Алгебраизация

Используют два основных подхода к дискретизации и алгебраизации краевых задач, составляющие сущность методов конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ). С помощью любого из этих методов формируется окончательная модель, исследуемая при выполнении различных процедур анализа проектируемого объекта. [c.155]

Алгебраизация задачи заключается в замене дифференциального оператора Lv разностным. Это означает, что непрерывная переменная о(Х) заменяется конечным множеством значений oa = u(Xa) в узлах сетки, а производные dv/d аппроксимируются конечноразностными выражениями. [c.160]

Следовательно, дискретизация и алгебраизация уравнений в МКР сводит задачу анализа моделей на микроуровне к численному решению систем конечных (4.23) или обыкновенных дифференциальных (4.24) уравнений. Следует отметить, что точность аппроксимации растет с уменьшением величин шагов, однако при этом увеличивается порядок систем уравнений (4.23) или (4.24). Так, если окажется, что для достижения приемлемой точности рассматриваемую область R нужно делить вдоль каждой из координатных осей на 10 участков, то порядки систем уравнений (4.23) или (4.24) в одно-, дву- и трехмерных задачах составляют соответственно около 10 , 10 и 10 . Очевидно, что решение двумерных и особенно трехмерных задач требует значительных вычислительных ресурсов и тщательного отбора соответствующего математического обеспечения. Методы решения таких уравнений, применяемые в САПР, рассматриваются в следующей главе. [c.162]

Ряд форм модели получается при преобразовании ее уравнений на основе формул и требовании выбранного численного метода решения. Так, численное решение дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных требует их предварительного преобразования — дискретизации и алгебраизации. Дискретизация заключается в замене непрерывных независимых переменных (времени и пространственных координат) дискретным множеством их значений. [c.168]

В подавляющем большинстве современных программ анализа применяют форму (4.40). Для получения ММС в такой форме применяют методы узловых потенциалов (МУП) и табличные методы. В этих методах для алгебраизации реализуют одну из неявных разностных формул численного интегрирования [c.175]

Алгебраизация с помощью (4.41) приводит к системе уравнений [c.176]

Для задачи предыдущего пункта разделите стержень на п конечных элементов. Задайтесь линейной аппроксимацией температуры от X (направление оси х выбрано вдоль стержня). Запишите выражения для координатных функций. Выполните алгебраизацию задачи, задавшись видом функционала, характеризующего качество аппроксимации. [c.220]

В предыдущей главе показано, что функциональными моделями проектируемых объектов на макроуровне являются системы ОДУ, которые могут быть представлены в общем виде (4.38), либо предварительно приведены линеаризацией к виду (4.39), либо алгебраизацией и линеаризацией к виду системы линейных алгебраических уравнений (4.40). К таким же формам уравнений с помощью методов конечных разностей или конечных элементов приводятся ММ объектов на микроуровне. [c.222]

Метод прогонки. Примерами сильно разреженных матриц являются матрицы Якоби в системах конечных уравнений, получаемых по методам конечных разностей или конечных элементов из дифференциальных уравнений в частных производных. Если алгебраизация дифференциального уравнения производится на основе регулярной сетки, то разреженная матрица Якоби оказывается ленточной, т. е. матрицей, у которой ненулевые элементы располагаются только на k главных диагоналях. Специфические особенности структуры ленточных матриц можно использовать для упрощения алгоритмов учета разреженности. [c.231]

Дискретизация и алгебраизация модели ири числовом решении (2.4) и (2.5) основаны иа замене переменных t и V конечным множеством значений 4, принадлежащих заданному отрезку интегрирования, и множеством значений вектора фазовых перемештых = Если обо- [c.47]

Задаваясь синусоидальным внешним воздействием на один из входов объекта и используя для алгебраизации [c.51]

Этап 2. Получение системы алгебраических уравнений относительно узловых значений (алгебраизация задачи). [c.12]

В табличном методе в вектор базисных координат включаются переменные величины типа U и I для всех ветвей схемы. Выбор такого базиса позволяет в эквивалентной схеме иметь любые зависимые ветви. Из обобщенного метода табличный получается алгебраизацией компонентных уравнений, т. е. из вектора неизвестных, согласно (3.5), исключаются производные переменных состояния. [c.123]

Рассмотрим алгебраизацию компонентных уравнений прн использовании неявной формулы Эйлера для уравнения элемента типа С [c.123]

В этом методе предварительная алгебраизация компонентных уравнений не требуется, поэтому при программной реализации метода библиотека М.М элементов пе связана с библиотекой методов интегрировапия. [c.141]

Система (3.19) является системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученной в результате дискретизации независимой переменной, ал-гебраизации дифференциальных уравнений и линеаризации алгебраических уравнений. Алгебраизация приводит к необходимости пошагового вычислительного процесса интегрирования, линеаризация — к вьтолнению итерационного вычислительного процесса на каждом шаге интегрирования. [c.98]

Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в математическую модель независимо от компонентных уравнений, как это имеет место в (3.15), или быть интегрированными в математические модели компонентов, как это выполнено в узловом методе. [c.101]

При алгебраизации явным методом имеем [c.101]

Анализ в частотной области выполняется по отношешпо к линеаризованным моделям объектов. Для алгебраизации линейных СОДУ справедливо применение преобразования Фурье, в котором оператор d/dt заменяется оператором ja>. [c.108]

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке. [c.115]

Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности объектов. Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т. е. вьшолнить алгебраизацию исходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики. [c.116]

Адекватность 86 Алгебраизация 96 Алгоритм -генетический 185 [c.325]

Следует отметить, что применение метода продолжения решения непосредственно к зфавнениям краевой задачи не связывает его численную реализацию с каким-либо конкретным способом алгебраизации исходной задачи и открывает возможности использования самых различных методов для решения пошаговых линейных краевых задач. [c.184]

Более сложный общий случай возбуждения трехмерного волнового поля в слое нагрузкой, изменяющейся вдоль оси 0 , рассмотрен в статье [287]. Эта работа не содержит обширных количественных данных, однако на одном примере в ней показано, что при определении постоянных Ay из системы (2.15) и из системы, получающейся при алгебраизации соотношений (2.13) по методу наименьших квадратов, получаются близкие результаты. [c.253]

Если развертка торсовой поверхности задается кривыми, не имеющими аналитического выражения, то более перспективным является графический путь решения. Алгоритм построения торса на основе графического расчета с последующей, алгебраизацией построений рассмотрен в статье [167]. Предлагаемый здесь алгоритм конструирования торса основан на триангуляции последнего. Возможны четыре схемы триангуляции торса [c.143]

В работе [26] указан способ алгебраизации упругопластической задачи в случае полного охвата пластической зоной со статически определимым состоянием произвольного отверстия. Ноттрот и Тимман [27] и Ноттрот [28] применили этот способ для численного решения некоторых конкретных задач такого типа (без ссылки на работу [26]). [c.8]

Формулы (2.3.21), (2.3.22) позволяют произвести алгебраизацию основных уравнений задачи. [c.134]

К числу полезных модификаций метода Бубнова — Галеркина относится алгебраизация в случае /г-мерной задачи по ге — 1 переменным, при которой коэффициенты о, являются функциями оставшейся п-й переменной и определяются из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод был предложен В. 3, Власовым и независимо Л. В. Канторовичем он соотносится с методом Бубнова — Галеркина так же, как метод Леви с методом HiaBbe в классической теории упругих пластин. В дальнейшем все перечисленные методы использовались при решении как линейных. [c.254]

Плоские движения особенно просты для математического описания потому, что плоские векторы допускают хорошую алгебраизацию. Дело в том, что действия над векторами делятся на две группы. Первую группу составляют действия сложения и умножения на число, которые определяются покоординатно и не зависят от размерности векторов. Так, суммой двух -мерных векторов X = хи Хп) и у — (уь Уп) называется вектор [c.50]

Аналогично рассматривается задача термоупругости для плунжера. С использованием решения задачи термоупругости для плунжера и кинетического уравнения изнашивания материала плунжера находится радиальное перемещение 1 2 контактной поверхности плунжера. Найденные величины г/хИ1/2 подставляются в основное контактное уравнение. Для алгебраизации основного контактного уравнения искомые функции контактного давления ищутся в виде разложений [c.202]

Сингулярное интегральное уравнение (33) при условии (34) с помощью процедуры алгебраизации (см. прил. в [9]) сводится к системе М алгебраических уравнений для определения М неизвестных gl tm) ш = 1, 2,..., М) [c.202]

Система сингулярных интегральных уравнений при отмеченных выше условиях (39) с помощью процедуры алгебраизации сводится к системе N х X М алгебраических уравнений для определения N х М неизвестных gn tm) (гг = 1, 2,..., Л/ ш = 1, 2,..., М) [c.204]

На рис. 2.1 показаны преобразования непрерывных ММ в процессе перехода от исходных формулировок задач к рабочим программам, представляющим собой последовательности элементарных арифметических и логических операций. Стрелками 1, 2 и 3 показаны переходы от описания структуры объектов на соответствующем иерархическом уровне к математической формулировке задачи. Дискретизация (4) и алгебраизация (5) ДУЧП по пространственным переменным осуществляются методами конечных разностей (МКР) или конечных элементов (МКЭ). Применение МКР или МКЭ к стационарным ДУЧП приводит к системе алгебраических уравнений (АУ), а к нестационарным ДУЧП — к системе ОДУ. Алгебраизация и дискретизация системы ОДУ по переменной i осуществляются методами численного интегрирования. [c.22]

Комментарий, В работе Е. А. Ивина [81] и его диссертации указанные в этом разделе интегрируемые случаи приведены в малодоступной и громоздкой форме. Это связано с отсутствием приемлемой алгебраизации уравнений движения ротатора, которая получена нами при помощи общего формализма пуассоновых структур [31]. Такая алгебраизация позволяет заметить связь с задачей Жуковского - Вольтерра, которая фактически явно не была указана. Отметим также, что динамика связки твердых тел до сих пор является малоизученной. [c.162]

С точки зрения практики микроструктурного анализа вполне достаточно ограничиться той информацией о реальных спектрах размеров частиц, которая заключена в векторе 8. Резонно при обращении оптических данных величины рассматривать как средние значения действительного распределения Зо(г) в локальных интервалах покрытия А/ и в соответствии с этим перейти к величинам Аг(5) =5гДг(г). Подобный переход оправдан тем обстоятельством, что в микроструктурном анализе фиксировать отсчеты искомых распределений в системе узловых точек не имеет смысла. Доминантой в этом анализе являются система А и соответствующая ее последовательность А (5), /=1,. . ., т). Этого правила мы будем придерживаться и в обратной задаче светорассеяния, что вновь нас приводит к уравнениям типа (1.110) и соответствующей алгоритмической схеме обращения аэрозольных оптических характеристик, описанной в п. 1.4. Естественно, можно не учитывать специфику микроструктурного анализа дисперсных сред и рассматривать аппроксимационную модель 5 (г, 8) как средство формальной алгебраизации интегральных уравнений. С этой точки зрения кусочно-квадратичная аппроксимация позволяет строить весьма эффективные квадратуры для полидисперсных интегралов с ядрами теории Ми. [c.125]

Алгебраизация интегральных уравнений теории касательного зондирования [c.156]

Остановимся кратко на построении суммационного аналога для интеграла Стилтьеса в (3.13), полагая, что геометрический параметр к пробегает (я+1) значений из интервала [Яь Я2 В этом случае имеем систему п подынтервалов Д/, /=1,. .., п покрывающих указанную область значений Л. Считая узлы Л/ (/=1,. . +1) границами частичных интервалов, их размеры можно определить согласно выражениям Д/(Л)=Л/+1 — Л/, где к = Н и кп- - = Н2. Без ограничения общности можно полагать, что в качестве Я2 берется верхняя граница атмосферы Я, и тогда вместо указанного выше интервала можно рассматривать интервал высот [Ль Я]. В дальнейшем при алгебраизации интеграла (3.13) будем использовать одно из простейших представлений для дифференциала т(г), а именно [c.156]

В заключение остается сделать несколько замечаний относительно алгебраизации этого уравнения. Не останавливаясь подробно на анализе свойств интегральных уравнений указанного типа, заметим, что вполне адекватным методом их алгебраизации может быть построение суммационного аналога на основе многочленов Бернштейна для распределений (o(Zq). В расссматривае-мой задаче ничто не препятствует равномерной дискретизации интервала [О, max], на котором задана эта функция. В соответ- [c.210]

Функция Грина для поля в среде. Для алгебраизации дифференциальных уравнений Максвелла в случае однородной в пространстве и во вред1ени среды дюжно разложить поля с подющью четырехдюрных интегралов Фурье (3.2.31). При этом (2) в линейном приближении примет вид [c.103]

Следующая лемма позволяет эффективно описать суЙ дифференциалы к функционалу (2.14) с помощью опорный гиперплоскостей к функции конечного числа переменных Таким образом, происходит алгебраизация соотношений (2.15). [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...