Класс Аппельрота

Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота особозамечательных движений волчка Ковалевской), провести бифуркационный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие-угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуации, а также для целей квантования (например, в квазиклассическом приближении). [c.84]

Рис. 31. Бифуркационная случая Ковалевской при различных с. Римскими цифрами обозначены классы Аппельрота. Сплошные кривые соответствуют устойчивым периодическим решениями, пунктирные — неустойчивым и сепаратрисам.

Значения интегралов к, с, к, при которых полином Р(в) имеет кратные корни, определяют в пространстве этих интегралов бифуркационную диаграмму — набор двумерных поверхностей, на которых происходит перестройка типа движения (см. рис. 31). При этом ультраэллиптические квадратуры в (4.3) сводятся к эллиптическим, а соответствующие (особо замечательные) движения называются классами Аппельрота [4]. Различным классам Аппельрота соответствуют разные ветви бифуркационной диаграммы. [c.114]

Как несложно показать, и это является общим фактом — классы Аппельрота, определяемые из кратности корней полинома Р(в) = О, совпадают с множеством особых лиувиллевых торов, на которых интегралы Н, Р, Р2, Рз являются зависимыми, т.е. ранг матрицы Якоби [c.114]

Явные решения для классов Аппельрота могут быть получены непосредственно без использования уравнений (4.3). Их построение, связанное с неочевидными манипуляциями, было начато самим Г. Аппельротом [4], а в наиболее полном виде выполнено донецким механиком А. И.Докше-вичем [72]. Приведем часть его результатов, в основном касающихся периодических и асимптотических движений (наиболее важных для динамики) и попытаемся прояснить их механический смысл. [c.114]

Всего имеется четыре класса Аппельрота. [c.114]

Из рисунка 31 следует, что при увеличении с до с = ( 1 ветка IV класса Аппельрота врезается в решение Делоне и при дальнейшем увеличении с до < 2 разбивает его на три части. При = 2 в точке h = 2, Р = О сливаются друг с другом ветки всех четырех классов Аппельрота. Точке их пересечения соответствует неустойчивая неподвижная точка на сфере Пуассона вращение Штауде) (см. 6 гл. 2) и асимптотическое к ней одномерное движение, которое легко вычисляется из (4.6) в элементарных функциях [c.118]

Воспользуемся следующей параметризацией общего уровня интегралов движения, соответствующего третьему классу Аппельрота при нулевой постоянной площадей с = О [72] [c.119]

Таким образом, полная система уравнений, определяющая асимптотические траектории III класса Аппельрота при условиях с = 0, h = k>0 приводится к виду [c.120]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения для IV класса Аппельрота в случае Ковалевской (а также в более общем случае, когда тензор инерции имеет вид I = diag(l, а, 2), а = onst, а само решение при этом не зависит от а) были найдены Д. К. Бобылевым [15] и В. А. Стекловым [161] (см. также 6). [c.121]

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при с = О доказательство неинтегрируемости получено в [22]). [c.123]

Приведем еще одно частное решение, которое получается в эллиптических квадратурах и при дополнительном условии совпадает с особым решением волчка Ковалевской, определенным четвертым классом Аппельрота. Для него гамильтониан Н имеет вид [c.149]

Аппельрот Г. Г. Определение классов кинетически симметричных тяжелых гироскопов, способных допускать упрощенные движения, близкие к инерциальному или к некоторому упрощенному движению гироскопа Лагранжа // Известия АН СССР. Серия физическая. 1938. Вып. 3. С. 385-411. [c.253]

Аппельрот Г. Определение классов кинетически симметричных тяжелых гиро- [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...