Орбифолд

В настоящее время список приложений этого раздела математики значительно расщирился. Прежде всего здесь следует отметить теорию Тёрстона униформизации трехмерных многообразий и орбифолдов, теорию приближений, геометрическую теорию групп, гиперболических по Громову, и теорию автоматов. [c.8]

Для доказательства в обратную сторону напомним несколько понятий из теории орбифолдов Тёрстона. (Краткое введение в эту теорию см. в приложении Е.) [c.248]

Определение. В нащих рассуждениях орбифолдом 8, и) будет называться риманова поверхность 8 вместе с локально-конечным набором отмеченных точек aj (называемых точками разветвления), для каждой из которых определен индекс разветвления = г/(а ) 2, как [c.248]

В евклидовом случае более аккуратные рассуждения дают намного более точное описание субгиперболического отображения /. Чтобы описать геометрию на 8 , определим эйлерову характеристику орбифолда [c.251]

Построим по орбифолду (5, г/), связанному с субгиперболическим отображением /, новый орбифолд (5", р) следующим образом. Пусть 8 = / (5) — открытое множество 8, из которого удалены все непосредственные прообразы притягивающих периодических точек. Определим = / (г/) по формуле [c.252]

Х 8, ц) х 8, г/), где равенство имеет место только если 8 = 8 VI рь = и. Но, согласно лемме Е.2, поскольку отображение / 8, р) (8, и) является й-листпым накрытием орбифолдов , оно порождает изоморфизм 8 81, универсальных накрывающих поверхностей, и в этом случае формула Римана-Гурвица принимает вид [c.252]

Задача 19-е. Пример орбифолда. Покажите, что множество Жюлиа рационального отображения г (1 — 2/ ) — это вся риманова сфера. Покажите, что для и > 1 орбифолдная метрика в этом примере гиперболична. Покажите, что для и = 1 имеет место евклидов случай, но не пример Латтэ. [c.254]

Здесь приводится не содержащий доказательств обзор основных понятий теории орбифолдов и результатов, полученных Тёрстоном. (См. также Дуади и Хаббард 1993.) Будем использовать понятие точка ветвления как синоним понятия критическая точка , а понятие точка разветвления как синоним понятия критическое значение . Таким образом, если /( о) = н о и / ( о) = О, то называется точкой ветвления, а ее образ / го) = и о называется точкой разветвления. Точнее, если [c.286]

Определение. Будем называть орбифолдом пару 8, и), состоящую из римановой поверхности 8 и весовой функции 1> 5 —> 1,2,3,... , принимающей значение г/(го) = 1 всюду, за исключением множества изолированных точек. [c.287]

Замечание. Согласно Тёрстону, общее понятие орбифолда включает структуру, устроенную локально, как фактор-пространство евклидова пространства по конечной группе. Однако в случае римановой поверхности может возникнуть только циклическая группа, таким образом, может быть использовано упрощенное определение.) [c.287]

Определение. Если поверхность 8 односвязна, то регулярное разветвленное накрытие р 8 8 с весовой функцией V будет называться универсальным накрытием орбифолда (5, у). Будем использовать для этого универсального разветвленного накрытия следующее обозначение 8 8, у). Ассоциированная группа Г накрывающих преобразований называется фундаментальной группой ж 8, V) орбифолда. [c.287]

Е.1. Лемма. За исключением двух каждый орбифолд 8, и) римановой поверхности 8 имеет единственную, с точностью до конформного изоморфизма, универсальную накрывающую поверхность 8 . Такого универсального накрытия не существует в следующих двух случаях [c.287]

По определению, эйлеровой характеристикой орбифолда 8, и) называется рациональное число [c.288]

Если на поверхностях 8 и 8 заданы весовые функции //иг/, соответственно, будем говорить, что разветвленное накрытие 8 8 является накрывающим отображением орбифолдов (5", ц) 8, и), если для всех г 8 выполнено следующее равенство [c.288]

Е.2. Лемма. Отображение / (5", ц) 8, и) является накрытием орбифолдов тогда и только тогда, когда оно поднимается до конформного изоморфизма универсальных накрытий 8 на 8 . Если / является накрытием степени <1 в указанном смысле, то формула Римана-Гурвица 7.2 принимает вид [c.288]

Е.З. Лемма. Если (Б, и) — произвольный орбифолд римановой поверхности, допускающий универсальное накрытие, то х 8, и) > О тогда и только тогда, когда фундаментальная группа и) конечна-, [c.289]

Область притяжения 61, 130 Однолистная 11 Орбифолд 248, 287 Отталкивающая точка 61, 107, 182 [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...