Орбита коприсоединенного представления

Теорема 9. Второй дифференциал кинетической энергии суженной на образ орбиты коприсоединенного представления в алгебре, даетля в критической точке со е 9 формулой [c.294]

И. Изозавихренные поля. Двумерная гидродинамика резко отличается от трехмерной. Сущность этого различия заключается в различии геометрии орбит коприсоединенного представления в двумерном и трехмерном случае. Именно, в двумерном случае орбиты в некотором смысле замкнуты и ведут себя, примерно, как семейство множеств уровня функции (точнее, нескольких функций в действительности даже бесконечного числа функций). В трехмерном же случае орбиты устроены сложнее, в частности, неограничены (а быть может и плотны). Орбиты коприсоединенного представления группы диффеоморфизмов трехмерного риманова многообразия можно описать следующим образом. Пусть [c.298]

Легко проверить, что образ орбиты коприсоединенного представления в алгебре (под действием обратного к оператору инерции оператора А ) не что иное, как множество полей, изозавихренных данному. [c.298]

Более того, изозавихренность двух полей можно определить как эквивалентность полей роторов, если область течения одно-сеязна. Следовательно, задача об орбитах коприсоединенного представления в трехмерном случае содержит в себе задачу о классификации векторных полей дивергенции нуль с точностью до сохраняющих элемент объема диффеоморфизмов. Эта последняя задача в трехмерном случае безнадежно трудна. [c.299]

Еще один способ построения симплектической структуры на СР" состоит в том, что это пространство можно представить как одну из орбит коприсоединенного представления группы Ли, а на каждой такой орбите всегда есть стандартная симплектическая структура (см. добавление 2, пункт А). В качестве группы Ли можно взять группу унитарных (сохраняющих эрмитову метрику) операторов ъ п 1-мерном комплексном пространстве. Орбиты коприсоединенного представления в этом случае такие же, как и у присоединенного. В присоединенном же представлении оператор отражения в гиперплоскости (меняющий знак первой координаты и оставляющий остальные) имеет своей орбитой СР". Ибо оператор отражения в гиперплоскости однозначно определяется ортогональной ей комплексной прямой. [c.312]

Образ этого отображения есть орбита точки р в коприсоединенном представлении, а слои — орбиты действия группы Ср. Симплектическая структура приведенного фазового пространства определяет, таким образом, симплектическую структуру на орбитах коприсоединенного представления. [c.344]

В этом примере листы — орбиты коприсоединенного представления группы Ли в дуальном к ее алгебре пространстве. [c.423]

Например, на орбитах коприсоединенного представления группы 80(3) (сферах с центром в нуле) можно выбрать согласованные локальные координаты Дарбу в окрестности ненулевой точки структура Пуассона в подходящих локальных координатах принимает вид х, у = i, х, z = у, z = 0. Эта нормальная форма структуры Пуассона пространства моментов полезна для исключения узла в задаче многих тел (см. п. 5 5 гл. III в статье Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6). [c.423]

Симплектические листы структуры Ли-Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. [6, 7, 135]). Формальное изложение и соответствующее доказательство имеется, например, в [6]. Уравнения Гамильтона для структуры Ли-Пуассона в покомпонентной записи имеют [c.32]

Общие уровни функций Казимира Fi = i,F2 = 2, j = onst представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство L, тг, Л, Ао) на орбиты коприсоединенного представления группы -Б (4). [c.282]

Именно существование этих первых интегралов (т. е. относительно простая структура орбит коприсоединенного представления) позволило доказать теоремы существования, единственности и т. д. в двумерной гидродинамике идеальной (а также и вязкой) жидкости и именно сложная геометрия. орбит коприсоединенного представления в трехмерном случае (или, может быть, недостаток информации об этих орбитах) делает столь трудной задачу обоснования трехмерной гидродинамики. [c.300]

Но это пространство орбит легко отождествляется с орбитой точки р в коприсоединенном представлении. Действительно, отобразим правоинвариантное сечение Мр кокасательного расслоения в кокасательное пространство к группе в единице левыми сдвигами. Получаем отображение [c.344]

Пайдем условия, при которых алгебра Ьт компактна, то есть изоморфна алгебре Ли и(Л — 1). В этом случае, все орбиты коприсоединенно-го представления также компактны [5], и, следовательно, компактно также фазовое пространство приведенной системы для задачи п — вихрей, при этом все взаимные расстояния ограничены. Согласно приведенному выше следствию необходимым и достаточным условием компактности является знакоопределенность формы Г . В этом случае имеются следующие возможности (мы предполагаем, что интенсивности конечны и отличны от нуля). [c.111]

Представление Лакса и стационарные конфигурации. Этот раздел носит предварительный характер, но, возможно, способен дать стимул к некоторым новым исследованиям, связанным с более глубоким проникновением современной алгебры в вихревую динамику. Действительно, как мы уже видели в 5, в результате редукции уравнения движения могут быть записаны на орбите коприсоединенного представления алгебры Ли м(п — 1). Эта орбита сингулярна и состоит из матриц вида [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...