощи столь же простого и общего рассуждения получить нелинейную ком-ттоненту уравнения для 0 тогда можно было бы вывести универсальный критерий неустойчивости для систем рассматриваемого типа. Автор пытался получить такой критерий, обобщая основные шаги исследования для волн на воде, но ничего простого не получилось. В этой связи нужно отметить, что Лайтхилл [.10] дал элегантный и замечательно простой результат, определяющий, будут ли при опр.еделенных ограничениях очень плавные изменения параметров цуга волн описываться эллиптическим или же №пербол ическим уравнениями и, конечно, в .любом .частном случае неустойчивость можно считать доказанной, если удастся показать, что эти уравнения эллиптические. , .. [c.102]

Работа консервативных сил. Для этого частного типа позиционных сил имеет место чрезвычайно замечательное обстоятельство, именно для вычисления работы в этом случае не только пет надобности знать закон двияieния, но нет даже нужды знать его траекторию достаточно указать только крайние точки пути P л Ро. В самом деле, в силу характеристического тождества, которым определяются консервативные силы [c.334]

В случае произвольной системы материальных точек простота предыдущей теоремы нисколько не нарушается при условии, что дифференциальным уравнениям динамики дадут ту замечательную форму, в которой их впервые представил Гамильтон и которую отныне следует предпочесть во всех общих исследованиях, относящихя к аналитической механике. Правда, формулы Гамильтона относятся исключительно к случаям, когда составляющие сил являются частными производными одной и той же функции координат однако было нетрудно внести изменения, необходимые для того, чтобы сделать эти формулы применимыми в общем случае, когда силы выражаются любыми функциями координат. [c.296]

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнени задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристическую функцию дифференцировать по произвольным постоянным, которые она содержит, то получатся интегральные уравнения данной системы дифференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные производные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, о которой идет речь и которую эти уравнения [c.6]

Общие формулы, следующие из (4), имеют еще то замечательное свойство, что они сохраняются таклсе в том случае, когда па точку (а, Ь, с) действует вторая притягательная сила, если не обраш ать внимания на некоторую модификацию, о которой мы упомянем. Тогда а, Ь, с не будут болыне произвольными, но будут данными постоянными мы имеем кроме а етце только одну постоянную j5 и не можем ею свободно распоряжаться. Модификация, которой теперт. подлежит уравнение it частных производных f2), с правою частью [c.174]

Л/, ft/,.. . j. Смотря по тому, выбираем ли мы ту или другую форму, мы имеем в теории возмущения дело либо с частными производными величии 74 и Н, по переменным q и либо с производными переменных q. и 2>1 по произвольным постоянным h . и т. е. мы должны либо, как то делал Пуассон, брать производные по переменным от функций, которым равны элементы, либо, как это делал. 1агранж, брать производные от переменных по элементам. В каждом случае приходится составлять систему 4w производных. Постоянные и к/, которые мы получаем благодаря представлению интегральных уравнений в форме Гамш1ьтона, кроме уже указанных замечательных свойств, имеют теперь еще то свойство, что обе системы производных будут либо равны, либо противоположны по знаку. [c.257]

Во втором издании Теории звука рассматривается обобщение линейных колебаний и в другом направлении,— когда параметры системы периодически изменяются. В обоих случаях Рэйли имел предшественников уравнение колебаний с третьей степенью скорости встречалось и раньше в небесной механике, и Остроградский посвятил ему небольшую, но во многих отношениях замечательную работу в 1836 г. А при анализе влияния периодически изменяющихся параметров Рэйли рассматривает частный случай уравнения, полученного Матье в 1868 г. при исследовании колебаний эллиптической мембраны к тому же общие результаты по теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими (общего порядка) коэффициентами были получены еще в 1883 г. в работе, которая, по-видимому, осталась неизвестной Рэйли Но в обоих случаях Рэйли исходил из общей постановки вопроса — и с целью показать границы линейной теории, и с целью выявить (притом самыми скромными средствами) некоторые новые свойства колебаний, обусловленные нелинейностью. Так на исходе XIX в. подготавливалась почва для оформления в самостоятельную дисциплину теории (как линейных, так и нелинейных) колебаний. [c.279]

Здесь м, — частное решение соответствующей неоднородной задачи. В случаях 2 и 3 мы встретились с замечательным явлением асим-тотического расщепления. Исходная задача (2.1) расщепляется на следующие три однородную задачу с матрицей дляф , сопряженную однородную для / и неоднородную с матрицей С)ф — для Решение этих трех задач при Л —> О заменяет исходную подстановку [c.127]

Можно допустить, что существуют и другие простые соотио-щения например, в аналогичных случаях для цилиндров частные производные по т и лг в узлах также можно взять из соответствующих таблиц (разд. 15.31). Те соотношения, которые приведены выше, уже оказались весьма полезными при выявлении некоторых вычислительных ошибок. Особенно замечательны свойства узлов первого рода. В таком узле одновременно пересекаются четыре кривые, из которых три имеют общую наклонную касательную, а одна кривая имеет горизонтальную касательную. Например, на рисунке в узле при лг=2,88 пересекаются три наклонные кривые Рь 0,2 и Рз, которые касаются друг друга, одпако взаимно не пересекаются. Далее, кривая Рг имеет горизонтальную касательную. В это.м узле все четыре угла равны 137°. [c.165]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...