Коэффициенты изотропные — Колебани

Таким образом, расстояние между атомами, совершающими гармонические колебания, при нагревании не изменяется, так как их среднее смещение <л >=0, а следовательно, и тепловое расширение должно отсутствовать, что противоречит реальной ситуации. Все твердые тела при нагревании расширяются. Для большинства твердых тел относительное расширение при нагревании на ] К составляет примерно 10 =. В табл. 6.1 приведены значения температурных коэффициентов линейного расширения для некоторых изотропных веществ. [c.184]

Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот равны. Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты колебания. Такая система является полностью вырождающейся. [c.326]

Формула (139) показывает, что движение слагается из постоянной составляющей и переменной составляющей, выражающей колебание с удвоенной, по сравнению со скоростью вращения, частотой. Колебательная составляющая исчезает только при равенстве или с = с", т. е. при одинаковых коэффициентах жесткости опор в двух направлениях (изотропные опоры). Наличие упругости опор, следовательно, вызывает в вале переменные напряжения с частотой, равной удвоенной скорости вращения вала. [c.408]

Таким образом, при уравновешивании ротора переменного сечения с изотропными жесткими или упругими опорами необходимо расчетным путем (или экспериментально) определить формы собственных колебаний для учитываемых частот, т. е. тех частот, которые входят в заданный диапазон скоростей вращения. Закон распределения грузов в пробной системе получается путем перемножения ординат к-й формы собственных колебаний и ординат кривой распределения масс. Такая пробная система принимается за единицу. Устанавливая ее на вращающийся ротор, определяют коэффициент пропорциональности между кривой распределения грузов в пробной системе и соответствующей кривой динамических прогибов, а также сдвиг фазы между плоскостями прогиба и небаланса. Для определения влияния пробной системы достаточно, как и раньше, проводить измерения прогибов в одном сечении по длине ротора. [c.144]

Изотропность стекла и обусловливает тождественность его физических свойств во всех направлениях. Кроме того, стеклу не свойственны все те явления, которые характерны для перехода из твердого состояния в жидкое и обратно, — определенная температура плавления и резкие скачки величин вязкости и теплоемкости. Сильные колебания в значениях некоторых свойств стекла, как, например, коэффициента термического расширения, теплоемкости, теплопроводности и диэлектрической проницаемости, проявляются лишь в так называемом аномальном участке (интервале размягчения). Однако эти колебания не связаны с какой-либо точкой на температурной кривой. [c.5]

Колебательные свойства упругой однородной и изотропной среды определяются следующими параметрами плотностью материала р, модулем Юнга Е, модулем сдвига ц, коэффициентом Пуассона V, удельным волновым сопротивлением ш, скоростью распространения продольных колебаний упругой волны с и коэффициентом затухания р. Скорость распространения продольных колебаний с непосредственно связана с этими параметрами. В ограниченной среде, если длина волны % в системе больше диаметра волновода й, с = [c.6]

Широкое распространение получил приближенный энергетический метод учета внутреннего трения при колебаниях механических систем, который предполагает введение некоторой функции диссипации энергии за цикл нагружения при сохранении линейно упругой связи между напряжениями и деформациями. Поэтому наряду с упругими константами рассматриваются как независимые диссипативные параметры материала (логарифмические декременты колебаний или коэффициенты рассеяния). Для изотропных тел [111 потери энергии AW в единице объема тела за цикл нагружения определяются с помощью двух коэффициентов ij) , t(i", амплитудных значений энергии формоизменения W и энергии изменения объема W [111 [c.252]

В работе [32] приводится новая формулировка базового уравнения эйконала в лучевом приближении и изучении прохождения объемных волн через зону с высоким градиентом скорости в связи с решением задачи о рассеянии упругих волн в неоднородной среде. Полученная зависимость коэффициента отражения от частоты колебания подтверждена экспериментальными наблюдениями. Распространение объемных волн с фазовыми и групповыми скоростями в поперечно-изотропной среде исследовано в работе [24] на физических слоистых моделях, состоящих из листов фенолита и бумаги. В результате физического моделирования установлено различие фазовых и групповых скоростей, а также выявлены изменения поляризации, амплитуд и скоростей волн при их распространении в анизотропной тонкослоистой среде. [c.40]

Бесконечно малые деформации бесконечно тонкого первоначально цилиндрического стержня. Изгиб и кручение в случае изотропного и ненапряженного стержня. Изгиб напряженного стержня. Метод Граеезанда определения коэффициентов упругости проволоки. Изгиб горизонтальной проволоки от собственного веса. Продольные и крутильные колебания стержня. Поперечные колебания ненапряженного стержня. Поперечные колебания слабо напряженной и сильно напряженной струны) [c.354]

Основные свойства упругих колебаний высокой частоты или ультразвуковых колебаний, как известно, описываются теми же закономерностями, что и свойства колебаний звукового диапазона. В частности, это касается условий распространения упругих волн в сплошной изотропной среде, обладающей упругими свойствами. Однако ультразвуковые колебания могут быть примен1 ны для решения ряда новых задач. Примером может служить исследование изменения различных характеристик жидких и твердых тел в зависимости от скорости распространения ультразвука и коэффициента затухания с помощью импульсно-фазового компенсационного метода приборами типа УЗИХ, разработанных Н. И. Бражниковым [9], [10]. Погрешность измерений скорости ультразвука такими приборами составляет 0,007 и 0,003% на частотах соответственно 1 и [c.291]

Вертгейм опубликовал одну дополнительную работу по своему экспериментальному изучению теории Пуассона— Коши. Она служит интересным комментарием к тому, как числовое совпадение в наблюдаемом, но не понятном поведении в совокупности с теоретически ожидаемым, но пока экспериментально не обнаруженным подобным поведением может быть причиной фундаментальной ошибки, которая затем широко распространяется. Инфинитезимальная линейная теория упругости предсказывает существование в изотропных телах дилатационных и сдвиговых волн, различие в скоростях которых зависит от коэффициента Пуассона. Многие экспериментаторы отмечали, что продольные колебания сопровождались звучанием, получившим название глубокого тона, слышимость которого менялась пока продолжался процесс колебаний ). Савар (Savart [1837,1]) отождествлял источник глубокого тона с поперечными колебаниями, происходящими с частотой, которая почти точно на октаву была ниже частоты продольных колебаний, независимо от того, рассматривалась ли частота колебаний первая, или вторая, или третья. Звук глубокого тона характеризовался как резкий и воспринимался только прерывисто. При его возникновении заметно ослабевал тон продольных колебаний. Это явление, которое Вертгейм охарактеризовал в 1851 г., как известное каждому, кто имеет дело с экспериментами этого типа, обычно было причиной разрушения стеклянных и хрустальных образцов во время испытаний на продольные колебания . [c.338]

Wertheim [1844, 1]), ему не нужно было считать число колебаний в секунду быстро колеблющегося образца, а он смог следить за амплитудой как функцией времени в каждом отдельном колебании. Однако модификации Купфера сделали для него невозможным определить из выполнявшихся им опытов значения модулей, которые он хотел найти. Он, кроме того, упорствовал в использовании теории Пуассона — Коши и отвергал работу Вертгейма, небрежно и бездоказательно заявляя, что она основана на отстаивании экспериментов в действительности не вполне удовлетворительных (Кир fer [1852, 1],стр. 193). Это довольно неправдоподобно, но Купфер далее утверждал, что, так как коэффициент Пуассона изотропного твердого тела может принимать значения от О до 0,5, среднее значение 0,250 приобретает дополнительную важность, независимо от того факта, что v, равное 0,25, есть требуемое численное значение коэффициента Пуассона. [c.392]

Частью большого исследования условий, при которых имеют место изотропность и однородность в поликристаллических брусьях из различных металлов, было определение Фохтом (Voigt [1892, 1, 2 ) в 1892 г. логарифмического декремента при изгибных, а также и при крутильных свободных колебаниях. При первых стержень был защемлен на одном конце, в то время как при вторых один конец был защемлен, а к другому был присоединен металлический диск. Фохт сообщил о внимании, которое он уделил правильной пайке и соединению частей, чтобы минимизировать потери в приборе. Он признавал, что такие потери были важным источником ошибок в его результатах. Дальнейшие трудности встретились в связи с сопротивлением воздуха, которые Фохт пытался исключить с помощью поправочных коэффициентов ). Он обнаружил, что при крутильных колебаниях терялась дополнительная энергия, связанная с неизбежным изгибом, сопровождавшим колебания. [c.531]

Для обоих кристаллов эти коэффициенты практически одинаковы, ио различаются перестановкой мест. Различие коэффици- еитов а, и ах обусловлено анизотропией связей направления прочных и слабых связей в этих кристаллах взаимно перпендикулярны. Сходство соответству-ующих коэффициентов в обоих веществах обусловлено одина- ковой природой прочных (ковалентные силы) и слабых (силы Ван-дер-Ваальса) связей. Переустановка коэффициентов вызвана тем, что главная ось в кри- сталле графита совпадает с направлением слабой связи, а в жристалле теллура — с направ- лением сильной связи. Отрицательные значения коэффициентов расширения вдоль сильных связей объясняются анизотропи->ей колебаний частиц. Амплитуды продольных колебаний вдоль слоев и цепочек меньше амплитуд поперечных колебаний. Тепловые волны изгиба приводят к сокращению продольных размеров слоев и цепочек. В кубическом кристалле алмаза, взятом для сравнения, тепловое расширение изотропно и мало, а = 0,6-10 град , что объясняется кубической симметрией и прочностью связей. Другие свойства алмаза и графита — двух модификаций углерода — также существенно различны. Алмаз — изолятор, прозрачен, Тверд графит—полупроводник, непрозрачен, легко распадает->ся на чешуйки при легком нажиме. [c.86]

Рассмотрим изотропную пластинку, показанную на рис. 1( ). Жесткости единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах д = 0 х = а, = 0 и у —5 соответственно равны Рхь fix2, Pi/i и ру2 и V — коэффициент Пуассона материала пластинки. Тогда, используя уравнение (15), получим выражение для собственной частоты колебаний изотропной пластинки [c.160]

Интересной в теоретическом отношении является работа [151], в которой получены зависимости для определения упругих постоянных, вещественных и мнимых частей комплексных модулей и коэффициентов Пуассона в оротропном и изотропном слоях по скоростям распространения и декремента затухания продольных и сдвиговых колебаний. Для определения всех упругих параметров ортотропной пластины необходимо экспериментально определить скорости продольных волн вдоль главных направлений и скорость сдвиговых колебаний в одном главном направлении и под углом 45° к нему. Комплексные составляющие модулей и коэффициентов Пуассона определяются по скоростям и декрементам затухания колебаний. Однако в этой работе совершенно не затрагивается задача онределе- [c.71]

Исследования равновесия и распространения трещины в анизотропной среде (Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов, 1961) показали, что, как и в изотропном теле, скорость распространения трещины не может превосходить скорость волн Рейли. В случае ортотропного тела с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии для прямолинейности трещины необходимо, чтобы отношение критических коэффициентов интенсивности напряжений в направлении расклинивания и в направлении, ему перпендикулярном, не превышало единицы. Одно из основных предположений в задачах стационарного расклинивания с постоянной скоростью состоит в том, что конец трещины, образующейся перед клином, движется равномерно с той же скоростью. Однако экспериментальные исследования показали, что при развитии трещины, например, с малой скоростью скорость конца совершает регулярные колебания около некоторого среднего значения. Г. И. Баренблатт и Р. Л. Салганик (1963) исследовали явление автоколебательного процесса при расклинивании, предположив, как и А. Н. Стро (J. Me h. and Phys. Solids, 1960, 8 2, 119— 122), что критический коэффициент интенсивности напряжений зависит от мгновенной скорости распространения трещины, вначале убывая, а затем возрастая с увеличением скорости. Ими рассмотрены автоколебания при расклинивании жестким клином, движущимся с постоянной скоростью, для бесконечного хрупкого тела> тонкой балки и тонкой стружки, отщепляемой от большого тела. [c.389]

Вспомните выражения для отражения и пропускания моно-хроматичного параллельного пучка света, падающего из вакуума на поверхность плоской изотропной преломляющей среды с по казателем преломления п. Обозначим через г и Гр амплитудные коэффициенты отражения, где индекс р соответствует случаю, когда колебания будут параллельны плоскости падения, и индекс п — случаю, когда они нормальны к этой плоскости. Соответствующие коэффициенты пропускания обозначим через t-p и tn. [c.117]

Лоудон [17, 18] рассмотрел случай очень сильной фо-тон-фононной связи, возникающей при взаимодействии света с колебаниями ионной решетки. В этом случае е(со = г, — б) = Ed , тогда как в диапазоне частот, лежащем выше частоты ионных колебаний, диэлектрическая проницаемость оказывается много меньшей и равной квадрату коэффициента преломления для инфракрасной области. Дисперсионные эффекты здесь выражены более резко и качественно иллюстрируются графиками фиг. 17. Выполнение закона сохранения импульса для стоксовой компоненты, распространяющейся в прямом направлении, в кубических или изотропных средах невозможно. Лоудон показал, однако, что в анизотропных кристаллах рассеяние в прямом направлении возможно. [c.166]

Колебания анизотропной пластины с учетом инерции вращения и деформации сдвига рассмотрены В. П. Красюковым [2.21] (1966). Выведены уравнения на основе модели Тимошенко. Коэффициент сдвига й = б/6 принят такой же, ка.к и в статической теории Рейсснера [2.184—2.186] (1945). Для квадратной трансверсально изотропной пластины в случае шарнирного опирания получена приближенная (формула низшей частоты. Численно показано, что с увеличением трансверсаль- [c.162]

Уточненная теория динамики ортотропной цилиндрической оболочки построена I. Mirsky [S.1351 (1964). Он учитывал поперечные нормальные напряжения, влияние инерции вращения и поперечного сдвига. Применением принципа Гамильтона—Остроградского к уравнениям трехмерной теории упругости получены шесть уравнений движения в напряжениях и перемещениях. Для случая распространения свободных гармонических волн в бесконечной оболочке выведено дисперсионное уравнение, из которого определяются частоты (шесть ветвей) в зависимости от длины волны для изотропных (сталь) и неизотропных (цинк, магний, молибден, вольфрам) материалов при различных толщинах и числах окружных полуволн. Коэффициенты сдвига fe и fee определяются по R. D. Mindlin y [2.1501, зависимость от m и п не учитывается, что дает ошибку не более 10%. Для изотропного материала результаты сравниваются с точными решениями D. С. Gazis a", на основании чего автор полагает, что первые четыре формы колебаний описываются хорошо и это будет справедливо также для ортотропной оболочки. [c.205]

Из результатов, полученных Кирхгофом в механике твердых деформируемых тел, отметим слёдующие обоснование теории пластин двумя гипотезами (ныне носящими имя автора), вывод формулы для потенциальной энергии деформации пластины, энергетический вывод уравнения изгиба пластины, приведение в соответствие числа граничных условий и порядка дифференциального уравнения в теории пластин, исследование колебаний пластин и стержней переменного сечения, построение геоме рически нелинейной теории изгиба пластин, вывод нелинейных уравненнй равновесия для пространственного гибкого стержня, формулирование динамической аналогии (сопоставление уравнения равновесия стержня и уравнения движения твердого тела относительно неподвижной точки), экспериментальное определение величины коэффициента Пуассона с целью выявления правильной точки зрения в дискуссии о числе независимых упругих постоянных в изотропном теле. [c.47]

Коэффициенты отражения rJ , г,,, в отличйе от изотропных сред, зависят в общем случае от а—азимута колебаний падающего света. [c.66]

V j (Г рилож.8) скорость распросфанения продольных колебаний V =5.63 км/с больше скорости Г33 = 2.21 км/с в 2.54 раза. Характерно, что для фани (3-3 ) Vil = 2.05 км/с, Гз2 = 2.01 км/с, т.е. зарегистрированные величины скоросги распространения поперечных колебаний пракгически почти не отличны от скорости продольных. Если априори посчитать такой образец изотропным, то по фани 3-3 был бы получен офицательный коэффициент Пуассона. В разрезе СГ-3 подобных образцов сравнительно много. [c.152]

Сравнения (5.11) называют уравнениями колебаний гравнения (5.12) представляют собой граничные гсловия. Уравнения колебаний целесообразно записать в другом, виде. Напряжения и деформации-свя ны между собой законом Гука. Предполагая, что 1ул0 изотропно, и вводя коэффициенты Ламэ %, ц, рразйм этот закон в виде [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...