Гамильтоновый поток

Трофимов В. В.. Фоменко А. Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем // ДАН СССР. — 1980. — Т. 254. — № 6, с. 1349—1353. [c.338]

Фазовый поток, заданный локально гамильтоновым векторным полем, называется локально гамильтоновым потоком. [c.191]

Канонически сопряженная ей координата I ( Z, L = 1) на подалгебре so(3) с образующими Mi, М2, может быть найдена путем интегрирования гамильтонова потока с функцией Гамильтона Ж = L [c.302]

Заметим, что геодезические потоки естественным образом являются также и гамильтоновыми потоками. С одной стороны, преобразование Лежандра превращает лагранжеву систему, соответствующую данному геодезическому потоку, в гамильтонову систему в кокасательном расслоении. С другой же стороны имеется естественное отождествление касательного и кокасательного расслоений риманова многообразия. А именно, соответствие [c.213]

Определение 5.5.11. Пусть (М, о,) — симплектическое многообразие и Я М Ж — гладкая функция. Тогда векторное поле Хц = Я, определенное условием Xg.Jш = dH, называется гамильтоновым векторным полем, связанным с Я, или симплектическим градиентом Н. Поток для которого ф =Хд, называется гамильтоновым, потоком Я. [c.230]

Гамильтоново векторное поле С-гладко тогда и только тогда, когда функция Гамильтона С" " -гладка. Таким образом, можно отождествить пространство С-гамильтоновых потоков, которое является замкнутым линейным подпространством Г (ГМ), с пространством С " (М, К). [c.230]

Легко видеть, что гамильтоновы потоки являются однопараметрическими группами канонических преобразований. [c.231]

Замечание. Утверждение, гласящее, что гамильтоновы потоки сохраняют объем, известно как теорема Лиувилля. Это утверждение обобщает ре льтаты п. 5.3 д, в частности предложение 5.3.6. [c.231]

Здесь же мы будем рассматривать только гамильтоновы потоки. [c.231]

Теперь можно показать, что гамильтоновы потоки сохраняют энергию, что мы наблюдали в некоторых частных случаях (см. п. 5.2 а и предложение 5.3.2 в сочетании с предложением 5.3.5). [c.231]

Скобка Пуассона антисимметрична и , / = С . Функция / является первым интегралом гамильтонова потока Н тогда и только тогда, когда /, Н] = 0. [c.232]

Однако для понимания структуры орбиты гамильтонова потока эта более слабая форма теоремы Лиувилля достаточна [ ]. [c.235]

Предложение 5.6.3. Геодезические потоки являются гамильтоновыми потоками с однородными гамильтонианами. Гамильтоновы потоки, в частности геодезические потоки, являются характеристическими потоками и, следовательно, контактными потоками. [c.239]

Пример 1.8. Гамильтоновы потоки. Пусть р1,. .., ..., [c.13]

Замечание 1.14. Глобальные гамильтоновы потоки. Пространство в примере 1.8 можно заменить симплектическим многообразием размерности 2п, а Н — замкнутой 1-формой oJi (= dH). Тогда систему (1.9) можно записать в виде [c.14]

Пусть функция Гамильтона Я(p,q) сохраняется на гамильтоновых фазовых потоках, определенных функциями /(р, q) и д(р, q). Показать, что тогда скобка Пуассона /, д есть первый интеграл системы уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона Я. [c.700]

Теорема. Фазовый поток gn- гамильтонова векторного поля И состоит из канонических отображений. [c.259]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Сразу же заметим, что для гамильтоновой системы поток заведомо может не быть эргодическим в фазовом пространстве. В самом деле, существует по крайней мере один изолирующий интеграл — [c.380]

Теорема. Отображение, осуществляемое фазовым потоком гамильтоновой системы, является каноническим. [c.294]

Коэффициент при г равен нулю. Таким образом, 3 = 3, т.е. фазовый поток гамильтоновой системы удовлетворяет условию каноничности. [c.295]

В частности, если 7 — замкнутая кривая на М и — фазовый поток гамильтоновой системы, то интеграл от 1-формы ydx по замкнутой кривой 5 (7) не зависит от t. Отсюда выводится основная теорема гамильтоновой механики фазовый поток уравнений Гамильтона является семейством канонических преобразований. [c.21]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

В частности, фазовый поток гамильтоновой сис- [c.31]

Оказывается, теорему Ли, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого воспользуемся конструкцией Лиувилля, позволяющей включить фазовый поток динамической системы (3.1) в фазовый поток гамильтоновой системы удвоенной размерности. Пусть и — поле на г-мерном многообразии N = ж . Поставим ему в соответствие функцию F = у и х) [у е T N), определенную на кокасательном расслоении М = T N, снабженном естественной симплектической структурой. Координаты У, ...,Уп — частные интегралы гамильтоновой системы [c.83]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

Г. Локально гамильтоновы векторные поля. Пусть (ЛЯ", ш ) — симплектическое многообразие, g . Л/ — Ж - — однопараметрическая группа диф- феоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру. Будет ли g гамильтоновым потоком [c.190]

Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д йд) диффеоморфизмов всегда яеляется гамильтоновым потоком. [c.191]

Д. Доказательство симплектичности построенных координат. Обозначим через Р, (г = 1,. . ., п) гамильтоновы потоки с функциями Гамильтона p , q , а через — соответствую- [c.203]

Доказательство. Вектор лежит в косоортогональном дополнении к касательной плоскости орбиты группы С тогда и только тогда, когда кососкалярные произведения вектора с векторами скоростей гамильтоновых потоков группы С равны нулю (по определению). Но эти кососкалярные произведения равны производным соответствующих функций Гамильтона по направлению Следовательно, вектор лежит в косоортогональном допол- [c.342]

Уравнения Гамильтона на группе Ли в естественной канонической структуре для задач динамики твердого тела (все группы в которой уни-модулярны) всегда обладают стандартной инвариантной мерой. Это — аналог теоремы Лиувилля о соленоидальности канонического гамильтонова потока. [c.37]

V (V, ) между векторами и ковекторами является изоморфизмом, так как риманова метрика невырождена. Таким образом, геодезические потоки являются гамильтоновыми потоками на касательном расслоении и, следовательно, сохраняют гладкий объем и т. д. [c.213]

Предложение 5.5.12. Гамильтоновы потоки симплектичны и, следовательно, сохраняют объем. [c.231]

Mj — гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно гамильтонова потока tpjf гамильтониана Н (а также и относительно любого гамильтонова потока (р ). [c.234]

Замечание. В некотором смысле это седло может быть получено склейкой вместе трех простых седел индексов —1. Таким образом, индекс аддитивен в следующем смысле если поток (рд вложен в такое однопараметрическое семейство потоков что потоки имеют три простых седла ддя е > О, то 1ро естественным образом оказывается потоком с многократным седлом, полученным объединением трех простых седел, т. е. е = О — би( уркационное значение согласно определению из 7.3. Соответствующий пример дают гамильтоновы потоки гамильтонианов Н х,у) = ех + -Ь ху х -ь у) х - у), показанных на рис. 8.4.1 для е = О и е = 1/10. Таким образом, сумма индексов в этой ситуации сохраняется. Если мы вложим эту локальную картину в компактное многообразие, тогда этот факт окажется следствием формулы Лефшеца (теоремы 8.6.2). [c.329]

Следствие 9.3.2. Скобка Пуассона /, Я есть производная от / по направлению гамильтонового поля. Оно определяет фазовый поток — однопараметринескую группу преобразований фазового пространства [c.638]

Статистич. механика. Поток векторного ноля на С. м, сохраняет симплектич. структуру то, если и только если это поле локально гамильтоново. В частности, его поток сохраняет фазовый объём (о" = юл...Л(о (д — число степеней свободы). Этот факт лежит в основе статистич. механики. Эволюция фазовой плотности рю" под действием потока поля удовлетворяет ур-нию Лиувилля, р = р,Я . Отсюда вытекает, напр., стацио- [c.521]

Классик, подход к спину. Векторное произведение в З-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектик. слои в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) и приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как векторный , так и спинорным . [c.522]

Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоновой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоновой системы постоя-пещ. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преоб-разоваиий. [c.200]

Открытие нерегулярных колебаний в детерминированных динамических системах различной природы (физических, механических, технических, химических, биологических, экономических) стало одной из крупнейших научных сенсаций последних лет, вызвавшей громадный поток теоретических и экспериментальпых работ. Уже появилось немало обзоров и сборников статей (например [120, 122, 141, 143, 219, 257, 298, 313, 329, 339, 341, 418, 433, 484, 499, 525, 598, 665]), нескольких монографий [23, 157, 237, 336, 483, 655] и популярных работ [121, 168, 328, 626]. Соответствующие разделы вошли в некоторые учебные пособия [100, 314, 817]. Для литературы по колебаниям и волнам характерно разделение книг на общие и специальные. К книгам общего плана можно отнести [15, 92, 96, 100, 111, 132, 243—245, 252, 269, 307, 314, 346, 852, 359, 860], а также [157, 287], посвященные главным образом гамильтоновым системам к более специальным, в которых преимущественно рассматриваются системы конкретной физической природы,— [89, 90, 102, 103, 107, 116, 172, [c.5]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Диффеоморфизм М —> М называется каноническим, если он сохраняет скобку Пуассона / о <р ( ) = /> 5 (<р( ))-Канонические диффеоморфизмы симплекти чес кого многообразия М,и) образуют, конечно, группу ). Фазовый поток любой гамильтоновой системы на М является однопараметрической подгруппой группы канонических диффеоморфизмов М. [c.20]

Рассмотрим некоторые аспекты теории понижения порядка гамильтоновых систем с симметрией. Пусть система уравнений Гамильтона q, = dH/dpi, pi = -dH/dqi (l г n) имеет линейный интеграл F = Ylfi Q)Pi- Ему естественным образом соответствует однопараметрическая группа симметрий пространства положений N—фазовый поток системы уравнений [c.36]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...