Мероопределение

Как известно из элементов дифференциальной геометрии, от выбора этого линейного элемента зависят определение длины какой угодно линии (конечной) и остальные основные соотношения (относящиеся к углам, площадям и т. д.), которые позволяют установить всю метрику рассматриваемого пространства. Абстрактное пространство, для которого установлен линейный элемент (26) или, как обычно принято говорить, в котором установлено мероопределение, называется метрическим многообразием и будет нами обозначаться через [c.411]

В рассматриваемом здесь случае изображающего пространства конфигураций голономной системы элементарный пример одной единственной точки, свободной или удерживаемой на поверхности или на кривой, подсказывает особый выбор мероопределения, который оказывается очень удобным таюйе и в общем случае. Если масса точки предполагается равной единице, то элементарное расстояние ds между [c.411]

Такая частичная совокупность динамических траекторий называется связкой-, при этом имеет место то замечательное обстоятельство, что всякая связка динамических траекторий какой-нибудь динамической задачи с консервативными силами, определяемая некоторым мероопределением [c.415]

В динамическом случае спонтанного движения достаточно обратиться к соображениям п. 15 и ввести в пространство Г обычное мероопределение ds == 2Тчтобы точно видеть, что условие (58) выражает ортогональность перемещения ЬР к траектории или к геодезической линии соответствующего метрического многообразия V Если в более общем случае, оставаясь все же в пределах динамического случая, мы предположим, что действующие силы консервативны, но не равны нулю, и выберем некоторое значение для постоянной Е энергии, то, как мы знаем, соответствующая связка траекторий будет тождественна с совокупностью геодезических линий метрического многообразия с линейным элементом [c.449]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

Ф. Линдеман в работе О бесконечно малых движениях и системах сил при общем проективном мероопределении попытался построить общую теорию скользящих векторов в пространствах Евклида, Лобачевского и Римана, которые можно рассматривать как проективное пространство с тремя различными мероопределениями. [c.343]

Последнее заключение уже может быть непосредственно сопоставлено с опытом. Чтобы представить себе результат сравнения, достаточно учесть, что именно установление равномерного распределения на поверхности заданной энергии (при эргодическом мероопределении) характеризует произошедшую в системе релаксацию. Если бы в действительности— в полном реальном ансамбле — системы были бы равномерно распределены на поверхности заданной энергии, то практически возможность встретить систему в неравновесном состоянии была бы совершенно исключена это было бы столь же мало вероятно, как и возможность встретить систему в неравновесном состоянии после времени релаксации. (Мы говорим здесь о вероятностном распределении систем в реальном ансамбле, забывая о том, что, согласно 13, это незаконно указанный вероятностный закон следует себе представить, например, подобно вероятностному закону в реальном ансамбле, образованном колодой карт, в примере 13 в настоящем параграфе мы ставим себе целью, следуя за обычным ходом рассуждений в классической теории, выяснить возможности, предоставляемые использованием понятия реального ансамбля, независимо от аргументации 12 и 13.) В действительности мы находим сколько угодно систем, не находящихся в состоянии равновесия констатируем наличие разностей температур частей тела или различных тел, наличие разностей давлений и концентраций и т. д., одним словом,— наличие всевозможных кинетических процессов, свидетельствующих об отсутствии термодинамического равновесия в тех системах, в которых они происходят. Таким образом, сделанные нами предположения приводят нас к выводу о практической невозможности (ничтожно малой вероятности) явлений, наблюдаемых в действительности. Следовательно, наши предположения должны быть отвергнуты. [c.76]

При бесконечном К мероопределение (14) переходит в обычное мероопределение Минков-ского. Координаты / и заключены между [c.181]

Второе заключается в введении пятого дополнительного измерения пространства при сохранении мероопределения Римана в пятимерном пространстве. Для того чтобы прийти к согласованию с опытом, который не обнаруживает зависимости макроскопических полей от пятой дополнительной координаты, на мероопределение в пятимерном пространстве накладывается дополнительное жесткое требование независимости метрических потенциалов от вводимой дополнительной пятой координаты, так называемоецаландракноста. [c.6]

ОПТИКИ о распространении лучей света в пятимерном пространстве Римана координат, времени и действия, на мероопределение которого наложено условие цилиндричности. Поэтому вся излагаемая в этой книге теория получила название пятимерной оптики. [c.9]

Уравнения поля. В 5-пространстве с псевдоевклидо-вым мероопределением, 5-спинор является четырехкомпонентной комплексной величиной, составляющие которой преобразуются по четырехрядным представлениям группы пятимерных вращений. Если ограничиться преобразованиями подгруппы Лоренца (х = invar), то 5-спинор распадается на два 4-полуспинора, трансформационные свойства которых хорошо известны из теории Дирака. [c.98]

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ И МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ ЛАМЭ Введение [c.110]

Мы покажем, что мероопределение Ламэ может быть положено в основу тензорного анализа, который с успехом используется при общековариантной формулировке не только спинорных, но и тен орных уравнений математической физики. [c.110]

В обычном тензорном анализе мероопределение в пространстве Римана вводится при помощи метрической матрицы Гаусса [c.110]

Мероопределение сохраняется, если элементы матрицы Ламэ подвергнуть ортогональному преобразованию [c.111]

Полагая в основу мероопределение Ламэ, мы можем построить тензорный анализ, как теорию одновременных ковариантов двух групп преобразований [c.112]

Проведенное исследование показывает, что первичными геометрическими образами, определяющими метрику в пространстве Римана, являются элементы метрической матрицы Ламэ, в то время как составляющие метрического тензора являются производными квадратичными образованиями. Пока мы имеем дело с обычными тензорами, которые являются спинтензорами четного ранга, мы можем пользоваться обычным мероопределением. Но как только мы переходим к спинтензорам нечетного ранга, мы обязаны вернуться к исходному мероопределению Ламэ. [c.130]

Введем теперь два мероопределения — два рода длин на кривых — при помощи формул [c.217]

Чтобы притти к инвариантному мероопределению на данной поверхности постоянной энергии Е = X, рассмотрим на ней произвольное измеримое (в смысле мероопределения (15)) множество М из каждой точки этого множества проведем внешнюю нормаль к поверхности до пересечения с бесконечно близкой поверхностью Т х+Ах- [c.27]

Функция х), определяемая соотношением (16), есть монотонная функция, растущая от О до оо, когда х изменяется в тех же пределах. Ее выражение, как мы увидим далее, полностью определяет собой важнейшие черты механической структуры соответствующей физической системы. Мы будем во всем дальнейшем называть эту функцию структурной функцией данной системы. Таким образом, структурная функция системы может быть определена либо как мера поверхности, постоянной энергии (в специально выбранном нами мероопределении), либо как производная определенной нами выше функции У х). [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...