Беклунда преобразование

По алгебре симметрий Н. у, м. ф. восстанавливают группу Ли — Беклунда непрерывных преобразований, оставляющих Н. у. м. ф. инвариантным. Точные решения Н. у. м. ф. находят как решения, остающиеся инвариантными при действии к.-л. подгруппы группы Ли — Беклунда. Группа Ли — Беклунда и алгебра симметрий существуют у каждого Н. у. м. ф. В большинстве случаев группа Ли — Беклунда является конечномерной. Существуют, однако, случаи, когда. эта группа бесконечномерна, как у всех перечисленных выше универсальных Н. у. м. ф. [c.316]

Если преобразование из группы Ли — Беклунда оставляет инвариантным функционал действия гамильтонова Н. у. м. ф., то оно имеет интеграл движения — функционал, не зависящий от времени. Интегралы движения образуют алгебру Ли относительно скобок Пуассона, изоморфную нек-рой подалгебре алгебры си.мметрий. [c.316]

I) справедливо и для системы (2), однако в последнем случае для разрешимости обратной задачи рассеяния требуется накладывать ряд дополнит, условий на данные рассеяния. Помимо стандартных методов для системы (2) существует метод построения решения с помощью преобразования Беклунда — Шлезингера. А именно, если Qo и Го—решения (2), то [c.473]

В первую очередь, на наш взгляд, это относится к связям между алгебраическими и аналитическими аспектами проблемы. В данном о к зоре делается попытка рассмотреть и проинтерпретировать с ещииой точки зрения некоторые Известные результаты. В качестве объекта для анализа выбраны преобразования Беклунда (ПБ). К построению этих преобразований существует два различных подхода ПБ могут эоэникать чисто аналитическим путем, как некоторый аналог калибровочных преобразований для систем уравнений, ассоциированных определенным образом с исходной нелинейной системой, или же строиться на основе анализа алгебраических структур (в частности, так называемой алгебры продолженных структур), возникающих при иэу> чении структуры рассматриваемой нелинейной системы. Именно на втором случае мы и сосредоточим основное внимание в настоящем обзоре. Алгебраическая структура, о которой будет идти речь в этом обзоре, изначально связана с тем, что рассматриваемые есь нели> нейные дифференциальные уравнения обладают Ь —. Л-парой Лакса [16] [c.5]

Различие в двух таких записях условия нулевой кривизны (1.1) и (2.0) не является принципиальным, но о нем следует помнить, чтобы не ошибиться в знаках при записи преобразований Беклунда. [c.17]

Это и есть преобразования Беклунда для уравнения Лиувилля (2 .14). Они связывают его с уравнением [c.22]

Мы видим, уто при А = о функция ш удовлетворяет свободному уравнению Лапласа, а при а, Хф О преобразования Беклунда (2.20) связывают уравнение Лиувилля с ним же самим. [c.22]

Рассмотрим теперь преобразования Беклунда уравнения (2.27). В соответствии с общей идеологией мы должны рассмотреть нелинейную реализацию алгебры (2.29) [c.24]

Вводя новую неизвестную функцию v = 2Ф — и, получим преобразования Беклунда для уравнения синус-Гордона в обычной форме . [c.24]

Таким образом, мы видим, что F-G-пары, используемые в методе обратной задачи, и преобразования Беклунда являются разными представлениями одной и той же алгебры продолженных структур. [c.24]

Преобразования Беклунда (2.33) можно получить и другим путем, рассматривая в 2-компонентной системе (2.31) отношение ф — Ф /Ф и вводя функцию V, определяемую соотношением ф = tg(v/2). Упомянем еще о преобразовании Крускала-Додда-Буллофа [c.24]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЕКЛУНДА ЦЕПОЧЕК ТОДЫ [c.25]

Наиболее ярко алгебраическая структура преобразований Беклунда проявляется в случае цепочек Тоды. Это и понятно, поскольку сами эти системы строятся как чисто алгебраические конструкции каждой полупростой алгебре Ли сопоставляется непериодическая цепочка Тоды [7], а каждой алгебре Каца-Муди — периодическая цепочка Тоды [4]. и — К-пары для таким систем можно записать в симметричном виде. При такой записи как функции, входящие в нелинейные уравнения, так и функции, на которых определены уравнения линейной задачи, оказываются коэффициентами операторов, образующих некоторые алгебры Ли. Каждому из уравнений, связанных преобразованием Беклунда, отвечает своя алгебра Ли, а само преобразование Беклунда имеет г>ид специальным образом устроенного произведения этих алгебр Ли. [c.25]

Непериодическую Л Цепочку Тоды преобразования Беклунда связывают с непериодической Л 1-цепочкой Тоды и свободным уравнением Лапласа. Непериодические С и Са-Цепочки связываются со-отве1ч твенно с Лг - , А п- и Лб-ненернодическими цепочками Тоды [c.25]

Таким обрмом, мы видим, что уравнения (3.8), (3.9) являются преобразованиями Беклунда, связывающими непериодическую цепочку Ап с непериодической цепочкой А -1 и свободным уравнением Лапласа. Продолжая эту редукцию дальше, получаем, что последовательность из п преобра130ваний Беклунда связываем непериодическую пспочку Ап с п свободными уравнениями Лапласа. [c.28]

Преобразования Беклунда (3.13), (3.14) можно проинтегрировать и найти выражения для функции G [c.29]

Этм преобразования Беклунда получаются из уравнений (3ЛЗ), (ЗЛ4) при П = 3 с помощью редукции F = О, Р =г- --Р , Р- 3= —р9 -р7 =--. =—Fi замены Р - Р п2, I = 1, 2, 3, и еще одной редукции F = [c.32]

Таким образом, уравнения (3.28) (3.29) являются преобразованиями Беклунда, связывающими друг е другом две периодические Л -пепочки Тоды. [c.34]

К сожалению, в этом случае не удается найти явные формулы, непосредственно выражающие функции С через функции F, аналогичные формулам (3.25) в случае непериодических Сп-цепочек Тоды. Поэтому мы ничего ие можем сказать о том, каким уравнениям удовлетворяют функции G, помимо того, что это уравнения периодической Лзп-аепочки Тоды, на которые наложена редукция (3.32). Система (3.30), (3.31) является преобразованием Беклунда, связывающим периодическую Сп-цепочку Тоды с этими уравнениями. Периодические Вп-цепочки Тоды не удается рассмотреть аналогичным образом. Если исходить из уравнений (3.1), (3.2), то на соответствующие функции или их линейные комбинации с функциями не удается получить самостоятельной замкнутой системы уравнений. Это согласуется с тем, что, как показано.в работе [4J, из..игУ-пары (3.1), (3.2) для.периодической В -цепочки Тоды можно получить только нелокальные интегралы движения, существование которых, вообще говоря, не свидетельствует об ее интегрируемости. [c.35]

Таким образом мы видим, что преобразование Беклунда (3.34) связывает уравнение БДЖШ с системой (3.37), редуцированной с помощью соотношения (3.38). Само же уравнение (3.33) получается из системы (3.35) с помощью редукции [c.36]

Итак, мы получили следующий результат имеем первоначально систему (3.37), обладающую автопреобразованием Беклунда, эта система допускает две редукции (3-38) и (3.39), редуцированные уравнения уже не обладают аБТопреобразованием Беклунда, но существует преобразование Беклунда (3-35), связывающее их между собой. [c.36]

Уравнения (4.2), (4.4) обладают преобразованиями Беклунда [c.38]

Прежде всего отметим, что наряду с преобразованиями (4.11) существует и другая пара преобразований Беклунда [c.40]

Непосредственно проверяется, что уравнения (4.21), (4.22) обладают преобразованиями Беклунда, связываюшими их с самими собой. [c.42]

Преобразования Беклунда (4.35), (4.36) можно проинтегрировать, выбирая в качестве затравочного решения тривиальное решение Я] = Яз = I. Уравнения (4.25), (4.26) принимают вид [c.42]

Боле поэдне , но весьма полезное изложение различных модифицированных методов построения преобразований Беклунда для уравнения Эрнста можно найти в работах [74, 75]. [c.46]

Сознавая очевидную неполноту описания истории исследования интегрируемости уравнений Эрнста и вполне вероятное присутствие некоторой доли субъективизма в ее изложении, мы все же ограничимся здесь сделанным перечислением результатов и вернемся к основной теме настоящего обзора — описанию методов построения преобразований Беклунда для этих уравнений. Основой же для этого построения нам будет служить в первую очередь общий подход, сформулированный в известной работе Эстабрука и Уолквиста [31], а наше изложение во многом будет следовать работам Гаррисона [68, 74], а также весьма обстоятельной, однако носящей более методический характер работе [94]. Кроме того, для простоты мы ограничимся лишь случаем вакуумного уравнениям Эрнста (5.1). [c.48]

Эти коммутационные соотношения как раз и определяют структуру продолжения. Они образуют некоторую неполную алгебру. Накладывая дополнительные ограничения на ее образующие, можно получить некоторую полную подалгебру, поиск различных реализаций которой и приводит, в частности, к построению преобразований Беклунда. В работе [94] были изучены одномерные реализации этих коммутационных соотношений в дополнительном предположении о полиномиальной зависимости (степени не выше второй) порождающих элементов этой подалгебры от псевдопотенциалов, а также некоторые ее двумерные реализации. Прежде всего, были указаны две неэквивалентные реализации коммутационных соотношений [c.52]

Перейдем, наконец, к построению преобразований Беклунда для уравнений Эрнста в форме (5.6). Эти преобразования ищутся в виде линейных преобразованмй между наборами величин типа А[,В[, С , и 1, В1,С1,Ла, Вз,Сз , где набор величин без щтриха отвечает некоторому исходному решению (5.6), а набор величин со штрихом отвечает новому, преобразованному решению (68, 69, 74, 94] [c.53]

Другие преобразования Беклунда возникают при использовании двумерной реализации алгебры продолженных структур (5.17). В [94] приводятся 11 решений (5.19) для этой реализации. Перечислим их. Первое из этих решений имеет вид [c.56]

Еще два преобразования Беклунда имеют вид [c.56]

Ранее, при рассмотрении уравнений КдВ, Лиувилля и других обсуждалась связь типа интегрируемости с разм ерностью алгебры продолженных структур и с наличием спектрального параметра в преобразованиях Беклунда и в —< -парах. Точнее говоря, в предыдущих случаях именно наличие спектрального параметра и обеспечивало бесконеч-номерность алгебры, т. к. он играл роль параметра, непосредственно задающего градуировку в алгебре Каца — Муди. В случае уравнения Эрнста в упомянутых здесь преобразованиях Беклунда никаких дополнительных параметров нет, однако входящие в них дифференциальные операторы уже образуют бесконечную алх ебру. Поясним это на примере преобразования Нейгебауера [c.58]

В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь о этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне спепифические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...