Клетки жордановы

Карты совместные 72 Каустика 407, 4С8, 417, 449 Квадрики конфокальные 436 Класс когомологий алгебры Ли 339 Клетки жордановы 348 [c.469]

Два собственных значения равны нулф центральное многообразие двумерно соответствующий блок линейной части — нильпотентная жорданова клетка. [c.26]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Нормальная форма в случае унипотентной жордановой клетки. Росток диффеоморфизма в неподвижной точке на плоскости с унипотентной линейной частью может быть реализован как преобразование монодромии периодического дифференциального уравнения с нильпотентной линейной частью [c.56]

Прежде всего приходится считаться с тем, что, кроме собственных функций, могут появиться присоединенные функции, и тогда без них уже нельзя обойтись. Аналогия из линейной алгебры пусть А—линейный оператор в /г-мерном комплексном пространстве С" и I — жорда-нова форма матрицы этого оператора. Если I — диагональная матрица, то в С" есть базис, составленный из собственных векторов оператора Л если же в / имеется хотя бы одна жорданова клетка размера больше 1, то в С" уже нет базиса из собственных векторов оператора А, но есть базис, составленный из собственных и присоединенных векторов этого оператора. [c.292]

Рассмотрим теперь случай недиагональной жордановой формы. Пусть для простоты имеется только одна жорданова клетка, соответствующая двукратному корню [c.198]

Приведем матрицу монодромии Р к жордановой форме. Ясно, что каждому из линейно независимых векторов ш отвечает своя жорданова клетка вида [c.224]

Пусть ковектор f соответствует той же жордановой клетке. Тогда W и f имеют лишь по одной ненулевой компоненте. Пусть ф О к fp ф 0 тогда и — ц+1 совпадает с размером жордановой клетки. В частности, I/ д. Ввиду (8.12), и > ц. Итак, если пара w, / отвечает одной жордановой клетке, то размер клетки 2. Следовательно, кратность соответствующего корня р = I характеристического уравнения Р — рЕ = О не меньше двух. В итоге получаем, что кратность единичного мультипликатора не ниже А — 1, что и требовалось показать. [c.224]

Собственными числами гамильтониана мы будем называть собственные числа линейного инфинитезимально-симплектического оператора 1А. Точно также под жордановой клеткой мы будем понимать жорданову клетку оператора 1А. [c.348]

Жордановы клетки, соответствующие двум членам пары или четырем членам четверки, всегда имеют одинаковую структуру. [c.348]

В случаях, когда вещественная часть собственного числа равна нулю, приходится различать жордановы клетки четного и нечетного порядка. При этом клеток нечетного порядка с нулевым собственным числом четное количество и они естественно разбиваются на пары. [c.348]

Жордановой клетке четного порядка 2к с собственным числом нуль соответствует гамильтониан ровно одного из следующих двух видов [c.348]

Следствие. J5 семействах линейных гамильтоновых систем, зависящих общим образом от I параметров, встречаются системы только с такими жордановыми клетками, что вычисленное по предыдущей формуле число с не превосходит I все случаи с большим с устранимы малым шевелением семейства. [c.350]

Следствие. В одно- и двупараметрических семействах встречаются как неустранимые только жордановы клетки следующих 12 типов [c.350]

Галин вычислил также нормальные формы, к которым можно привести любое семейство гладко зависящих от параметров линейных гамильтоновых систем при помощи гладко зависящей от параметров симплектической линейной замены координат. Например, для простейшей жордановой клетки .а) такой нормальной формой гамильтониана будет [c.350]

Следствие. Векторное поле с нильпотентной линейной частью, состояш ей из одной жордановой клетки порядка п, формально эквивалентно такому, у которого слагаемые веса компонентами однородной степени N принадлежат некоторому линейному пространству размерности [c.75]

Линейные векторные поля, имеющие нетривиальные жордановы клетки с нулевым собственным значением. [c.85]

Нильпотентная жорданова клетка. Проблема различения центра и фокуса решена для полей, удовлетворяющих условию Лоясевича, линейная часть которых — нильпотентная жорданова клетка [43],, [102]. Решение проводится в два шага. [c.94]

Эти результаты справедливы и когда среди собственных чисел есть кратные в лагранжевой натуральной системе, в отличие от общей системы дифференциальных уравнений (и даже общей гамильтоновой системы) резонансные члены вида /sinoi и т. п. не возникают даже в случае кратных собственных чисел (лишь при л=0 возникают жордановы клетки порядка 2). [c.269]

Теорема 5 (Вильямсон (J. Williamson) [40]). Вещественной симплектической заменой переменных гамильтониан приводится к сумме частичных гамильтонианов (функций от непересекающихся подмножеств сопряженных переменных), а матрица системы — соответственно к клеточному виду. Каждый частичный гамильтониан отвечает либо вещественной паре, либо мнимой паре, либо четверке собственных чисел, либо нулевому собственному числу. Частичные гамильтонианы с точностью до знака определяются жордановы.ми клетками оператора IQ. [c.270]

При кратных собственных числах в типичном случае матрица линейной гамильтоновой системы имеет две жордановы клетки второго порядка (см. п. 2.3). При собственных числах, близких к кратным, квадратичная часть гамильтониана приводится к виду ( 1Ь) из (5). Согласно [117], в этом случае члены гамильтониана до 4-го порядка включительно можно привести к следующему виду, также называемому нормальной формой [c.278]

Наконец, рассмотрим случай нулевого собственного числа (вырожденного равновесия). Он возникает уже в системе с одной степенью свободы такую систему и будем рассматривать". Будем считать, что в линеаризованной системе нулевому собственному числу соответствует жорданова клетка второго порядка (п. 2.3). Если равновесие близко к вырожденному, то его нельзя переместить в начало координат гладкой по параметрам задачи заменой переменных. Поэтому в гамильтониане сохраняется линейная часть. Члены гамильтониана до 3-го порядка включительно приводятся к виду [c.280]

Следствие 4 ([118], [132]). При нулевой собственной частоте у линеаризованной системы, имеющей жорданову клетку порядка 2, равновесие полной системы неустойчиво, если ЬфО (рис. 77). [c.281]

Пора заметить, что режим стационарного вращения при всех п заведомо неустойчив по Ляпунову. Действительно, если в начальный момент i = О возмутить правильный вихревой п-угольник так, чтобы он остался правильным, но другого размера, то дальнейшее движение по-прежнему будет равномерным вращением, но с другой угловой скоростью. В результате, как бы ни было мало такое возмущение сначала, со временем оно станет порядка диаметра многоугольника. Этой очевидной неустойчивости соответствует линейно растущее решение линеаризованной системы и жорданова клетка 2x2 матрицы линеаризации, отвечающей ее нулевому двукратному соб- [c.242]

Поскольку Г.у можно заменить любой матрицей вида (7), то можно предположить, что фундаментальная матрица X t) системы (II) выбрана так, что соответствующая матрица монодромии Гх имеет нормальную жорданову форму. Тогда диагональные элементы матрицы Гх равны мультипликаторам Я],. .., я ,, а элементы, располагающиеся по линии, параллельной диагонали и граничащей с нею сверху, равны О или 1 (возможно, только О или только 1) все же остальные элементы равны нулю. Пусть я — один из мультипликаторов Я , и пусть его кратность равна/( 1). Тогда можно предположить, что первые I диагональных элементов матрицы Гх равны я. Пусть я принадлежит при этом различным элементарным делителям с кратностями Ль. .., ка соответственно, так что 4-. .. ка = I, причем 1, 1 и любое Л 1. Предположим, что первая клетка рассматриваемой матрицы Гх (имеющей жорданову форму) соответствует кратности Тогда, если обозначить через ..., т(0 т-векторы, состав- [c.130]

Ясно, что сингулярная часть К г) действует из РВ в РВ, а регулярная - из Ц- Р) В в I - Р) В. Более того, из классических свойств ряда Лорана следует, что сингулярная часть сходится для любого к следовательно, - единственная особенность резольвенты оператора, суженного на РВ. Если РВ конечномерно, то Р- проектор на жорданову клетку, соответствующую собственному значению Далее легко видеть, что если РВ конечномерно, то собственное значение, и главная часть в (1.7) конечна, т.а. особенность - полюс. Размерность РВ называется алгебраической кратностью собственного значения Геометрическая кратность есть размерность подпространства, натянутого на собственные векторы, соответствующие она не превосходит алгебраической кратности. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...