Взаимная ортогональность

Векторный базис — это система трех векторов, не все из которых параллельны одной плоскости. Если базисные векторы взаимно ортогональны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормальным. Если задан векторный базис е , 63, то произвольный вектор а может быть выражен через базисные векторы посредством операции умножения на скаляр и сложения [c.16]

Среди возможных систем координат наибольшую важность для практических целей имеют ортогональные системы координат. Эти системы таковы, что во всех точках векторы естественного базиса являются взаимно ортогональными (хотя и не обязательно имеют единичную длину). Наряду с декартовыми координатами известными примерами ортогональных систем являются цилиндрическая и сферическая системы координат. [c.79]

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 105, а), допускающая только поворот сечения балки в силовой плоскости. Схематическое изображение опоры показано на рис. 105, б реакция такой опоры разлагается на две взаимно ортогональные составляющие. [c.155]

Изобразим в виде векторов действующие на плиту СИЛЫ Р, О hQ (последняя направлена вдоль каната). Так как все эти силы взаимно ортогональны, располагаем оси координат х, г/ и z так, чтобы каждая сила была параллельна одной из осей. Момент пары [c.111]

Уравнение (2.68) назьшается характеристическим уравнением матрицы А (см. 1, гл. 2). Оно может быть использовано для вычисления всех ее собственных значений. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы, а в случае симметричной матрицы и взаимно ортогональны. Количество к собственных векторов, соответствующих собственному значению X, не превышает кратности этого собственного значения 1 < Для симметрич- [c.117]

Моменты инерции рассчитаны относительно главных центральных осей с началом в центре масс = 1е 12. Первая из этих осей направлена вдоль отрезка, а две другие взаимно ортогональны и лежат в плоскости, перпендикулярной первой оси. [c.65]

Видим, что это — взаимно ортогональные векторы.О [c.180]

Особо рассмотрим случай а = 0. Тогда 0 — 0 л 0 — 0. Имеем два кратных мнимых корня характеристического уравнения. Если мысленно убрать гироскопические силы, то рассматриваемая система превращается в позиционную линейную систему, уравнение частот которой имело бы один кратный корень, и вся плоскость Оху состояла бы из собственных векторов. В ней следовало бы выбрать взаимно ортогональные, например вдоль осей Ох и Оу, и каждому из направлений соответствовало бы по два линейно независимых решения. Действие гироскопических сил приводит к тому, что система имеет одно собственное направление Ц1 для корня / 1 = 0 = —ш, определяемое из условия [c.597]

Касательные к координатным линиям в данной точке примем за координатные оси и направим вдоль их единичные векторы i], 12,13, которые в виду ортогональности координат будут взаимно ортогональны. [c.248]

Вообще говоря, для выполнения условия (5.35) достаточно, чтобы лишь один из интерференционных членов был отличен от нуля. Если при некоторых условиях эксперимента когерентность одной из взаимно ортогональных составляющих суммарной картины мала или интенсивность компонент Е и Еу существенно различна (что, например, возможно при исследовании частично [c.204]

Если эллипсоид вырождается в сферу, то ее главными осями являются произвольные взаимно ортогональные диаметры. [c.252]

Векторы а, О называются ортогональными, если ( , г>)=0. Очевидно, что взаимно-ортогональные ненулевые векторы линейно независимы. [c.309]

Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций sin 0 и sin п0 с и 1), получим [c.265]

Это уравнение пр 4 заданных граничных условиях имеет отличные от нуля решения лишь при определенных %п, составляющих набор его собственных значений. Все эти значения вещественны и положительны, а соответствующие функции Тп х, у, г) составляют полную систему взаимно ортогональных функций. Пусть распределение температуры в начальный момент времени дается функцией To x,y,z). Разлагая ее по системе функций J,, [c.291]

Введем на пути одного из пучков полуволновую пластинку, в результате чего пучки станут поляризованы взаимно ортогонально. В этом случае никаких дополнительных пятен не наблюдается. Отрицательный результат получается и при смещении кюветы с нелинейной средой из области перекрытия пучков. [c.825]

Три взаимно ортогональных направления, соответствующих единичным векторам определяют главные оси сим- [c.127]

Заметим, что, полагая i2=0, мы получим не исходное приближение (1), а суперпозицию решений нулевого приближения. Более того, полученные таким образом собственные векторы нулевого приближения являются взаимно ортогональными [54]. Таким образом, метод усреднения позволяет определять собственные значения и собственные векторы. [c.306]

Чтобы данное состояние можно было разложить по совокупности каких-либо других состояний, последние должны быть взаимно ортогональными, т. е. должны отвечать одному и тому же полному набору. Такие состояния принято называть базисными. Амплитуды базисных состояний удовлетворяют условию, которое является очевидным обобщением соотношения (5.2.4) [c.110]

Промежуточные и-состояния должны быть полностью различимыми, поскольку в противном случае нет смысла вводить понятия различимых или неразличимых альтернатив, так как фактически теряет смысл само понятие альтернативы. Следовательно, у-состояния должны образовывать систему взаимно ортогональных базисных состояний. Учитывая это, воспользуемся принципом суперпозиции состояний и представим состояние ls> в виде [c.112]

Так как скорости v, v,, Va взаимно ортогональны, они равны ортогональным проекциям v на соответствующие направления fr, fe, v , что и записано в предыдущих формулах. [c.34]

Итак, вернемся к рассмотрению случая А> В> С. Корню по формулам (5.3) отвечают направляющие косинусы а<, р.-, у,-. Докажем, что направления, отвечающие различным корням взаимно ортогональны. Действительно, [c.138]

Уравнения движения. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, ОБОИМИ возможными движениями имеет вращения вокруг любых осей, проходящих через неподвижную точку, а тем самым и вращение вокруг неподвижных взаимно ортогональных осей, пересекающихся в О. Следовательно, абсолютная скорость конца вектора момента количеств движения а относительно неподвижной точки О равна моменту действующих активных сил. Предложение это возможно записать в подвижных осях. [c.183]

Итак, с учетом направления вектора т у и правила знаков (см. рис. 5) имеем СГ , = 20 МПа а у = 50 МПа х у = = —20 МПа. Эти напряжения на двух взаимно ортогональных площадках определяют исследуемое плоское напряженное состояние. Но это не главные площадки, так как в них касательные напряжения не равны нулю. Наклон главных площадок найдем с помощью выражения (4) [c.11]

Решая совместно составленную таким образом систему трех уравнений, найдем значения направляющих косинусов т , И (г = 1, 2, 3) главных площадок. Детальное исследование косинусов, полученных для каждого главного напряжения, показывает, что главные площадки взаимно ортогональны друг другу. [c.15]

Так как векторы w ,, We, и взаимно ортогональны в данной задаче, то величину ускорен1[я W определим по формуле [c.247]

При численном интегрировании ургьвнений Пуассона накопление вычислительных погрешностей нарушает взаимную ортогональность базисных векторов, и они перестают быть единичными. [c.450]

Следовательно, в каждой точке твердого тела или неизменяемой материальной системы можно найти три взаимно ортогональные главные оси инерции. Троек главиы.х осей для одной точки может быть больше, чем одна, только в том случае, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, В тех случаях, когда эллипсоид инерции является сферой, каждый ее диаметр является главной осью инерции. [c.81]

Докажем теперь, что двум разним корням уравнения (1.97) соответствуют два взаимно ортогональных направления главных осей. Используем соотношения (1.96а). Обозначим координаты точки главной оси, соответствующей корню Х,- уравнения (1.97), через Xi, у,, г,-. Производные функции Ф. соответствующие корню Х , обозначим соответствующими индексами. Теперь составим два равенства [c.83]

Лиалогично доказываются и равенства е(2Ье(3)=о и е(3).е( ) = о, что подтверждает взаимную ортогональность единичных векторов а следовательно, н осей, но кото- [c.126]

Движение в его геометрическом представлении имеет относительный характер одно тело движется относительно другого, если расстояния между всеми или некоторыми точками этих тел изменяются. Для удобства исследования геометрпческого характера движения в кинематике можно взять вполне определенное твердое тело, т. е. тело, форма которого неизменна, и условиться считать его неподвижным. Движение других тел по отношению к этому телу отсчета будем в кинематике называть абсолютным движением. В качестве неподвижного тела отсчета обычно выбирают систему трех не лежащих в одной плоскости осей (чаще всего взаимно ортогональных), называемую системой отсчета, которая по определению считается неподвижной (абсолютной) системой отсчета или неподвижной абсолютной) системой координат. В кинематике этот выбор произволен. В динамике такой произвол недопустим. За единицу измерения времени принимается секунда 1 с = 1/86400 сут, [c.13]

Если векторы ei, ез, ез взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными. Мы будем рассматривать только ортогональные криволпнейные координаты. Найдем проекции У(, и 1У(). (г=1, 2, 3) скорости v и ускорения w точки Р па оси криволинейной системы координат. Ии (1), (16) и (17), получаем [c.21]

Если базисные векторы взаимно ортогональны и модули их равны единице, то они называются ортами прямоуго.гьной системы координат. В механике стержней получили широкое распространение неподвижные декартовы оси Хи Х2, Хз (рис. П.З) и подвижные ортогональные оси х ь х 2, х, связанные с осевой линией стержня. Принята правая система координат, т. е. система координат, когда оси переходят одна в другую поворотом против часовой стрелки (например, на рис. П.З xi переходит в Х2 поворотом относительно оси, 1 з против часовой стрелки). Базисные векторы неподвижных декартовых осей обозначены i,, базисные векторы подвижных декартовых осей—е,. [c.291]

О таких состояниях говорят как о взаимно ортогональных. В этом смысле все состояния классического объекта взаимно ортогональны, тогда как в квантовой физике ортогональны лишь состояния, соответствующие одному и тому же полному набору, и неортогональны состояния, соответствующие разным наборам. Последнее обстоятельство и отражено в принципе суперпозиции состояний. Заметим, что представление о взаимно ортогональных состояниях позволяет указать критерий полной и частичной различимости состояний. Если =0, то состояния Si> и S2> полностью различимы (между ними нет суперпозицнонных связей). Если же 0, то рассматриваемые состояния частично различимы. Итак, критерием полной различимости состояний является их взаимная ортогональность. [c.110]

Теплопроводность анизотропного вещества зависит от направления из да1Н1ой точки и достигает экстремальных значений по трем взаимно ортогональным направлениям, называемым главными осями тепловой проводимости. [c.96]

Пример. В неподвижной системе координат Oxyz (рис. 124) рассматриваются взаимно ортогональные оси 0 т) с тем же началом О ось совпадает с неподвижной осью г, а оси г] вращаются вокруг оси Z с постоянной угловой скоростью 0J. Начало отсчета времени t выберем в момент, когда оси х и совпадают при этом = (at. [c.170]

Ввиду бесконечной малости иараллелепипеда на этом рисунке принято, что напряжения во всем его объеме остаются неизменными (однородное напряженное состояние). Поэтому здесь на параллельных гранях предполагаются равные, но противоположно направленные напряжения. По существу, это напряжения на трех взаимно ортогональных площадках, проведенных через рассматриваемую точку. Они составляют тензор напряжений в данной точке (см. 1.1) [c.26]

В заключение запишем уравнения закона Гука для ортотроппого материала. В последнее время широкое распространение получили так называемые композитные материалы, состоящие, например, из полимерной основы, армируемой волокнами из высокопрочного материала. Упругие свойства такого композитного материала зависят от плотности насыщения и ориентации в пространстве армирующих волокон. В общем случае такой материал рассматривается как анизотропный. В частном случае, когда армирующие волокна расположены в трех взаимно ортогональных направлениях, упругие свойства будут симметричны относительно трех ортогональных плоскостей. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...