235: — Частоты собственные с дв . мя и тремя степенями

В одном важном частном случае, а именно, при расположении всех атомов данной молекулы вдоль одной прямой, молекула называется линейной. Число колебательных степеней свободы линейной молекулы равно Зп —5, так как вращение вокруг данной оси молекулы нельзя рассматривать как самостоятельную степень свободы. Вдоль оси линейной молекулы расположены п атомов, поэтому возможны п независимых движений вдоль этой оси. Из них одно движение является поступательным, а п—1 — колебательными. Таким образом, для колебательных движений, выводящих атомы с оси молекулы, остается Зп —5 —(я—1)== = 2 (я — 2) степеней свободы. Поскольку обе ортогональные плоскости, проходящие через ось молекулы равноправны, то все колебания, выводящие атомы с оси молекулы, дважды вырождены. Таким образом, линейная молекула из я атомов имеет 2я —3 различные частоты собственных колебаний. При я = 2 имеется лишь одна собственная частота, при я = 3 —три собственные частоты и т. д. Примером линейной трехатомной молекулы может служить молекула углекислого газа СО . Эта молекула имеет четыре колебательные степени свободы. Два нормальных колебания молекулы происходят вдоль ее оси. Третье и четвертое колебания выводят атомы с оси молекулы. Рассчитаем собственные частоты и коэффициенты распределения амплитуд по координатам Д.ПЯ этой молекулы. Пусть атомы расположены по оси ОХ и имеют координаты х , х . Запишем кинетическую и потенциальную [c.290]

Прежде всего заметим, что в данной системе должно существовать всего 6 собственных типов колебаний и шесть собственных частот, по числу степеней свободы. Одпако три частоты равно нулю, они соответствуют смещению системы как целое в х ж у направлениях и равномерному вращению вокруг центра тяжести. При возбуждении остальных собственных мод импульс и момент импульса системы в целом должен [c.78]

С учетом массы горизонтального стержня, условно сосредоточенной посредине его длины (см. рис. 245, б), система обладает тремя степенями свободы в направлениях поступательных движений, а следовательно, имеет три частоты собственных колебаний Vj = 31, — 100, Vg = 730. [c.278]

Модель стойки сложной формы и результаты ее расчета на ЭВМ представлены на рис. 59. На рис. 60 и 61 представлены результаты расчетов одностоечного станка. На рис. 62 приведены деформации для модели, представленной штрихами. На основании расчетов деформаций можно определить наиболее слабые места конструкции станка. На рис. 61 даны собственные частоты станка для различных степеней свободы. Показаны три формы колебаний в направлении оси X для трех наиболее низких собственных частот. Расчет деформаций портального станка приведен на рис. 62. [c.67]

С точки зрения механики движение такой ЛГ-атомной молекулы, представляющей собой ЗЛГ связанных осцилляторов, может быть приведено к ЗЛГ нормальным колебаниям, т. е. не зависящим друг от друга гармоническим колебаниям с разными собственными частотами, образующими набор значений ш . При этом каждое нормальное колебание представляет суперпозицию смещений сразу очень большого числа узлов решетки, это характерный коллективный эффект для всего кристалла в целом. С введением для описания механического состояния системы нормальных колебаний ее тепловое движение можно описывать не только на языке пространственных смещений узлов решетки, т.е. с помощью набора импульсов и координат частиц, как это мы делали для газовых систем (рь .., pN, Г ,..., Гм) (ЗЛГ трансляционных степеней свободы, по три на каждый узел решетки), но и как возбуждения ЗЛГ нормальных колебаний системы с частотами (о ],..., а зы) (так сказать, представлять состояния системы в разных базисах). Характеризуя этот набор собственных частот спектральной плотностью 4Т ш)/(1и), такой, что полное их число равно полному числу степеней свободы системы [c.196]

С точки зрения механики движение такой iV-атомной молекулы, представляющей собой 3N связанных осцилляторов, может быть приведено к 3N нормальным колебаниям, т. е. не зависящим друг от друга гармоническим колебаниям с разными собственными частотами, образующими набор значений со . При этом каждое нормальное колебание представляет суперпозицию смещений сразу очень большого числа узлов решетки, это характерный коллективный эффект для всего кристалла в целом. С введением для описания механического состояния системы нормальных колебаний ее тепловое движение можно описывать не только на языке пространственных смещений узлов решетки, т. е. с помощью набора импульсов и координат частиц, как это мы делали для газовых систем (рь. .., рл/, Гь. .., Гл ) (3N трансляционных степеней свободы, по три на каждый узел решетки), но и [c.502]

Итак, система с двумя степенями свободы обладает двумя собственными частотами. Если система имеет три степени свободы, она будет иметь соответствегпю три собственные частоты. Для их определения нужно решать уже не квадратное, а кубическое уравнение. При добавлении каждой степени свободы задача, таким образом, будет усложняться. [c.477]

Прежде всего будем пршебрегать распредшенной массой штанги, что снижает число степеней свободы системы до 8 две нормальные формы из-гибных колебаний в одной плоскости, две — в другой, крутильные колебания и три степени свободы системы как твердого тела. Частоты собственных изгибных колебаний системы первой и второй нормальных форм без учета массы штанги определяются выражениями [38] [c.150]

Твёрдое тело, упруго позвешенное в пространстве, может иметь в общем случае шесть степеней свободы, а именно три поступательных перемещения в направлении главных осей и три вращательных вокруг них, и обладать щестью частотами собственных колебаний. Формы колебаний представляют при этом вращательные движения тела (подобно маятнику) вокруг осей, особых для каждой из частот. [c.253]

В качестве примера с тремя степенями свободы рассмотрим лагранжев тяжелый симметричный волчок, закрепленный в точке на оси. Здесь сразу видны три первых интеграла Н, М , М . Легко проверить, что интегралы и Мд находятся в инволюции. Далее, многообразие Н = кв фазовом пространстве компактно. Поэтому мы без всяких вычислений сразу можем сказать, что при большинстве начальных условий ) движение волчка условнопериодично фазовые траектории заполняют трехмерные торы Н = Сг, М = Са, М = Сд. Соответствующие три частоты называются частотами собственного вращения, прецессии и нутации- [c.239]

Выбор основных конструктивных параметров привода проводили на основе данных расчетов различных вариантов на ЦВМ. Сопоставлялись три варианта привода 1) опорно-центровой 2) опорно-осевой с упругой тяговой передачей 3) опорно-осевой с жесткой тяговой передачей. По результатам статических, динамических градуировок и измере ний получены упруго-диссипатив-ные и инерционные характеристики привода. Для опорно-центрового привода, как системы с 13 степенями свободы, рассчитаны следующие частоты собственных колебаний системы (Гц) 1,28 6,23 [c.79]

Итерационный процесс понижения числа степеней свободы системы, описанный выше, теоретически можно применять многократно до тех пор, пока не будут определены все частоты и формы колебаний системы со многими степенями свободы. Однако каждое собственное значение и собственный вектор, определяемые таким образом, являются только приближенными. Поэтому проводимая на каждом шаге ортогонализация будет неполной. Более того, каждое понижение числа степеней свободы сопровождается ошибками округления, которые накапливаются с каждым шагом. С вопросом о точности связано и то обстоятельство, что для получения большого числа частот и форм колебаний требуется выполнять необычно большое число арифметических операций, Следовательно, как об этом уже говорилось в начале данного параграфа, итерационный метод лучше всего использовать в том случае, когда требуется определить только несколько низших форм колебаний. Кроме того, необходимость выполнения большого числа арифметических операций в случае систем с очень большим числом степеней свободы требует применения ЭВМ, особенно тогда, когда трудно предугадать формы колебаний. Поэтому в приложении к книге дан текст программы на языке БЕЙСИК, под названием ЕШ1ТЗ, которая позволяет вычислять три первые собственные значения и собственные векторы матрицы с помощью итерационного метода. [c.298]

Тогда система (9.10) сведется к системе Зз линейных однородных уравнений для коэффициентов i. Условием существования нетривиального решения этой системы будет условие равенства нулю ее определителя. Мы получим алгебраическое уравнение teпeни Зз относительно величин Решения этого уравнения и дадут собственные частоты нормальных колебаний для данного значения волнового вектора к, симметрию которых мы только что определяли. Мы получим Зз корней Ш1 к), Ш2 к),..., шз,(к). Рассматриваемые как функхдаи вектора к величины 1, Ш2,..., Шз называют ветвями упругого спектра. Значения этих функций при А = О называют предельными частотами. Раньше мы показали, что при Л = О имеется три нормальные координаты, которые описывают смешение кристалла как целого (поступательные степени свободы). Очевидно, этим координатам соответствуют частоты, равные нулю. Поэтому мы можем утверждать, что три из ветвей спектра должны начинаться со значения ш, равного нулю. Эти три ветви называют акустическими ветвями спектра. Остальные Зз — 3 ветвей называют оптическими. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...