Преобразование каноническое нормальная форма

При этом все же неизвестно никакого конечного процесса, который позволил бы установить, является ли преобразование к нормальной форме сходящимся или расходящимся. Если каноническое преобразование [c.281]

Произвольное точечное преобразование, переводящее qi и Pi в Qi и Pi, могло бы нарушить нормальную форму канонического интеграла, а вместе с ней и канонические уравнения. Мы должны ограничиться, таким образом, преобразованиями, которые сохраняют каноническую форму этих уравнений. Последнее гарантируется в том случае, если варьируемое подинтегральное выражение имеет вид (7.2.2). Любое преобразование, оставляющее инвариантным каноническое подинтегральное выражение (7.2.2), оставляет инвариантными также и канонические уравнения (7.2.1). [c.228]

Найдем вещественное линейное унивалентное каноническое преобразование Xj yj j = 1, 2,..., 2n), приводящее систему (30) к ее нормальной форме [c.396]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Обычные проблемы механики приводят к лагранжианам, которые не содержат производных выше, чем первые. В общем же случае вариационной проблемы в подынтегральной величине могут быть производные п-го порядка. Однако и такая задача может быть приведена к нормальному виду с помощью канонических интегралов, так что канонические уравнения Гамильтона, как показал Остроградский, могут рассматриваться как нормальная форма, в которую могут быть преобразованы дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении вариационной проблемы это преобразование требует только дифференцирований и исключений. [c.905]

Координаты Yy, в которых кинетическая энергия системы выражается в виде суммы квадратов обобщенных скоростей, а потенциальная энергия — в виде канонической квадратичной формы обобщенных координат, Называются нормальными координатами. Матрица v преобразования (5.29) является частным случаем модальной матрицы г, а нормальные координаты — частным видом главных координат. [c.159]

В заключение отметим, что коэффициенты С ц в (154) и коэффициент Ср в (157) являются инвариантами функции Гамильтона относительно канонических преобразований [172], т. е. не зависят от способа нахождения нормальной формы. [c.226]

Теорема 4. Существует такое формальное каноническое преобразование вида (11.2), что исходный гамильтониан Н х,у) преобразуется к нормальной форме, т. е. D K) = 0. [c.128]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Это позволяет изучать поведение системы в течение больших интервалов времени для близких к равновесию начальных условий. Однако этого недостаточно, чтобы определить, будет ли положение равновесия устойчивым по Ляпунову (из-за того, что на бесконечном отрезке времени влияние отброшенного остаточного члена ряда Тейлора может разрушить устойчивость). Такая устойчивость вытекала бы из точного приведения к аналогичной нормальной форме, без пренебрежения остаточными членами. Однако можно доказать, что это точное приведение, вообще говоря, невозможно, а формальные ряды для канонических преобразований, приводящих систему к нормальной форме, в действительности в общем случае расходятся. [c.352]

Определение. Нормальной формой Биркгофа степени s для преобразования назовем каноническое преобразование плоскости в себя, являющееся поворотом на переменный угол, который является полиномом степени не выше т = [s/2J—1 от переменной действия т канонической полярной системы координат [c.354]

Теорема. Если система не резонансная порядка s и меньше, то существует 2п-периодически зависящее от времени каноническое преобразование, приводящее систему в окрестности положения равновесия к такой же нормальной форме Биркгофа степени s, как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены R степени s i и выше будут периодически зависеть от времени. [c.355]

Замечание. Введем в множестве 3(ё новую топологию рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами Нн. все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами удовлетворяющими неравенствам 1Ак,—Лк, 1<в при 1 1-Ь + 5 Л для некоторых е>0 и N 3. Можно показать, что относительно топологии множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Действительно, если в формальных степенных рядах, задающих преобразование Биркгофа, мы отбросим члены степени больше Ы, а затем подправим коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то получим сходящееся каноническое преобразование, приводящее модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим, что топология конечно, много слабее топологии [c.255]

Всегда ли существует вообще такое каноническое преобразование, которое заданную систему (5) переводит в нормальную форму (7) Как будет далее показано, на этот вопрос следует ответить утвердительно. [c.30]

После применения преобразования (5.3) система уравнений (5.4) приобретает нормальную форму с функцией Гамильтона (2.1). Постоянную матрицу А в формуле (5.2) подберем так, чтобы преобразование (5.1) было вещественным, унивалентным, каноническим 2л-периодическим по t. [c.40]

При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений [c.52]

Это утверждение нетрудно доказать методом математической индукции. Отметим, что постоянные коэффициенты многочлена Я (гх,.... .., г ) не зависят от порядка ЛГ нормализованных членов и от способа приведения функции (1.2) к нормальной форме (1.25) они являются инвариантами гамильтониана (1.2) относительно канонических преобразований [11, 12, 29]. [c.56]

Сначала надо провести нормализацию квадратичной части функции Гамильтона. В этом параграфе построено линейное, веш,ественное, каноническое, 2п-периодическое по V преобразование д , рХ (г = 1, 2), приводящее квадратичную часть Яа функции Гамильтона к нормальной форме (2.1). Нормализующее преобразование найдено с точностью до первой степени эксцентриситета. [c.150]

Найдем линейное каноническое 2я-периодическое преобразование, нормализующее квадратичную часть гамильтониана возмущенного движения (см. разложение (3.1) в главе 7). С точностью до первой степени эксцентриситета такое преобразование найдено в 2 предыдущей главы. Там же (в 3) были найдены (с точностью до членов порядка е ) выражения для величин Я,1 и Ха в нормальной форме квадратичной части гамильтониана [c.174]

Тогда, вместе с описанным выше преобразованием переменных Pi, Qj, Pj, получим каноническое преобразование, нормализующее функцию (8.3) по всем переменным. В резонансном случае нормальная форма будет такой [c.225]

Для осуществления намеченной схемы исследования удобно предварительно сделать каноническое преобразование, приводящее гамильтониан Ro к нормальной форме. Характеристическое уравнение, соответствующее этому гамильтониану, имеет вид [c.256]

Следовательно, невозмущенное движение устойчиво. Теперь при помощи линейного канонического преобразования введем переменные так, чтобы в этих переменных невозмущенный гамильтониан принял нормальную форму, а сами переменные д,, р1 имели нулевой порядок относительно т, что позволяет ввести в новый гамильтониан малый параметр т в явном виде. Искомая замена переменных такова [c.257]

Таким образом, мы получили (с точностью до е ) каноническое преобразование д, р д", р" гамильтониана к нормальной форме (5.26).. Это преобразование задается формулами (5.21), (5.22), (5.24) и (5.25). Обратное преобразование легко получить, вычислив соответствующие обратные матрицы. [c.287]

Дадим теперь пример такого сходящегося степенного ряда для Н, чтобы интеграл ых = ххух +... расходился в частности, тогда получится, что систему Гамильтона, образованную с этой функцией Н, нельзя перевести сходящимся каноническим преобразованием в нормальную форму. Для этого положим гг = 2, Л1 = г, Лг = гр с действительным иррациональным числом р, так что условие линейной независимости Л1, Л2 выполнено. Положим затем [c.278]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

К преобразованиям позиционного или фазового пространства. Например, если при п = 2 заменить прямоугольные координаты X, у полярными г, ф, то вполне возможно, что ф окажется циклической координатой, хотя х ж у такими не являются (см. 211). Поэтому, хотя из изложенного в 117 следует, что любая динамическая систеа1а может быть приведена с помощью соответствующего канонического преобразования к нормальной форме (12) — (13) ИЗ, когда все координаты становятся циклическими, главная проблема состоит, как было замечено в конце 113, именно в нахождении такого пребразования. [c.177]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

Предложенный впервые А, И. Лурье и развитый А. М. Летовым [69, 74] метод построения К-функции Ляпунова основывается на предварительном преобразовании исходной нормальной системы дифференциальных уравнений (3.59) к особой однообразной форме, названной канонической. [c.534]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

Б. Нормальная форма канонвческого преобразования вблизи неподвижной точки. Рассмотрим каноническое (т. е. просто сохраняющее площади) отображение двумерной плоскости на себя. Предположим, что это преобразование оставляет на месте начало координат, а его линейная часть имеет собственные числа Я = = (т. е. является поворотом на угол а в подходящем симплектическом базисе с координатами р, д). Такое преобразование будем называть эллиптическим. [c.354]

Теорема 2. Ес.ги собственное число К эллиптического кано-нонического преобразования не является корнем из единицы степени s и меньше, то это преобразование приводится канонической заменой переменных к нормальной форме Биркгофа степени s с погрешностью в членах степени s - - и выше. [c.354]

Заметим, что при приведении функции Гамильтона к этой нормальной форме мы сделали 2л-периодически зависящее от времени гладкое каноническое преобразование, гладко зависящее от параметра даже в случае резонанса. Это преобразование отличается от тождественного лишь членами второго порядка малости относительно отклонения от замкнутой траектории (а его производящая функция отличается от производящей функции тоноде-ственпого преобразования лишь кубическими членами). [c.358]

В настоящее время рассматривается приведение к нормальной форме не обязательно аналитических систем и аналитическими преобразованиями, а вообще гладких до некоторого порядка систем гладкими же преобразованиями. При этом каноническая форма Дюлака в случае рационального X существенно упрощается. [c.94]

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы с помощью канонического преобразования в виде степенных рядов установить для заданной системы (1) нормальную форму [1]. Для этого переведем сначала, как и в 13, в нормальную форму линейные члены правых частей уравнений (1), следовательно, квадратичные члены Н. Новые неременные обозначим через х , Ук и положим = х , = Ук к = 1, , п) [c.269]

Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н (i). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствуюш ая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Kj системы (1.1) — чисто мнимые, = ia , а все мультипликаторы Pf = exp (i2n Tf ), = Pj (А = 1, 2,. . ., n) различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину. [c.39]

Рассмотрим теперь, следуя работе [88], задачу об устойчивости точек либрации при критическом отношении масс (г, являюш,емся границей области устойчивости в линейном приближении. При (Л = (Л частоты плоских колебаний равны между собой (шх = 0 2 = со = У 2/2), а частота пространственных колебаний (Оз, как и при любых значениях (г, равна единице. Линейным веш,ественным каноническим преобразованием д,, р, р] приведем квадратичную часть функции Гамильтона к нормальной форме. Для этого переменные плоского движения д/, р,- (/= 1, 2) преобразуем с помош,ью матрицы N = ( , / = 1,.. 4), задаюш,ейся равенством (5.1) седьмой главы, а д , р оставим без изменения. Тогда функция Гамильтона возмуш енного [c.143]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Решение последней задачи методами численного интегрирования строгих уравнений движения неэффективно. Однако, используя теорию возмущений, можно получить приближенное аналитическое описание многообразия условно-периодических траекторий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей полнотой поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построения условно-периодических (и всех возможных других) траекторий вблизи Ь.2 основан на проведении ряда последовательных канонических преобразований переменных, приводящих функцию Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой начальные условия, обеспечивающие различные (например, условно-периодические) тразктории, находятся весьма просто. Проведенные в настоящей главе построения могут быть положены в основу теории пассивного движения КА вблизи Ь . [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...