Метод Линдштедта

При исследовании автоколебаний в распределенных системах используется метод периодических решений Пуанкаре в форме, Витта [11] или метод Линдштедта — Ляпунова в форме Гвоздо-вера [12]. Однако эти методы сложны. [c.160]

Дополнительная свобода, возникающая вследствие разложения ю, позволяет исключать секулярность в каждом порядке по е, чем и достигается равномерная сходимость решения. Каноническая форма метода Линдштедта, представленная в п. 2.2а, была разработана Пуанкаре [337] и Цейпелем [419]. [c.87]

А. Метод Линдштедт а. Это — один из первых методов исключения быстрых фаз. Современную форму ему придал Пуанкаре в [34]. [c.189]

Метод Линдштедта очень эффективен, так как дает простой способ приближенного интегрирования возмущенной гамильтоновой системы. Этот метод сыграл большую роль в развитии теории, так как позволил построить разложение общего решения возмущенной гамильтоновой системы в формальный ряд, содержащий только периодические по времени члены. Методы, дающие такие разложения, Пуанкаре назвал новыми в противовес старым методам, в которых появлялись вековые члены вида и sin It, eos It (34]. Открытие новых методов совершенно изменило постановку вопроса об устойчивости возмущенных гамильтоновых систем (и в том числе Солнечной системы). Появление вековых членов в старых методах, обусловленное в действительности способом разложения, (подобно тому как возникает вековой член в разложении sin (l + e)i==sin<-be< osi-b. ..), считалось признаком неустойчивости движения . Усилия были направлены на доказательство отсутствия таких членов для конкретных возмущений в главных порядках разложения. Для Солнечной системы Лаплас доказал отсутствие вековых членов в первом порядке по возмущению. Пуассон нашел, что во втором порядке по возмуще- [c.191]

Замечание. Имеется вариант метода Линдштедта, в котором ищутся инвариантные торы с заранее фиксированными несоизмеримыми частотами. Соответствующие ряды сходятся (29]. Доказательство сходимости этих рядов основано на установлении их тождества со сходящимися рядами теорин КАМ (см. 3). Прямое доказательство сходимости пока неизвестно. Л [c.192]

Б. Метод Цейпеля. Этот метод распространяет процедуру метода Линдштедта на случай, когда нз гамильтониана исключается только часть фаз. Он позволяет рассмотреть системы с собственным вырождением и резонансные ситуации. Метод Цейпеля перекрывает возможности ранее разработанных для этой цели методов Делоне и Болина. [c.192]

Если, как и выше, оборвать ряд для 5 на членах порядка е и рассмотреть укороченную замену переменных, а в преобразованном гамильтониане отбросить члены порядка то получим гамильтониан т-го приближения. Он не зависит от фаз х соответственно, полученная приближенная система имеет п—г интегралов и сводится к системе с г степенями свободы. Как и в методе Линдштедта, здесь возникают малые знаменатели. Для того, чтобы в каждом приближении имелось лишь конечное число малых знаменателей, надо модифицировать описанную процедуру аналогично п. 2.2.А. [c.193]

Сделаем симплектическую близкую й тождественной замену переменных /, <р - /, г 5 так, чтобы в новых переменных члены гамильтониана порядка е не зависели от фаз. Такая замена переменных уже была построена в п. 2.2.А при рассмотрении первого приближения для метода Линдштедта. Она задается производящей функцией [c.195]

Новый гамильтониан выглядит так же, как и старый, но фазы входят в члены порядка е . Сделаем в полученной системе аналогичную замену переменных. После этого фазы сохранятся в членах порядка е (см. (30)). После т подобных замен переменных зависимость от фаз сохранится лишь в членах порядка е ". Напомним, что после замены переменных т-го приближения метода Линдштедта зависимость от фаз остается в членах гамильтониана порядка е " . [c.195]

О Доказательство основано на следующих соображениях. В области, где частоты невозмущенного движения не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям порядка до в, процедура исключения фаз п. 2.2. А (метод Линдштедта) позволяет отнести зависимость от фаз в экспоненциально малые члены гамильтониана. Следовательно, в этой области эволюция может быть лишь экспоненциально медленной. [c.205]

В основе метода Линдштедта лежит идея, почерпнутая из следующего наблюдения нелинейность изменяет частоту системы от значения Шо. отвечающего линейной системе, до а)(е). Чтобы учесть это изменение частоты, Линдштедт ввел новую переменную т = (о/ и разложил (о и ы по степеням е [c.67]

Последнее разложение можно рассматривать как почти тождественное преобразование переменной х к переменной 8. Функции называются растягивающими функциями и выбираются так, чтобы разложение для и было равномерно пригодным. Другими словами, должно выполняться условие и /и 1 <оо для всех рассматриваемых значений л ,, или, что то же самое, высшие приближения должны быть не более сингулярными, чем предыдущие. Заметим, что если = с постоянными со , то метод Лайтхилла переходит в метод Линдштедта—Пуанкаре. Так как в методе Лайтхилла преобразуется координата, а не параметр, то этот метод назван методом растянутых координат. [c.68]

Метод Линдштедта — Пуанкаре [c.69]

Равномерно пригодное разложение было получено в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта—Пуанкаре. [c.110]

Согласно теории Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, плоскость параметров б—е разбивается переходными кривыми на области устойчивости и неустойчивости, причем на самих кривых решенке и периодично с периодом я или 2л. В п. 3.1.2 были определены приближения к переходным кривым с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре. В данном пункте будут найдены не только переходные кривые, но также и решения и, следовательно, степень устойчивости или неустойчивости, как это было сделано в п. 3.1.3 с помощью метода Уиттекера. Чтобы выполнить это, положим при положительном соо [c.272]

Это разложение вполне согласуется с разложениями, полученными в п. 3.1.1 с помощью метода Линдштедта — Пуанкаре, в п. 5.4.1—с помощью метода усреднения и в п. 6.2.1—с помощью метода разложения производной. [c.292]

В ряде случаев достаточно эффективны классические способы разложения решений по степеням малого параметра, связанные с именами Остроградского, Ньюкома, Линдштедта, А. Пуанкаре, Ляпунова и А. Н. Крылова 2). А. М. Ляпунов и А. Н. Крылов усовершенствовали классический метод разложения по степеням малого параметра. Это позволяет назвать метод их именами. [c.297]

Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами со оказываются даже гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого рядом Линдштедта, действительно можно найти однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений. [c.373]

Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям. Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты колебаний, Линдштедт [278 J и Пуанкаре [337 ] преодолели секулярность и получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в общей канонической форме в п. 2.2а. Этот материал составляет основу дальнейшего изложения теории возмущений. [c.82]

Здесь можио вычислить все приближения метода Лиидштед-та. Если ряды Линдштедта сходятся, то вдоль движения величина / испытывает лишь ограниченные колебания. [c.192]

В. Методы теории KAM. В теории Колмогорова— Арнольда—Мозера (KAM) разработаны с.ходящпеся методы интегрирования возмущенных гамильтоновых систем. Эти ме тоды основаны на построении последовательных замен пере мепных, уничтожающих зависимость гамильтониана от бы ст )ых фаз во все более высоких порядках по малому параметру Процедуру последовательных замен предложил Ньюком. Со временную форму ей придал А. Пуанкаре, который, однако посчитал процедуру Ньюкома эквивалентом процедуры Линдштедта. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...