Многообразие пуассоново

А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция скобки Пуассона функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор а(1о= а, (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля Гц. [c.422]

В настоящем добавлении перечислены простейшие элементарные свойства пуассоновых структур на конечномерных многообразиях. Но нужно иметь в виду, что в приложениях (особенно в математической физике сплошной среды) часто встречаются и пуассоновы структуры на бесконечномерных многообразиях. При этом, впрочем, размерности или коразмерности листов часто (хотя и не всегда) конечны. [c.422]

Векторы всевозможных гамильтоновых полей в каждой точке пуассонова многообразия заполняют линейное пространство, а именно касательное пространство листа. Таким образом, листы — [c.422]

Классический (явно указанный С. Ли, 1890, но по существу рассматривавшийся уже Якоби) пример пуассонова многообразия — дуальное пространство (конечномерной) алгебры Ли. Элементы самой алгебры можно рассматривать как линейные функции на этом пространстве. Пуассонова структура определяется как продолжение структуры алгебры Ли с этого конечномерного подпространства пространства гладких функций (на дуальном исходной алгебре Ли пространстве) на все пространство гладких функций. Такое продолжение существует и единственно если <Й1,. . ., (о — базис исходной алгебры Ли, то [c.423]

Прямое произведение пуассоновых многообразий имеет естественную пуассонову структуру, в которой проекции на оба сомножителя пуассоновы (скобки Пуассона функций, перенесенных с разных сомножителей, нулевые). [c.424]

Скобку Пуассона , мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие М, на котором она задана — пуассоновым многообразием. [c.29]

Базисные скобки J = ж, х называются структурными функциями пуассонова многообразия М относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат х = хх,. .., ж ) [7, 135]. Они образуют структурную матрицу тензор) 3 = размера п х п. [c.29]

Рангом пуассоновой структуры в точке х М называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии М понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке х М. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален. [c.31]

Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий [31, 135]. [c.31]

Определение. Поле кососимметричных билинейных форм на кокасательных пространствах многообразия называется пуассоновой структурой, если индуцированная операция на функциях (называемая скобкой Пуассона и обозначаемая. ) удовлетворяет тождеству Якоби [c.106]

Если пространство орбит гладкое, то конструкция Якоби совпадает с современным определением пуассоновой структуры. Однако, эта конструкция имеет то преимущество, что она работает также в случае особого пространства орбит в действительности Якоби ввёл особые пуассоновы многообразия, а не элементарные гладкие пуассоновы многообразия своих эпигонов. [c.107]

Достижимость является отношением эквивалентности. Точки, достижимые из данной точки, образуют класс эквивалентности, называемый листом пуассоновой структуры. Листы являются гладкими многообразиями. Таким образом, пуассонова структура разлагает многообразие на слои, и гамильтоновы поля касаются этих листов. В общем случае размерности различных листов не равны друг другу. [c.108]

Размерности листов пуассонова многообразия чётны. В самом деле, каждый лист имеет естественную симплектическую структуру (скобка Пуассона которой совпадает с ограничением исходной скобки на этот лист). [c.108]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

Векторное поле называется тогда гамильтоновым полем с функцией Галшльтона а. Отображение а Га задает гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей. Многообразие, снабженное пуассоновой структурой, называется пуас-соновым многообразием. [c.422]

Две точки на пуассоновом многообразии называются эквивалентными, если их можно соединить ломаной ив отрезков фазовых кривых гамильтоновых полей. Классы эквивалентных друг другу точек называются листами пуассонова многообразия. [c.422]

Таким образом, листы пуассонова многообразия четномерны, и его можно рассматривать как объединение симплектических многообразий (вообще разных размерностей), симплектические структуры которых согласованы условием гладкости объединяющей скобки Пуассона. [c.423]

Конструкция пуассоновой структуры на пространстве, дуальном алгебре Ли, приводит опять к алгебре Ли. Поэтому эту конструкцию можно повторять, получая все новые (бесконечномерные) пуассоновы структуры. Более общим образом, пусть дана какая-нибудь пуассонова структура на многообразии. Тогда пространство функций на этом многообразии получает структуру алгебры Ли. Значит, пространство, дуальное к пространству функций, наделяется пуассоновой структурой (как дуальное пространство этой алгебры Ли функций). Элементы пространства, дуального к пространству функций, интерпретируются как распределения на исходном многообразии. Таким образом, пространство распределений на пуассоновом многообразии (например, на сиьшлекти-ческом фазовом пространстве) имеет естественную пуассонову структуру. Эта структура позволяет применять гамильтонов формализм к уравнениям типа Власова, описывающим эволюцию распределения частиц в фазовом пространстве под действием поля, созданного самими частицами. [c.424]

Б. Пуассоновы отображения. Пусть даны два пуассоновых многообразия. Отображение первого во второе называется пуас-соноеым, если оно уважает пуассоновы структуры. А именно, для любой пары функций на втором многообразии их скобка Пуассона, после перенесения отображением на первое многообразие должна совпадать со скобкой Пуассона на первом многообразии перенесений самих исходных функций. [c.424]

С. Ли доказал, что всякое пуассоново многообразие локально (в окрестности точки, где размерности симплектических листов постоянны, например — в окрестности точки общего положения, где размерности максимальны) разлагается в прямое произведение симплектического листа и дополнительного пространства, на котором все скобки Пуассона нулевые. [c.424]

Размерности симплектических листов пуассонова многообразия в точках не общего положения меньше, чем в точках общего положения. В окрестности такой точки пуассоново многообразие [c.424]

B. Пуассоновы структуры на плоекости. С точки зрения дифференциальной геометрии пуассонова структура задается гладким бивекторным полем на многообразии. Действительно, скобка Пуассона в каждой точке сопоставляет число паре кокасательных векторов. Поэтому она является сечением расслоения внешних квадратов касательных пространств, т. е. бивекторным полем. [c.425]

Тождество Якоби означает своего рода замкнутость этого бивекторного поля. На двумерном многообразии это условие замкнутости всегда выполнено автоматически, так что любое гладкое бивекторное поле на плоскости задает пуассонову структуру. Это обстоятельство позволяет применять при классификации пуассо- [c.425]

Теорема. Пуассонова структура на двумерном многообразии либо в окрестности каждой точки приводится к одной из нормальные форм предыдущей таблицы, либо принадлежит множеству коразмерности 8 в пространстве пуассоновыл структур. [c.426]

Варченко и Гивенталь заметили, что построенные таким способом по 1-формам общего положения пуассоновы структуры на дополнениях к дискриминантным многообразиям в базах нереальных деформаций критических точек функций двух переменных (если угодно, на дополнениях к волновым фронтам с типичными особенностями) голоморфно продолжаются на дискриминантное многообразие (волновой фронт). Мы ограничимся простейшим примером возникающих на этом пути пуассоновых структур. [c.433]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Теорема 1. Пусть М, , ) — пуассоново многообразие размерности п, и в точке х М ранг скобки , локально постоянен и равен 2г [c.31]

Пуассонова структура 29, 38 Пуассоново многообразие 27, 29 Пучок пуассоновых структур 180 [c.376]

В этом случае пуассоново многообразие есть двойственное линейное пространство алгебры Ли. Для определения скобки Пуассона любых двух функций рассмотрим сначала линейные функции. Эти функции являются элементами алгебры Ли. Их скобка Пуассона, по определению, есть их коммутатор в алгебре Ли. Скобки Пуассона нелинейных функций теперь автоматически определены, так как эта операция должна удовлетворять правилу Лейбница [c.106]

Мы можем повторить эту конструкцию начиная с алгебры Ли мы строим (пуассонову) структуру на пространстве функций на двойственном алгебре Ли пространстве. Это пространство функций также является (новой) алгеброй Ли. Следовательно, зта конструкция (применённая ещё раз) снабжает пуассоновой структурой двойственное этой (новой) алгебре Ли пространство, являющееся пространством распределений на исходном пуассоновом многообразии. Таким образом получаются естественные пуассоновы структуры уравнений Власова в математической физике.] [c.107]

Функция на пуассоновом многообразии определяет векторное поле (такое, что скобка Пуассона этой функции с произвольной функцией является производной второй функции вдоль этого векторного поля). Это поле называется гамильтоновым векторным полем (и начальная функция называется функцией Гамильтона этого поля). Две точки на пуассоновом многообразии называются достижимыми (друг из друга), если существует (зависящая от времени) функция Гамильтона, траектория гамильтонова поля которой соединяет эти точки. [c.107]

Таким образом, пуассоново многообразие есть набор симплектических многообразий разных размерностей, чьи симплектические структуры таковы, что получающаяся полная скобка Пуассона является гладкой. [c.108]

Пуассоновы структуры на базах версальных деформаций, определённые типичными отображениями периодов, не являются типичными по отношению к соответствующим бифуркационным диаграммам их ограничения на различные страты бифуркационных диаграмм или на касательные пространства к этим диаграммам в точках стратов меньших размерностей сохраняют некоторую информацию о типах вырождений на этих стратах соответствующих многообразий уровня V. [c.109]

Проективизация кокасательного расслоения 61 Проектирование 159 Проектирование на 169 Производящее семейство 26, 146 Простые краевые особенности 88 Простые особенности 73 Пуанкаре индекс 93 Пуассона скобка 106 Пуассонова структура 105, 239 Пуассоново многообразие 106 Пуассоновой структуры лист 108 Пфаффова структура 61 Пфаффа ]гравиение 61 [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...