Ряд Шрёдера

И потому коэффициент при С" в правой части будет многочленом с рациональными коэффициентами относительно а/ (/ = 2,. .., гг) и уже известных Ьк (/с = 2,. .., гг — 1), в то время как соответствуюгций коэффициент в левой части уравнения (6) равен (А" — А)6 . Так как А не равно корню из единицы и не равно нулю, то и А" — А О (гг = = 2, 3,...), поэтому Ъп определяется однозначно. Таким образом, мы последовательно получим все коэффициенты ряда Шрёдера (р С,) = С + + 2С + - , который формально удовлетворяет функциональному уравнению Шрёдера (5). [c.239]

Исследуем теперь прежде всего сходимость формально образованного ряда Шрёдера ip z) в случае Л ф 1. Это можно легко сделать с помощью уже применявшегося метода мажорант. Вследствие сходимости ряда (2) существует такое положительное число а, что a +i < а (гг = 1, 2,. ..). Если вместо zi, z в преобразование (2) ввести azi, az, то получится опять конформное отображение в форме (2) с тем же значением А, но для которого теперь [c.240]

Для дальнейшего рассмотрения можно ограничиться случаем, когда А по абсолютной величине равно единице, но не является корнем из единицы. В этом случае для исследования сходимости ряда Шрёдера требуются весьма тонкие оценки, к которым мы и переходим. Прежде всего покажем, что те значения А, для которых при соответствующем выборе сходящегося ряда f z) = Xz +. .. ряд Шрёдера ip () расходится, лежат даже всюду плотно на окружности А = 1 [2]. Для доказательства достаточно взять степенной ряд f z), все коэффициенты которого а п = 2, 3,. ..) равны причем выбор знака опреде- [c.241]

О < а < 1 меру Лебега, равную единице. Множество действительных иррациональных чисел а, для которых по крайней мере один сходящийся ряд /( ) с первым коэффициентом Л = приводит к расходящемуся ряду Шрёдера (р С), имеет поэтому меру нуль. В частности, можно сказать, что вообще отображение 5 устойчиво, если только выполнено необходимое условие Л = 1. [c.243]

В следующем параграфе будет показано, что для всех а из Г при произвольном выборе сходящегося ряда /(г) = Аг +. .., где А = соответствующий ряд Шрёдера также сходится [3]. Но тогда по определению А Э Г, следовательно, справедливо равенство т А) = 1, а это и было нашим утверждением. [c.245]

Чтобы исследовать, является ли отображение 3 устойчивым, достаточно посмотреть, возможно ли разрешить функциональное уравнение Шрёдера с помощью сходящегося степенного ряда 99(С) = С + -.-Для этого возьмем (р () с неопределенными коэффициентами и попробуем получить решение уравнения (5) в виде формального степенного [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...