Полуконечный след

На этом основании можно дать следующие определения. Мы скажем, что алгебра фон Неймана относится к runt/ II, если она полуконечна и непрерывна, и к типу III, если она чисто бесконечна (и, следовательно, непрерывна). Из приведенной выше структуры видно, что алгебра фон Неймана может принадлежать самое большее одному из трех типов (I, II и III) и что произвольную алгебру фон Неймана можно каноническим образом разложить в сумму трех алгебр фон Неймана [c.170]

BE = ЕВ — В.Ъ обоих случаях алгебра 31 наследует от алгебры 31 следующие свойства а) полуконечна б) чисто бесконечна (т. е. алгебра фон Неймана типа III) в) дискретна (т. е. алгебра фон Неймана типа I) г) 31 непрерывна д) 31 — алгебра фон Неймана типа II е) 3 g конечна и ж) 31 — алгебра фон Неймана типа П]. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (доказательства утверждений а и е — гл. 1, 6, п. 8, предложение 11 утверждения б гл. 1, 6, п. 8, следствие 4 утверждений в и г — гл. 1, 8, п. 3, предложение 4). Утверждение д следует из утверждений а и г . Утверждение ж следует из утверждений д и е . Теми же свойствами (кроме двух последних свойств, не имеющих места в общем случае) обладает и коммутант 31. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (в частности, утверждение а доказано в гл. 1, 6, п. 8, следствие 1 утверждение 6 — в гл. I, 6, п. 8, следствие 3 утверждение в — в гл. 1, 8, Н,. 2, теорема 1 утверждение г — в гл. 1, 8, п. 2, следствие 1). Утверждение д следует из утверждений а и г . Заметим, однако, что утверждение е и, следовательно, утверждение ж остаются в силе для коммутанта 31, если существует конечный набор Wi,..., W элементов из Ж, циклических относительно 31 [77, гл. 2, 2, упражнение 2]. [c.172]

Примечание. Поскольку стандартную алгебру фон Неймана можно определить [77, гл. 3, 1, п. 5, следствие из теоремы 6] как полуконечную алгебру фон Неймана, удовлетворяющую условиям, перечисленным в результате 3, из последнего следует, что всякий С -автоморфизм между стандартными алгебрами фон Неймана унитарен. [c.204]

Тогда, по определению, существует полуконечный точный нормальный след 1(3 на Яф(91)", единственный с точностью до (положительного) постоянного - множителя [77, гл. 1, 6, п. 4, теорема 3, следствие], так как Яф (Я)" — фактор. В силу нормальности следа 1(3 существует семейство У векторов в [c.271]

Оно также является полуконечным точным нормальным следом на Яф(Э )" и, стало быть, пропорционально 1 з. Тогда существует [c.271]

Поскольку оператор Е конечен, мы имеем (113 ) < оо. При Я,( ) < 1 написанное выще равенство означает, что У,Еи д) ")->0 при п >оо. Поскольку же — нормальный след, для каждого конечного оператора проектирования еЯф (Ш)" это означает, что [/ (д)"Еи (д) Р 0 (в сильной топологии) и, следовательно, и дУЕи д) - 0 (также в сильной топологии). Таким образом, (ф и д)" Еи д) )->0. Напомним, что по предположению состояние ф С-инвариантно. Поэтому величина (ф Е) обращалась бы в нуль для каждого конечного оператора проектирования Е из Яф(91)". Воспользовавщись еще раз условием КМШ, получим, что вектор Ф — разделяющий для Яф(8i)", а поэтому конечность оператора проектирования Е означала бы = 0, ибо, как мы только что заметили, (ф ) = 0. Но это противоречило бы нашему предположению о том, что (91)" — полуконечный фактор. Следовательно, Я,( ) = 1 для всех д О, т. е, г) есть С-инвариантный след на Яф(8i)". Учитывая данное обстоятельство, мы заключаем, что для каждого конечного оператора проектирования Е из Яф(Я)" выполняются соотношения [c.271]

Насколько известно автору, то обстоятельство, что проведение различия между группой симметрии О и эволюцией во времени не сказывается на доказательстве теоремы 14, было впервые отмечено Штермером [376]. Приведенное нами доказательство воспроизводит предложенное Штермером [380] доказательство следующего утверждения Пусть 3№— полуконечный фактор, действующий на некотором гильбертовом пространстве а — группа унитарных операторов на таких, что иШи = Ш для всех U Предположим, что существует единичный вектор Ч удовлетворяющий следующим условиям 1) вектор Ч — разделяющий для 3№ 2) множество W A совпадает с множеством векторов таких, что 1/Ф = Ф для всех Тогда фактор 3№ конечен со следом 5р(Л) = (Ч , для всех ЛеЗИ . Отметим, в частности, что Штермер в своем доказательстве не требует усреднимости группы G и лишь предполагает, что она действует П-абелевым образом. Это обеспечивает ему большую общность, что особенно ценно при рассмотрении релятивистских теорий поля, в которых, очевидно, условие КМШ на ф необходимо заменить предположением о том, что Ф — (циклический и) разделяющий вектор для фактора Яф (Я). Представленное нами несколько более простое доказательство остается в силе для статистической механики при допущениях, достаточно общих для того, чтобы охватывать все наиболее интересные случаи. [c.273]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...