Устойчивость равновесия коэффициент устойчивост

В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маятник ОА, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно той же оси равен /г, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен с при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь. [c.287]

Если, например, возрастает удельная нагрузка, то характеристика режима падает, а с ней уменьшается и минимальная толщина масляного слоя подшипник приближается к режиму полужидкостного трения. Однако с понижением X одновременно падает коэффициент трения (см. рис. 360) и снижается тепловыделение. В результате повышается вязкость масла, отчего прежнее значение характеристики режима полностью или частично восстанавливается и подшипник переходит в состояние устойчивого равновесия. [c.352]

В положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Л, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении [c.252]

Положение устойчивого равновесия, около которого происходят малые движения системы, примем за начало отсчета обобщенных координат. Следовательно, в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Раскладываем каждый коэффициент в ряд Маклорена по степеням обобщенных координат [c.594]

Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат д и д . В случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения Сц, i2, 2J как вторые производные от Я по переменным д и д при минимуме должны удовлетворять условиям [c.433]

Составим уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Так как коэффициенты a,, постоянны, то [c.548]

Теорема 1. Если среди коэффициентов устойчивости хотя бы один является отрицательным, то изолированное положение равновесия не может быть стабилизировано диссипативными силами с полной диссипацией. [c.388]

Вариант 19. При испытании упорных (буферных) брусьев на удар маятник копра массой т = 500 кг, радиус инерции которого относительно неподвижной горизонтальной оси вращения О i o= 1,2 м, отклоняют от положения устойчивого равновесия на угол 0 = 90 и отпускают без начальной угловой скорости. Падая, маятник точкой А ударяется о буферный брус массой /По= 1000 кг, коэффициент жесткости комплекта пружин которого с= 10 000 Н/см. Коэ ициент восстановления при ударе k = 0,5. Отклонившийся после удара на угол р маятник задерживается в этом положении специальным захватом. [c.254]

Таким образом, кривая Гриффитса (12.34) определяет момент возникновения неустойчивости в равновесии трещины, когда любая случайная вариация напряжений или длины трещины вызывает прогрессирующий рост трещины. Отсюда и название — критический коэффициент интенсивности напряжений, поскольку достижение значения Kj = знаменует потерю устойчивости равновесия системы (аналогично термину критическая сила для сжатого стержня, теряющего устойчивость). [c.386]

I равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными l са 100//, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты и формы fi н h главных колебаний системы. Массой пружин пренебречь h = /j = /. [c.426]

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Ввиду того, что динамический подход определяет критическое состояние условием = О и коэффициент П< не связан с распределением массы системы, критическая нагрузка не зависит от этого распределения. Следовательно, при динамическом анализе устойчивости равновесия системы под [c.437]

Коэффициенты А и. 4,, , являясь функциями обобщенных координат, вообще говоря, переменны. Но при малых колебаниях относительно положения устойчивого равновесия выражения (41) и (42) содержат постоянные коэффициенты перед обобщенными координатами. Действительно, разлагая коэффициенты А , Л в ряд Мак- [c.40]

Уравнение (5.79) представляет собой уравнение прямой. При переменном параметре х и постоянном Дг получаем семейство прямых, угловой коэффициент которых равен Кх- На рис. 5.14 приведено семейство тяговых характеристик электромагнитного управляющего элемента, построенное в относительных координатах. На этом же рисунке нанесена характеристика пружин подвески якоря. Пересечение характеристики пружин с тяговыми характеристиками дает графическое решение уравнения (5.79) и уравнения уравновешивающих прул<ин, фиксируя точки устойчивого равновесия якоря. [c.339]

Коэффициент устойчивости равен 0.87 по предлагаемому методу, 0.89 -по методу круглоцилиндрических поверхностей скольжения для равновесия сил и 0.81 - по отношению предельных касательных напряжений к [c.20]

Пусть известны выражения для кинетической и потенциальной энергии колебаний линейной системы вблизи положения устойчивого равновесия, заданные в виде однородных квадратичных форм соответственно от обобщенных скоростей и обобщенных координат <7, с постоянными коэффициентами [c.184]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Еще в 1952 т. Циглер рассмотрел устойчивость двойного маятника с трением в шарнирах, находящегося под действием следящей силы [4]. Потеря устойчивости равновесия такого маятника происходит по колебательному типу. Вычислив критическое значение следящей силы с учетом трения и устремив затем коэффициенты трения к нулю, Циглер получил критическую силу, меньшую, чем значение, вычисленное без учета трения. Этот результат дал основание говорить о парадоксе дестабилизации вследствие трения и породил обширную литературу, частичный обзор которой можно найти, например, в работе [67]. [c.481]

Поскольку ДЛЯ завершения всех реальных процессов требуется конечное время, проходимые системой или л<идкостью промежуточные состояния никогда не являются состояниями устойчивого равновесия. Поэтому в своих расчетах инженер всегда исходит из некоторой. идеализации реальных процессов, что позволяет ему использовать данные, характерные только для устойчивых состояний. В дальнейшем для предсказания реального поведения системы инженер вводит поправочный множитель, или коэффициент полезного действия. Таким образом, на всем своем протяжении термодинамика равновесных процессов, по существу, имеет дело с идеализированными процессами перехода между состояниями устойчивого равновесия. [c.47]

I равен О, Полагая коэффициенты жесткости пружин равными С1 = сз = 10О//, определить устойчивость равновесия системы, а также чз9тоты и формы fl и /а главных колебаний системы. /Час-сой пружин пренебречь /1 = /г = /. [c.426]

Потенциальная энергия с принятой точносгью являегся однородной квадра гичной формой o6o6niem[bix коордипа ] (/, и (/2- В гом случае, когда но генциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, i. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения [c.472]

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче задано характеристическое уравнение (16) требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) ГурБица ). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми. [c.220]

Задача 1303 (рис. 707). Однородный стержень АВ длиной / и массой т, один конец которого закреплен при помощи шарнира, удерживается в вертикальном положении спиральной пружиной, жесткость которой равна q. На каждый элемент длины стержня ds при его вращении действует сила сопротивления, пропорциональная скорости этого элемента и его длине и направленная в сторону, противоположную скорости этого элемента, т. е. df = —fiuds. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии. Принимая (5 = onst, определить, при каком значении жесткости j вертикальное положение стержня будет положением устойчивого равновесия. Найти также значение коэффициента Р, при котором стержень будет совершать малые затухающие колебания вблизи вертикального положения. [c.465]

Постоянные aik и ik называются соответственно инерцион-ными и квазиупругими коэффициентами. Напомним, что функция, обращающаяся в нуль только и том случае, когда все независимые переменные равны нулю, и сохраняющая знак при любых вещественных значениях переменных, заключенных в некоторой области, называется знакоопределенной. Кинетическая энергия представляет пример знакоопределенной положительной однородной квадратичной формы обобщенных скоростей. Точно так же в области минимума, которому, согласно теореме Лагранжа ( 147), соответствует положение устойчивого равновесия, потенциальная энергия представляет знакоопределенную положительную функцию обобщенных координат в случае малых движений она аппроксимируется квадратичной формой (4). [c.548]

Вариант 29. Маятник, отклоненный от положения устойчивого равновесия на некоторый угол ос, падает без начальной скорости под действием собственного веса, вращаясь вокруг неподвижной оси О, и в вертикальном положении точкой А ударяется о покоящийся однородный полый тонкостенный цилиндр массой /По = 200кг и радиусом г = 0,2 м. Масса маятника т=100 кг, радиус его инерции относительно оси вращения ( о=1 м. Расстояния от точки О пересечения оси вращения вертикальной плоскостью симметрии до центра тяжести С маятника и до точки А, находящейся в той же плоскости симметрии 0С = d = 0,8 м и 0/4 =/=1,2 м. Коэффициент восстановления при соударении маятника и цилиндра = 0,6. [c.258]

Эти фазы разделены областью неустойчивых состояний, и так как Р"с- 46. она не реализуется, то невозможен непрерывный изобарный переход одной фазы с объемом Vi в другую фазу с объемом V2. Линия фазового равновесия определяется равенством химических потенциалов вещества в фазах и называется бинодалью (кривая 2). На бинодали коэффициенты устойчивости не равны нулю между бинодалью и спинодалью существуют области метастабильных состояний системы, в которых каждая из фаз может существовать только при отсутствии другой фазы. [c.247]

Ес.пи бы все коэффициенты /, g, h,. . . оказались )авнымн нулю, то, как это нам известно из теории максимумов и минимумов, для существования максимума или минимума требуется, чтобы члены третьего измерения были равны нулю, а ч.чены четвертого пимерении были все время положительными или отрицательными [i ]. Пользуясь этим приемом и можно судить об устойчивости равновесия, которое имеет место при обращении в нуль членов первого порядка, сс.пи одновременно с ними исчезают и члены второго порядг. а. [c.101]

МЫ замечаем, что в случае равновесия для всякой прямой а, относительно которой момент горизонтальной силы Та будет положительным, отношение PJTa будет больше или, по меньшей мере, равно единице чем больше это отношение, тем лучше тело предохранено от опасности опрокидывания вокруг соответствуюш ей прямой а. Поэтому в случае равновесия минимум положительных отношений PJTa называется коэффициентом устойчивости. [c.129]

На основании интеграла живых сил и теоремы Дирихле (отнесенной к параболоиду, т. е. к двум независимым переменным х, у) показать, что равновесие будет устойчивым, если коэффициенты а и Ь положительны. Малые колебания определяются уравнениями [c.170]

Величины Л Пуанкаре предложил называть коэффициентами устойчивости. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л отрицательна, то положение равновесия неустойчиво . Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В дальнейшем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С — матрица квадратичной формы (3). Тогда det С = Л1Л2. .. Отсюда следует, что если det С > О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если det С < О, то степень неустойчивости нечетная. [c.538]

В типичных случаях при наличии плотных пород зона обрушения формируется в виде грубоцилиндрической вертикальной трубы с торцовыми полусферами (в подошве — нижняя часть сферической полости в кровле — куполообразный свод устойчивого равновесия). Обрушение прекращается после заполнения компенсационного пространства полости. Для типичного случая объемный вес обрушившейся породы равен примерно 0,75 об. в. породы в массиве (коэффициент разрыхления 1,3—1,35). Практически весь объем статической полости распреде- [c.107]

Мы видим, что боковые смещения проволоки демпфируются силой Ру, пропорциональной скорости этих смещений с коэффициентом пропорциональности, обратно пропорциональным скорости вращения рабочего валика. Таким образом, устойчивость проволоки должна возрастать с уменьшением скорости вращения (линейной ). С другой стороны, отсутствие в выражении для Ру члена, не зависящего от скорости Уу, является благоприятным, обеспечивая возможность для проволоки после нескольких поворотов валика занять положение устойчивого равновесия. При полном отсутствии сил трения проволока располагалась бы на поверхности валика по геодезической линии. [c.92]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

Если же в результате увеличении сопротивления сет режим работы ступени переместиться в точку А, то при малейшем уменьшении Са ступень из-за резкого падения Н будет развивать меньший напор, чем требуется для поддержания данного коэффициента расхода. В результате расход воздуха через ступень будет самопроизвольно падать до тех пор, пока режим работы ступени не переместится в точку Б, где снова восстановится состояние устойчивого равновесия. Обратный переход режима работы ступени на правую (бессрывную) ветвь характеристики может произойти, очевидно, только при таком уменьшении сопротивления сети, которое соответствует переходу из точки Б в точку Г. [c.137]

Задача устойчивости характеризуется тремя безразмерными параметрами, один из которых определяет положение цапф на кривой подвижного равновесия (коэффициент нагруженности или эксцентриситет х), а два других характеризуют в основном влияние скорости вращения и гибкости ротора. Параметры устойчивости могут быть выбраны неоднозначно, поэтому ниже используется несколько вариан- [c.166]

Колебания оболочки, описываемые системой уравнений (1.70), (1.71) без правой части, при достаточно малом затухании и малых значениях коэффициентов нелинейности близки к синусоидальным в некоторой области фазового пространства, охватывающей нулевое положение равновесия. При этом нулевое положение равновесия является устойчивым. Наряду с этим существуют также устойчивые положения равновесия, соответствующие про-щелкнутому состоянию оболочки. Переход к колебаниям около прощелкнутого положения равновесия происходит после того, как оболочка преодолеет потенциальный барьер, отделяющий нулевое положение равновесия от прощелкнутого. В этом смысле траекторию изображающей точки, которая соответствует достижению потенциального барьера, можно рассматривать как границу, отделяющую область колебаний около нулевого положения равновесия от области прощелкивания. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...