Симплектизация контактного многообразия

Определение. Симплектизацией контактного многообразия называется ьшожество всех контактных форм на контактном многообразии, снабженное структурой симплектического многообразия, определенной ниже. [c.322]

Определение. Канонической 1-формой на пространстве-симплектизации контактного многообразия называется дифференциальная 1-форма а, значение которой на каждом векторе касательном к пространству-симплектизации в некоторой точке р (рис. 237), равно значению на проекции вектора в касательную плоскость к контактному многообразию той 1-формы на этой касательной плоскости, которой является точка р [c.323]

Следствие. Пространство-симплектизация контактного многообрази.ч имеет симплектическую структуру, которая канонически (т. е. однозначно, без вс.якого произвола) определена контактной структурой исходного нечетномерного многообразия. [c.323]

Теорема. Определенное выше отображение /1 симплектизации контактного многообразия в себя является симплектическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипликативной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую -форму на симплектизации. [c.327]

Теорема. Всякий симплектический диффеоморфизм симплектизации контактного многообразия, коммутирующий с действием мультипликативной группы 1) проектируется на исходное контактное многообразие в виде контактного диффеоморфизма [c.327]

Конструкцию, о которой идет речь, мы проведем ниже в несколько более общей обстановке. Именно, по всякому нечетномерному многообразию с контактной структурой можно построить его симплектизацию — симплектическое многообразие, число измерений которого на 1 больше. Взаимоотношения между этими двумя многообразиями — контактным нечетномерным и [c.321]

На кокасательном расслоении есть замечательная 1-форма р ёд . Аналогичная 1-форма имеется и на любом многообразии, полученном симплектизацией из контактного многообразия. [c.323]

Тем самым мы представили часть пространства-симплектизации над рассматриваемой окрестностью точки контактного многообразия в виде прямого произведения этой окрестности и прямой без точки. [c.323]

Выделим среди векторов, касательшлх к симплектизации, векторы следующих типов. Мы назовем вектор вертикальным, если он касается слоя, т. е. если = 0. Мы назовем вектор горизонтальным, если он касается поверхности уровня функции К, т. е. если к ( ) = 0. Мы назовем вектор контактным, если его проекция на контактное многообразие лежит в контактной плоскости, т. е. если ш (я, ) = О (иными словами, если а ( ) = 0). [c.324]

Ж. Сииплектизация контактных диффеоморфизмов и полей. По каждому контактному диффеоморфизму контактного многообразия каноническим образом строится симплектический диффеоморфизм его симплектизации. [c.326]

Определение, (л-еложением контактного многообразия в свою симплектизацию называется отображение, сопоставляющее точке контактного многообразия сужение формы со на касательную плоскость в этой точке. [c.329]

Решение. Точку симплектизации можно задать 2п + 2 числами a Уг, Z, я, где х, у, z) — координаты точки контактного многообразия, а Я — число, на которое надо умножить w, чтобы получить данную точку симплектизованного пространства. [c.330]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...