Алгебраическая интегрируемост

Алгебраически интегрируемые системы [c.110]

Алгебраически интегрируемые системы ше системы (9.1) с помощью эллиптических функций Якоби [c.111]

При к = О общее решение исходной системы дифференциальных уравнений не может быть мероморфным. В частности, в этом случае гамильтонова система (9.11) не является алгебраически вполне интегрируемой. На этом простом замечании основан метод Ковалевской распознавания алгебраически интегрируемых систем дифференциальных уравнений, впервые примененный ею к уравнениям вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [73]. Оказалось, что в этой задаче к О лишь в интегрируемых случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Метод Ковалевской с успехом используется для отыскания новых интегрируемых задач классической механики и математической физики. [c.119]

До работы [177] было мало что известно об интегрируемости системы (4.2) в общем случае. В [177] рассмотрена система, спектр которой состоит из п+ 1 векторов а1,...,Оп+1, любые п из которых линейно независимы. Доказано, что при этих предположениях критерием алгебраической интегрируемости уравнений [c.387]

Отметим, что далеко не каждая вполне интегрируемая система вида (4.2) будет алгебраически интегрируемой в смысле определе- [c.387]

Это утверждение полезно сравнить с результатом работы [177], где рассмотрен случай, когда Д состоит из тг + 1 векторов Аь. .., а +1, причем любые тг из них линейно независимы. В [177] показано, что критерием алгебраической интегрируемости системы (4.2) является именно выполнение условия (4.7). Следствие 1 утверждает, что в этом случае критерием интегрируемости по Биркгофу также является (4.7). Зга ситуация аналогична имеющей место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой уравнения движения алгебраически интегрируемы в том и только том случае, когда они имеют полный набор независимых полиномиальных интегралов. [c.388]

Стоит также подчеркнуть, что, согласно результатам 4 гл. УП, гамильтонова система с графом л) алгебраически интегрируема лишь при соблюдении условий г з = u,5 = О или v = Vt = 0. [c.394]

Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при Ъij 7 О, г 7 ), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы А, В, С являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица А определяется матрицей инерции I реального твердого тела А = 1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах. [c.347]

Замечание. В последнее время вновь возродился интерес к интегрированию дифференциальных уравнений механики в -функциях (так называемая алгебраическая интегрируемость ) Отыскание необходимых условий алгебраической интегрируемости следует методу С. В. Ковалевской, примененному ею в 1888 году в динамике твердого тела. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по работам [65, 136, 137]. [c.264]

Определение (см. [195], [4]). Алгебраическая область К называется (локально алгебраически) интегрируемой, если вблизи любой точки из Р, функция У к совпадает с некоторой алгебраической функцией на Р (вообще говоря, своей для разных точек из Р). [c.164]

Рассмотренные выше задачи о ламинарных установившихся течениях решались точными или приближенными аналитическими методами. Путем надлежащего использования граничных условий Б этих задачах удавалось упростить уравнения движения и привести их к интегрируемому виду. Существует немало других задач, решения которых получены тем же путем и находят важные технические приложения. Однако современное развитие инженерной практики требует решения и более сложных задач, в которых приходится учитывать все члены уравнений Навье—Стокса, что не позволяет их решить в квадратурах. Широкие возможности открывает использование ЭВМ и применение численных методов решения. Последние основаны на замене (аппроксимации) дифференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно применены к различным гидродинамическим задачам несколько численных методов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и лагранжевы переменные. [c.318]

В данном случае реализуется физическая дискретизация вместо реальной континуальной системы рассматривается ее упругий эквивалент, составленный из отдельных элементов, что позволяет свести задачу теории упругости к решению системы алгебраических уравнений взамен решения системы трудно интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных. [c.60]

Факторизацией по орбитам действия группы симметрий можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Примерами служат переход к барицентрической системе отсчета и знаменитый.результат Якоби об исключении узлов в задаче многих тел. Развивая эти идеи. Софу с Ли доказал интегрируемость в квадратурах системы п дифференциальных уравнений, допускающих (п— 1)-мерную разрешимую группу симметрий. Алгебраический аналог теории Ли — знаменитая теория Галуа групп подстановок корней многочленов. [c.14]

Уравнения Гамильтона (9.11) называются алгебраически вполне интегрируемыми, если выполнены следующие условия [c.116]

Система (9.16) имеет вид (9.11). Функции Fi и F2 являются функциями Казимира. Как установлено в работе [177], гамильтонова система (9.16) алгебраически вполне интегрируема. В частности, импульсы Ук и экспоненты Vk — мероморфные функции комплексного времени. [c.117]

Если гамильтонова система (9.11) алгебраически вполне интегрируема, то почти все ее решения будут мероморфными функциями времени. Точнее, уравнения (9.11) допускают решения вида [c.117]

Алгебраические кривые (3.1) и (3.2) пересекаются в двух точках (4/3,1) и (7,2), которым отвечают интегрируемые случаи Лагранжа (Д = /3) и Рис. 34 Ковалевской Г = 2/з) (рис. 34). [c.322]

Действительно, величины Ьи А, входящие в уравнение Лакса (0.1), являются, как правило, дифференциальными операторами. Условие (0.1) накладывает на их структуру достаточно жесткие ограничения, которые можно сформулировать алгебраически. Эта же алгебраическая формулировка позволяет и расклассифицировать уравнения такого типа. Алгебраические свойства уравнения Лакса и связанная с ним классификация интегрируемых уравнений были изучены в работах [18-21]. В последнее время эти вопросы исследовались также в работе [22]. [c.6]

Интегрируемость гамильтоновых систем [16, 144, 165-167]. В XIX веке система уравнений считалась интегрируемой, если решение можно было получить с помощью алгебраических операций и квадратур — вычислений интегралов известных функций. Одновременно велись поиски условий интегрируемости систем [142]. Этот подход развивается и сейчас в классических и квантовых теориях поля [86, 168, 169]. [c.256]

Теперь мы готовы дать, следуя М. Адлеру и П. ван Мербеке [178], общее определение алгебраически интегрируемой гамильтоновой системы. [c.115]

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82]

Алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера-Пуассона исследовалась еще Гюссоном (1906 г.) [230] (см. также [9]), который показал, что у задачи не может быть других алгебраических интегралов, исключая случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.90]

Комментарии, 1. В случае, когда в гамильтониане (1.2) матрицы В и С не являются диагональными, вопрос об алгебраической интегрируемости изучался Рожером Лиувиллем [245] (которого не следует путать с Жозефом Лиувиллем — крупнейшим математиком XIX века). В этой работе Р. Лиувилль указывает условия существования дополнительного интеграла в случае, когда bij ф О при % ф j. Однако в явном виде этот интеграл не выписан. Численный эксперимент, проведенный авторами, показал хаотическое поведение системы при общих условиях Лиувилля, что указывает на неточности выводов [c.170]

Замечание 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван Мёрбеке [187, 186, 185], где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах [37,38]. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) к должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом к должно быть рациональным. [c.190]

В случае, когда матрицы В и С не являются диагональными, вопрос об алгебраической интегрируемости системы Кирхгофа рассматривался Рожером Лиувиллем в [21]. В этой работе он указывает условия существования дополнительного первого интеграла в случае, когда ЬiJ 0, 1 однако самого интеграла не выписывает, ссылаясь на его слиш-ком сложный вид. Проведенные авторами численные эксперименты указывают на хаотическое поведение системы при условиях Р. Лиувилля и тем самым на ошибочность его результатов. [c.32]

ВИЯМ (4.6). Далее по полученным функциям aij (Xk) находятся функции ги (Xh) из алгебраических уравнений (4.5) закона Гука. Так как при нахождении функций atjixii) удовлетворялись условия совместности Бельтрами—Мичелла, то функции etj (xj будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана, т. е. необходимым и достаточным условиям интегрируемости уравнений (4.1). Тогда путем интегрирования уравнений (4.1) определяются перемещения щ (х ). [c.81]

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126]

Данные преобразования содержат только алгебраические операции, вычисление интегралов от известных функций и обращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условнопериодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости. [c.205]

Интегрирование в квадратурах это отыскание решений с помощью алгебраических операций (включая обращение функций) и квадратур , т. е. вычисления интегралов известных функций. Это определение интегрируемости формально носиг локальный характер. Решение в квадратурах дифференциального уравнения на многообразии означает его интегрирование в любых локальных координатах. Мы считаем, что переход от одних локальных координат к другим является алгебраической операцией. [c.75]

Недавно найдены другие неожиданные изоморфизмы ряда проинтегрированных задач динамики. Так, например, в [201] указано дробно-линейное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в работе [179] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева—Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Эти результаты основываются на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем (см. [178]). [c.97]

Простейшим примером алгебраически вполне интегрируемой гамильтоновой системы является задача Эйлера, рассмотренная в п. 1. Более сложные примеры дают интегрируемые случаи Ковалевской, Клебша, Ляпунова—Стеклова из динамики твердого тела. [c.116]

К этому же виду приводится гамильтониан задачи о движении по окружности п одинаковых точек, попарно связанных упругими пружинами. С помощью метода Ковалевской в [177] доказано, что при п = 3 и 71 = 4 для почти всех начальных условий переменные у и ехр(гж,) не будут мероморфными функциями комплексного времени. В частности, система Гросс — Невё алгебраически неинтегрируема. Подчеркнем, что алгебраически неинтегрируемые системы могут быть вполне интегрируемыми (см. 9 гл. П). [c.202]

Задача об интегрируемости уравнений (4.1) при ах = 2 существенно сложнее. Выше уже отмечалось, что из наличия аналитического интеграла уравнений (4.1) вытекает наличие интеграла в виде однородного многочлена по переменным т, р. Это простое наблюдение позволяет применить к рассматриваемой задаче метод Гюссона, с помощью которого была решена задача о дополнительном алгебраическом интеграле уравнений вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (историю вопроса и изложение метода Гюссона можно найти в [113] см. также [14]). Такая задача рассмотрена С. Т. Садэтовым [148] в предположении [c.285]

Возможны различные подходы к описанию таких интегрируемых систем. В большинстве рбзоров и монографий, посвященных этой теме [7-15], основной упор делался на аналитическую сторону проблемы. Это и понятно, т. к. именно аналитические методы используются при построении и анализе конкретных решений. Алгебраическая сторона проблемы пока освещалась в меньшей степени. В целом же существует многочисленная литература по этой тематике, ряд вопросов обобщен в монографиях [9-15], однако многие результаты и методы еще требуют систематизации и осмысления. [c.5]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

В главе 1 мы опишем метоя Уолквиста и Эстабрука в обшем случае, а затем, в главе 2 проиллюстрируем его иа примере наиболее известных интегрируемых уравнений Кортевега — де Ври , Лиувилля, синус-Гордона. При этом мы в основ1юм будем следовать работам (31-35], но дополним их алгебраической интерпретацией результатов в духе изложенных выше представлений. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...