Лиувилля

Как известно, уравнение (6. 1. 14) носит название уравнения Штурма—Лиувилля и имеет ненулевое решение, удовлетворяющее граничным условиям (6. 1. 9)—(6. 1. 11) только при определенных значениях а=л (п = 1, 2,. . . ). Каждому такому значению л, соответствует свое решение iV (r). [c.238]

Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени /о задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам Л,- области So, т. е. будем считать все точки этой области начальными в момент времени /о- [c.300]

Теорема Лиувилля. Фазовый объем V не зависит от t, т. в. является инвариантом движения. [c.301]

Это утверждение представляет собой иную формулировку теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема. [c.302]

Приступим теперь к доказательству теоремы Лиувилля. Эта теорема сразу следует из свойства любых решений гамильтоновой системы, которое устанавливает следуюш,ая Лемма. Пусть [c.302]

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р замкнутую область S , соответствующую / = /о (рис. Vn.lO). Фазовое пространство имеет 2п измерений, и поэтому объем области выражается 2п-крат-ным интегралом [c.304]

Мильтона — Якоби приводит к квадратурам (теорема Лиувилля). [c.167]

Таким образом, теорема Лиувилля доказана. [c.169]

Действительно, для системы Лиувилля функция Гамильтона Н выражается равенством [c.653]

Пример 9.4.9. В случае системы Лиувилля (см пример 9.4.8) имеем [c.656]

Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства Л переменных х, .., ,Хт задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений [c.668]

Доказательство. Чтобы получить этот результат, достаточно применить теорему Лиувилля, приняв [c.669]

Поэтому критерий теоремы Лиувилля выполняется. [c.670]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Последний множитель Якоби. Теорема Лиувилля [c.392]

ПОСЛЕДНИЙ МНОЖИТЕЛЬ ЯКОБИ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ [c.393]

Этот результат имеет применение в статистической механике и других разделах теоретической физики. Он известен как теорема Лиувилля ). [c.395]

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая формула Лиувилля [c.233]

Преобразование Лиувилля — Грина [110]. Произвести [c.294]

Этот случай установил Лиувилль. [c.221]

В настоящей, второй книге курса рассматриваются неравновесные системы многих частиц. Изучение таких систем является более сложной задачей. При решении этой задачи также возможны два различных подхода неравновесно-термодинамический и молекулярно-кинетический. Первый подход представляет собой обобщение термодинамики на неравновесные процессы, а второй— исходит из основного уравнения статистической физики — уравнения Лиувилля, частное решение которого уже использовалось в теории равновесных систем. [c.5]

Описание неравновесной системы с помощью зависящей от времени многочастичной функции распределения является наиболее полным. Уравнение Лиувилля для этой функции в принципе позволяет воспроизвести результаты неравновесной термодинамики и теории, использующей простые вероятностные предположения о случайном поведении системы. [c.5]

Решение уравнения Лиувилля представляет собой столь же сложную задачу, как и решение уравнений механики для системы многих частиц. Однако оно позволяет получить более простые уравнения для вероятностей нахождения одной или нескольких частиц в элементах соответствующего фазового пространства. Исследование свойств молекулярных систем с помощью функций распределения комплексов частиц составляет содержание метода Боголюбова. [c.36]

Вывод уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лиувилля [c.55]

Обсудим кратко и, естественно, в упрощенном виде сложную проблему вывода уравнения Фоккера—Планка из основного уравнения статистической физики — уравнения Лиувилля [c.55]

Решение уравнения Лиувилля можно формально записать № виде [c.56]

Интегрирование уравнения Лиувилля (4.56) по переменным молекул среды дает первое уравнение цепочки Боголюбова (см. гл. VI) [c.56]

Для того чтобы определить аналитический вид профилей температуры и концентрации целевого компонента в жидкой пленке, используем условие ортогональности собственных функций оператора Штурма—Лиувилля. С этой целью домножим уравнение (8. 4. 31) на 7 , (т ) и проинтегрируем по т [c.323]

Для интересующего нас случая можно использовать теорикг Штурма — Лиувилля, при условии что [c.174]

Остановимся лишь на рассмотрении практически важного случая Лиувилля. Если в голономиой системе с л степенями свободы кинетическая и потенциальная энергии имеют вид [c.167]

Согласно известной теореме значения функции Ft(z) слева и справа от L аналитически продолжают друг друга. Поэтому, если приписать функции F z) надлежащие значения на L и учесть, что в силу условия (6.150) любой конец с является устранимой особенностью, мы можем считать Р г) ограниченной голоморфной на всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля будем иметь F z) = = onst на всей плоскости, следовательно, F z)=Fo z)+K или [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...