Неустойчивые состояния равновеси

На рис. 2.2 видно, что в устойчивых состояниях равновесия производная f (Xk) <0, а в неустойчивых состояниях Г > О- Значение f (л ) = О может быть как в точках устойчивого, так и неустойчивого состояния равновесия (см., например, точки х = Х2, х = на рис. 2.2). Поскольку характер движения в системе первого порядка полностью определяется видом функции / (х), представляет интерес рассмотреть случай, когда эта функция зависит от некоторого параметра X, и изучить влияние параметра X на характер фазового портрета рассматриваемой системы. Для этого, [c.22]

Xk, лежит на кривой / (х, >.) == О справа от заштрихованной области, то fx Xh, t) < О, а если слева, то f x (х , к) > 0. В результате получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2.4), на которой точками отмечены участки кривой / (х, X) = О, соответствующие устойчивым состояниям равновесия, а крестиками — неустойчивым состояниям равновесия. [c.23]

При у<а<0 состояний равновесия три устойчивое состояние равновесия р = О, неустойчивое состояние равновесия, соответствующее нижней ветви параболы (5.22), и устойчивое состояние равновесия, соответствующее верхней части параболы (5.22). На фазовой плоскости q это [c.131]

Рассмотрим плоскость р. На этой плоскости кривая <7=0 определяет область неустойчивых состояний равновесия (седел). При q> О линия р = О отделяет устойчивые состояния равновесия от неустойчивых. Граница между фокусами и узлами определяется уравнением 6 = 0, т. е. [c.138]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Им соответствуют неустойчивые состояния равновесия, когда масса маятника расположена на вертикали над осью вращения и потенциальная энергия достигает максимума. [c.495]

Сопоставляя это с приведенными выше определениями устойчивого и неустойчивого состояний равновесия, мы видим, что устойчивому состоянию равновесия соответствует минимум, а неустойчивому — максимум потенциальной энергии. Так как признаками максимума или минимума функции / являются, как известно, для минимума [c.133]

Если бы смещение заряда —е из положения равновесия происходило в направлении, перпендикулярном к оси х. то возникали бы силы, возвращающие заряд к положению равновесия значит, если бы возникали только такие смещения, система вела бы себя так, как будто она обладает устойчивым состоянием равновесия. Но так как случайные смещения возможны как перпендикулярно к оси х, так и вдоль нее, ю в результате последних смещений система уйдет как угодно далеко от положения равновесия. Поэтому состояние равновесия, неустойчивое хотя бы в одном направлении , является неустойчивым состоянием равновесия. [c.135]

Конечно, вопрос об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия можно решить и не пользуясь указанным критерием, а определяя направление силы, возникающей при смещении тела из положения равновесия. Но даже в рассмотренных простейших примерах систем с одной степенью свободы часто оказывается проще определить, имеет ли потенциальная энергия минимум или максимум, чем найти направление результирующей силы, возникающей при отклонении тела от положения равновесия. Но особенно существенно упрощает решение вопроса об устойчивости состояния равновесия применение указанного критерия в тех случаях, когда система обладает больше чем одной степенью свободы. По-прежнему состояние равновесия устойчиво, если потенциальная энергия U в этом состоя- [c.136]

Теперь, чтобы определить устойчиво или неустойчиво состояние равновесия, надо найти вторую производную от энергии [c.125]

Заметим, что и для параллельного контура и для последовательной цепи создание неустойчивого состояния равновесия требует введения в систему дополнительных источников напряжения или тока. Это означает, что свойства активного элемента могут быть получены только при наличии источника энергии в системе. [c.190]

В неустойчивом состоянии равновесия трещина начинает двигаться по достижении нагрузкой критического значения, определяемого из критерия разрушения. В закритической области трещина может распространяться при постоянной нагрузке. Область неустойчивых состояний равновесия характеризуется неравенством [c.327]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

В данном случае, когда внешнее воздействие на стержень выражается в его принудительном деформировании (а не нагружении), переход от устойчивости к неустойчивости состояния равновесия означает потерю устойчивости цилиндрической формы поверхности стержня. А именно, если при деформациях А < А стержень сохранял первоначальную цилиндрическую форму своей поверхности, которая, таким образом, была устойчивой, то при деформациях А А, в пределах небольшого участка длины стержня будет возникать сужение (шейка), т. е. цилиндрическая форма утрачивает устойчивость и не реализуется. Разумеется, в данном случае потеря устойчивости связана с возникновением и развитием пластических деформаций. [c.292]

Критическая точка и критическая нагрузка. Точка В на диаграмме р — ср (см. рис. 18.12), лежащая на границе между участками, соответствующими устойчивым и неустойчивым состояниям равновесия, носит название критической точки-, соответствующее этой точке значение силы называется критической силой. Это значение будем отмечать индексом . [c.301]

Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия [c.10]

Напряжение подается на вход ждущего мультивибратора, собранного на двойном триоде. Ждущий мультивибратор имеет одно устойчивое и одно неустойчивое положение равновесия. При отсутствии сигнала на входе или в случае, если входное напряжение не достигло еще заданной величины, правый триод лампы заперт и по обмотке включенного в его анодную цепь высокочастотного реле не протекает ток. При достижении условия Х1 =Х1 + -Ь VI = Ха, где Хо — напряжение, соответствующее шагу скола т, мультивибратор резко переходит в неустойчивое состояние равновесия и остается в нем некоторое время определяемое параметрами его схемы. В течение этого времени по обмотке реле течет ток, что вызывает замыкание контактов Рд—1 (конденсатор С при этом разряжается) и одновременное отключение контакта Рд—2, что разрывает в схеме моделирования цепь, определяющую приращение усилий на струге. [c.308]

Если упругая конструкция типа крыла самолета находится в потоке газа (жидкости), то свойства состояния ее равновесия (устойчивость или неустойчивость) зависят от параметров потока, т. е. от плотности газа (жидкости) р и скорости о, или, проще, от скоростного напора pv /2. Как оказывается, система, устойчивая при малых значениях скоростного напора, может потерять устойчивость при достаточно больших его значениях тогда после сколь угодно малого возмущения начинается движение, все дальше уводящее систему от ставшего неустойчивым состояния равновесия. Движение, представляющее собой монотонное возрастание отклонений от состояния равновесия, называется дивергенцией, а движение, носящее характер колебаний с возрастающими пиковыми значениями, — флаттером. Скорость, при которой возникает потеря устойчивости того или иного типа, называется критической скоростью. [c.184]

Рис, 2. Фазовые портреты а — математического маятника б — математического маятника с диссипацией в — неустойчивого состояния равновесия. [c.348]

Корень Ра существует, если а и Р имеют противоположные знаки. Устойчивость или неустойчивость состояния равновесия определяется знаком производной [c.173]

При уменьшении а предельный цикл стягивается к началу координат плоскости q, При а = О он сольется с неустойчивым состоянием равновесия в начале координат и передаст ему свою устойчивость. Таким образом, если менять а от положительных значений до отрицательных, то при переходе через нуль возникают автоколебания, амплитуда которых, начиная от нуля, непрерывно увеличивается (при непрерывном увеличении I а I). Такой режим возникновения автоколебаний называют мягким . [c.174]

Диаграммы равновесных состояний оболочки предельно упрощены на рис. 9.12.2 показана только одна ветвь состояния равновесия, отличного от начального. В действительности, полное нелинейное решение включает серию таких ветвей, соответствующих как устойчивым, так и неустойчивым состояниям равновесия. [c.209]

Возвращаясь к условию (2.2), с завидной легкостью предсказавшему границу устойчивых и неустойчивых состояний модели, мы должны теперь заметить, что оно по существу определяет уровень внешнего нагружения, при котором нарушаются условия единственности решения задачи о равновесном состоянии модели наряду с прямолинейной возможна искривленная форма равновесия, что представляет собой исходную трактовку критерия Эйлера. Таким образом, уровень нагружения, отвечающий неединственности решения, одновременно оказался границей устойчивых и неустойчивых состояний равновесия. [c.10]

Этот второй путь, которым мы теперь пойдем, исходит из того, что вообще нельзя сделать стержень, осевая линия которого была бы строго прямолинейна, или нагрузить его так, чтобы линия действия внешней силы совпала в точности с осевой линией стержня. Даже при невыполнении хотя бы одного из этих двух предположений, уже при незначительной нагрузке кроме упругого укорочения в направлении оси стержня одновременно получится небольшой выгиб в сторону, который первоначально не будет иметь ничего общего с неустойчивым состоянием равновесия. Деформацию эксцентрично сжатого стержня мы можем легко определить, пользуясь элементарным курсом сопротивления материалов. Этот выгиб будет содействовать дальнейшему увеличению уже существовавшего вначале эксцентриситета точки приложения. После того как нагрузка достигнет известной величины, выгиб будет увеличиваться настолько сильно, что во избежание поломки стержня дальнейшее увеличение нагрузки придется сократить. [c.304]

Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43]

Если р соответствует устойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — устойчивый предельный цикл все соседние интеЕральные кривые — спирали, накручивающиеся на этот предельный цикл. Если же р/, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — неустойчивый предельный цикл. [c.126]

На основании теоремы Лагранжа — Дирихле нельзя, например, утверждать, что отсутствие минимума потенциальной энергии в положении равновесия системы обозначает неустойчивость состояния равновесия. Также нельзя на основании этой теоремы утверждать, что положению устойчивого равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. существует теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле. [c.219]

Собственные колебания представляют собой колебания около положения устойчивого равновесия. Амплитуда этих колебаний определяется величиной начального отклонения и начальной скорости, т. е. величиной той энергии, которая сообщена телу начальным толчком. Вследствие наличия трения эти колебания затухэют собственные колебания в системе никогда не могут быть незатухающими (стационарными). Для поддержания колебаний система должна обладать ка-ким-либо источником энергии, из которого она могла бы пополнять убыль энергии, обусловленную затуханием. Чтобы колебания были стационарными, система за период колебаний должна отбирать от источника как раз столько энергии, сколько расходуется в ней за это же время. Для этого система должна сама управлять поступлением энергии из источника. Такие системы называются автоколебательными, а незатухающие колебания, которые они совершают, — автоколебаниями. К классу автоколебаний относятся, например, рассмотренные в 52 колебания, которые совершает груз, положенный на движущуюся ленту и удерживаемый пружиной. Как было показано, состояние равновесия груза оказывается неустойчивым и он начинает совершать колебания около этого неустойчивого состояния равновесия в том случае, когда скорость движения ленты лежит на падающем участке кривой, выражающей зависимость силы трения F от скорости скольжения V. Но именно в этом случае часть работы двигателя, приводящего в движение ленту, идет на увеличение энергии колебаний груза. [c.602]

Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия. Условия термодинамического равновесия (3.33)—(3.38) имеют самое общее значение и пр1[ме-нимы к любым термодинамическим системам. [c.111]

Неустойчивое состояние равновесия характеризуется тем, что при сколь угодно малом возмущении термодинамическая система сама по себе к нему не возврз-щается. Механическим аналогом неустойчивого равновесия является шарик, находящийся на вершине выпуклой поверхности. В термодинамических системах и окружающей среде всегда происходят незначительные изменения (флуктуации плотности, температуры и другие малые возмущения), которые вызывают незначительные отклонения системы от состояния равновесия. Поэтому неустойчивое состояние равновесия в реальных условиях существовать не может. [c.15]

Примечания. 1) Внутри замкнутой кривой находится устойчивое состояние равновесия. При линеаризации системы в его окрестности эта кривая аппроксимируется эллипсом (ср. с рис. 72). 2) Изображен также характер изменения произвольных постоянных (а и Р), получающихся при применении метода Гамильтона — Якоби. 3) Неустойчивое состояние равновесия помечено крестиком оно располагается на оси s между связными компонентами уровня энергии. С ростом h эти компоненты приблизятси справа и слева к указанному равновесию, и в его окрестности будут идти примерно го гиперболам (ср. с рис. 73). После того как h пересечет критическое значение, уровень энергии станет связным, но поначалу будет иметь тонкую перемычку, проходящую сверху и снизу от состояния равновесия, приблизительно опять-таки по гиперболам (снова см. рис. 73). [c.285]

Действительно, устойчивость или неустойчивость состояния равновесия определяется шетодической пробой. Системе сообщается не только малое, но сколь угодно малое отклонение от положения равновесия, и суждение об устойчивости выносится в зависимости от последующего поведения системы. Если система возвращается к исходному состоянию, то равновесие считается устойчивым. Однако система, способная восстановить исходное состояние при сколь угодно малом отклонении, может не проявить этого свойства, если ее отклонить сильнее, т. е. если сообщить ей не сколь угодно малое отклонение, а малое, но большее некоторой наперед заданной величины. [c.118]

В системах, изображенных на рис. 1.5, полная потенциальная энергия изменяется пропорционально вертикальному смещению шарика. Когда шарик опускается, его потенциальная энергия, естественно, уменьшается. Если шарик поднимается, то потенциальная энергия возрастает. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности соответствует минимуму полной потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина выпуклой поверхности соответствует стационарному, но не минимальному значению полной потенциальной энергии (в данном случае — максимальному значению). Поэтому положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Стационарная точка на седлообразной поверхности тоже не соответствует минимуму полной потенциальной энергии (это так называемая точка мини-макса) и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Последний случай весьма характерен. В неустойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия вовсе не должна достигать максимального значения. Положение равновесия не будет устойчи- [c.11]

Если закрепления краев оболочки исключают возможность чисто изгибной деформации, то при потере устойчивости поведение тонких оболочек становится качественно иным. В этом случае критическая точка бифуркации идеально правильной оболочки оказывается точкой бифуркации второго типа [3, 19]. Точка бифуркации соответствует неустойчивому начальному состоянию равновесия и в окрестности критической точки бифуркации нет новых устойчивых состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены от начального невозмущенного состояния на конечные расстояния (рис. 6.23, б). Поэтому переход в новое возмущенное состояние равновесия происходит хлопком переходя в новое устойчивое состояние оболочка перескакивает через статически неустойчивые состояния равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия, отделенные от начального невозмущенного состояния сравнительно небольщим энергетическим барьером, становятся возможными до достижения критической нагрузки. [c.269]

САМОВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ — самопроизвольное (без внеш. воздействия) возникновение колебаний в колебат. системе при неустойчивом состоянии равновесия последней. С. к. происходит под влиянием малых нач. отклонений системы от состояния равновесия, неизбежно существующих вследствие флуктуаций возникшие колебания нарастают, и в системе могут установиться автоколебания, к-рые поддерживаются за счёт энергии того или иного источника. САМОВОЗДЁЙСТВИЕ ВОЛИ — изменение характеристик волнового процесса вследствие инициируемых им разл. нелинейных явлений в среде. В узком смысле термин С. в. применяется к однокомпонентным системам с безынерционной нелинейностью. Рассмотрим, наир., ур-ние для простых волн [c.406]

В этих уравнениях отклонения д отсчитывают от состояния равновесия коэффициенты а, Ь к С - постоянные. В случае 2 вследствие неустойчивости состояния равновесия, обусловленной отрицательным трением, после любого сколь угодно. малого возмущения состояния равновесия возникают постепенно разрастающиеся ко.чебания. Пррг достаточно больших колебаниях вместо линейного описания силы трения нужно пользоваться нелинейным описанием и исходить, например, из уравнения [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...