Волны кноидальные

Опять следует отметить, что кноидальные волны являются решением уравнения Кортевега — де Фриза для всех аир, ограниченных только условием О а Р, но сами уравнения справедливы лишь тогда, когда а и Р малы. Подобно уединенным волнам, кноидальные волны ограничены но высоте и в пределе имеют острые гребни. Теоретический анализ не дает здесь полной картины. [c.452]

Некоторое указание по этому последнему пункту дает работа Бинни и Льюка [2]. Они исследовали соударение двух кноидальных волн (кноидальные волны — однородные волновые решения уравнения Кортевега —де Фриза). Их теория определяет нелинейное взаимодействие двух волн, а члены, выражающие это взаимодействие, стремятся к бесконечности, когда интенсивности и направления двух волн стремятся к совпадению. [c.32]

Уравнение (9-53) допускает два типа решений в зависимости от величины параметра xlwd и вида начального возмущения гй (5ь 0) — это так называемые уединенные волны, или солнтоны, и волновые пакеты — кноидальные волны ((рис. 9-7 и 9-8). [c.257]

По мере распространения такого плавного возмущения (рис. 5) передний фронт волны становится круче в отсутствие Д. в. это привело бы в коночном счёте к его обрушению. Однако Д. в. останавливает этот процесс, и волна становится сначала изрезанной, а затем разбивается на серию почти автономных, сохраняющих форму всплесков (солитонов), каждый из к-рых движется со своей скоростью. Существование стационарных нелинейных волн (солитопов и периодич. кноидальных волн) является важным проявлением Д. в., присущим многим нелинейным системам. При этом амплитуда, скорость и характерная длина оказываются связанными нелинейными дисперсион- [c.646]

Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая элпиптич. косинусом сп(л с<), с чем и связано её название [c.468]

Как известно, это уравнение имеет класс стационарных решений в виде волн, распространяющихся с постоянной скоростью без изменения формы. При этом v==v((), i =у + Ьх, у = t -х/со (Ь = onst) и (4.1) обращается в уравнение в обычных производных. У этого уравнения имеется семейство периодических финитных решений - кноидальных волн аналитически они описьшаются эллиптическими косинусами. Кроме того, имеется уединенное решение (солитон), отвечающее замкнутой сепаратрисе, в виде [c.162]

Овсянников Л.В. Параметры кноидальных волн// Проблемы математики и механики. П. Наука, 1983. С. 150-175. [c.205]

Решения (6.1) типа бегущей ( кноидальной ) волны, т.е. S x, t) = = q x — at) (a = onst — скорость волны), удовлетворяют уравнению [c.291]

Рис. 2.6. Приблизительный график функции (и), когда все три корня вещественны А) корни различны (кноидальная волна) В) 3 = у (уединенная волна) С) р — а (постоянное рещение и->-а).

Основные трудности при использовании асимптотических методов для анализа нелинейных систем возникают вблизи точек (кривых, поверхностей), где нарушаются условия применимости квазиклассического подхода. Если для линейных задач существуют излагавшиеся выше подходы, позволяющие в значитёльной мере обойти эти трудности, то при анализе нелинейных уравнений эти трудности пока существенны. Можно указать ряд работ, в которых авторам удалось теми или иными способами сшить асимптотические решения при переходе через особую область [8—12]. В областях, где нарушается квазиклассическое описание, исходное нелинейное решение может претерпевать существенные качественные изменения. Уединенная нелинейная волна может разбиваться на ряд волн, могут появляться отраженные нелинейные волны [8, 9]. Авторами [10] показано, что кноидальная волна после прохождения области смены знака нелинейности не остается стационарной. Вместо стационарной картины наблюдаются сильные биения спектральных компонент. Укручение нелинейной волны может привести к опрокидыванию [6], в результате которого могут возникнуть многопотоковые движения [11]. Как уже упоминалось в предыдущей главе, мы не касаемся вопросов, связанных с влиянием областей нарушения квазиклассического подхода на процессы резонансного нелинейного взаимодействия волн. [c.116]

Рис. 116. Профили кноидальных волн с длиной к и амплитудой а на воде глубины к для шести значений а к 1к 0 (синусоидальная волна), 3, 6, 9, 12 и 15. Снизу таким же образом нарисована уединенная волна, когда ее эффективная длина X определяется так же, как в равенстве (100).

Профили кноидальных волн изображены на рис. 116. Для малых значений нелинейность вызывает малые отклоне- [c.559]

На, рис. 116 уединенная волна (нижняя кривая) изображена с использованием этого значения длины волны. По виду она похожа на предельный случай кноидальных волновых профилей. [c.560]

Рис. 116 показывает, что оно недостаточно мало, чтобы можно было пренебречь нелинейными эффектами. Таким образом, волны за прыжком должны быть кноидальными. Фактически наблюдается, что они имеют кноидальные волновые профили и их длина, скорость волны и амплитуда подчиняются соотношениям для кноидальных волн. [c.561]

Довольно удивительно, что пересчет с использованием полной нелинейной теории кноидальных волн показывает, что скорость оттока энергии назад по отношению к гребням не может принимать полное значение (101) для какой-либо амплитуды волны. Однако она может принимать любое жнъшее значение Конкретно, значения alQi — feo), равные 0,6 (полученные согласно линейной теории или усредненным результатам измерений), соответствуют скорости оттока энергии, составляющей 0,8 ее требуемой потери. Следовательно, они соответствуют гидравлическому прыжку, в котором за счет действия вязкости или вспенивания рассеивается 20% требуемой потери энергии. [c.561]

Движение вблизи сепаратрисы и по самой сепаратрисе. Именно эти сильно нелинейные волны и представляют для нас интерес. Периодические движения вблизи сепаратрисы (рис. 19.76) называются кноидальными волнами. Сепаратрисе соответствует локализованное в пространстве решение в виде одиночного возвышения или уединенной волны — солитона (рис. 19.7в) с амплитудой Итах = ЗУ. Это решение аналитически записывается в виде [c.398]

Будучи довольно сложными образованиями, солитоны и солитонные периодические решения (кноидальные волны) при взаимодействии друг с другом должны были бы вести себя очень сложно. Однако, судя по многим физическим и численным экспериментам, это не всегда так. Зачастую, наоборот, солитоны при взаимодействии ведут себя на удивление просто — отталкиваются, притягиваются или колеблются друг относительно друга (рис. 19.9), совсем как классические частицы Как недавно было установлено, эта внешняя аналогия оказывается довольно глубокой по отношению к слабо взаимодействующим соли-тонам (или кноидальным волнам). Если различие скоростей (или, что то же самое, энергий) солитонов мало и на протяжении всего процесса расстояние между их максимумами остается большим по сравнению с эффективной шириной, их взаимодействие в буквальном смысле аналогично взаимодействию частиц и описывается уравнениями Ньютона. Солитон в поле хвоста другого солитона ведет себя, как шарик в желобе. Например, для пары солитонов получается уравнение [16] [c.403]

Ле Меоте [357] отметил, что параметр Урселла является не вполне безукоризненным средством описания различных режимов. Он соглашается, что если U< l, то приложима линейная теория волн малой амплитуды. Однако для очень длинных волн на мелкой воде (паводки, бор, цунами у берега) величина L (предполагая, что U l) зависит от интерпретации придаваемой длине волны X. (Для очень длинных волн понятие длины волны теряет смысл, так как длина уединенной волны есть оо, а кривизна потока под гребнем такая же, как у кноидальной волны, для которой может быть определена конечная длина волны.) Относительная амплитуда t]/D является, следовательно, более приемлемой, чем величина U, для оценки важности нелинейных членов. [c.14]

Уравнение (1.37) интегрируется в эллиптических функциях. Так как эти функции обозначаются через сп, то и решения уравнения (1.37) называются кноидальными (спо1с1а1) волнами. Для Ь = 0 простое решение есть [c.19]

Прежде чем перейти к рассмотрению некоторых деталей кноидальных, уединенных волн и волн Стокса конечной амплитуды (они будут введены позже), покажем, какое отношение [c.19]

При амплитудах, больших, чем у уединенной волны, происходит образование бора, тогда как при чуть меньших амплисудах кноидальный волновой цуг начинает вырождаться в последовательность изолированных уединенных волн. На рис. 1.1 две кривые для различных видов обрушения сходятся в точке, соответствующей уединенной волне наибольшей высоты , вычисленной [c.25]

Профиль свободной поверхности, поля скорости и давления даются теорией Стокса высшего порядка или теорией кноидальных волн, имеющей силу для стационарных периодических волн. Нелинейные поправки вычисляются в предположении сохранения потока энергии и для нелинейных волн. Эффект затухания за счет квадратичного сопротивления определяется через диссипативную функцию как для периодических длинных волн, так и для уединенных волн. Этой поправкой нельзя пренебрегать на протяженных мелководьях. Не существует простого практического способа расчета возможной нестабильности этих длинных волн с высокими пиками, когда они достигают мелкой воды, хотя этих явлений и следует ожидать . [c.109]

Неучет вертикального ускорения в уравнениях длинных волн приводит к так называемому парадоксу Ирншоу , заключающемуся в том, что любая 1Волна конечной амплитуды на мелкой воде будет или исчезать, или образовывать бор, причем последнее более вероятно (см. Рэлей [544]). Основываясь на этом парадоксе, Урселл [644] поставил под сомнение применимость теории длинных волн. Стокер [15] и Лэйтон [344] исследовали этот парадокс. Они пришли к выводу, что при включении в рассмотрение вертикального ускорения можно получить решение с устойчивым профилем типа уединенной или кноидальной волны. [c.208]

Бор, сопровождаемый цугом волн, называется волновым бором [296]. Он часто наблюдается на реках, особенно во время вторжения приливной волны. Бенджемен и Лайтхилл [73] изучили волновой бор, рассматривая его как комбинацию бора (с разрывом уровня воды) и кноидальной волны (нелинейного колебательного движения). Они показали, что, если только часть энергии волны рассеивается на фронте бора, остальная энергия может переноситься кноидальной волной. [c.209]

Волна, изображаемая этим уравнением, была найдена Кортевегом и де Врисом и получила название кноидальной волны по причине присутствия в ее уравнении эллиптической функции сп. [c.645]

Детальное числовое решение уравнений, определяющих параметры кноидальных волн, можно найти в статье Вигеля [203]. Из этой статьи мы заимствовали рисунок профилей кноидальных волн для разных значений модуля к эллиптических интегралов (рис. 76). Кривая, отвечающая Р = О, есть дуга косинусоидальной волны кривая, отвечающая к = 1—10" , почти совпадает с профилем уединенной волны. Между этими двумя крайними кривыми располагаются волны Кортевега и де Вриса для разных значений к. [c.646]

Рядом авторов были определены кноидальные волны с учетом высших степеней параметра 8 (в разложении ординаты волны )). [c.646]

Уединенные и кноидальные волны [c.449]

Это аналог уединенной волны нестационарной теории. Если в равенство (16.57) ввести постоянную ицтегрйров ия, то можно получить осциллирующие периодические по у решения. Они аналогичны кноидальным волнам. . [c.526]

Это тршичное уравнение для кноидальных волн. Интегрируя один раз, получаем уравнение [c.576]

Хотя уравнение Кортевега — де Фриза и дает уединенные волны и кноидальные цуги волн, оно не является адекватным для получения волн наибольшей высоты со стоксовым углом 120° при вершине. Более того, здесь теряется явление опрокидывания волн с образованием боры, описываемое уравнениями мелкой воды, поскольку представляется очевидным, что член г ххх всегда будет препятствовать опрокидыванию (хотя, по-видимому, это еще не доказано). Оба эти явления представляют собой высокочастотные эффекты, утрачиваемые в длинноволновом разложении хЛо < 1. Уравнение (67) с этой точки зрения не имеет ограничений. [c.36]

Это приближение справедливо при a- l или, если К мало, при ka K . Последнее требование налагает дополнительное ограничение на основную амплитуду а, когда длина волны намного превосходит глубину воды в этом случае более полезным оказывается приближение кноидальной волны, данное Кортеве-гом и де Фризом (см. [5, 8, 253]). Однако устойчивость кноидальных волн уже, по существу, доказана Кортевегом и де Фризом и Уиземом [14] поэтому она не представляет здесь интереса, так что случай очень длинных волн здесь не рассматривается. [c.92]

Оба эти свойства аналогичны свойствам волн на мелкой воде в соответствии с этим было обнаружено, что дисперсия, так же как и для скачка в открытом канале, препятствует образованию ударных волн. Далее, динамические уравнения этой упругой системы можно преобразовать в уравнение Кортевега — де Фриза (см. [14], 7), которое описывает распространение длинных волн на воде. Поэтому вопрос об устойчивости периодических волн в этой новой системе решается немедленно ссылкой на исследование возмущений, которое Уизем применил к периодическим решениям (т. е. кноидальным волнам) уравнения Кортевега — де Фриза его результаты показывают, что в обеих физических системах однородные цуги волн устойчивы. Однако для волн растяжения с большими волновыми числами неустойчивость заведомо остается возможной, в частности, ввиду того, что функция f"(k) дважды меняет знак при увеличении к от нуля. (Но при к-> оо стационарные цуги волн постоянной амплитуды становятся невозможными, поскольку / ( )->- onst и дисперсия волн исчезает.) Заслуживает исследования также [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...