154 — Уравнения упругости распределенной

Запишем уравнение упругой линии для правого участка балки. Так как распределенная нагрузка обрывается в точке С, продлим ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку такой же интенсивности (рис. 281, б). Уравнение упругой линии в общем случае будет иметь вид [c.286]

Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами сечений. Если размеры сечения стержня непрерывным образом изменяются по длине, то фор<мулы, полученные на основании гипотезы плоских поперечных сечений, становятся, вообще говоря, неверными (как и сама гипотеза). Однако некоторые точные решения теории упругости показывают, что в том случае, когда угол наклона образующей поверхности стержня к его осп невелик (не превышает 15— 20 ), с достаточной для инженерной практики точностью можно принимать распределение нормальных напряжений по высоте сечения прямолинейным. Тогда, естественно, можно пользоваться обычным условием прочности и дифференциальным уравнением упругой линии, т. е. [c.302]

Пример 4.9. Написать уравнение упругой линии для консоли, загруженной на среднем участке распределенной нагрузкой (рис. 157). [c.147]

Следует отметить, что при постоянных объемных силах уравнения, устанавливающие распределение напряжений в плоской задаче, не содержат упругих постоянных материала. По этой причине и представляется возможным широко использовать в практике моделирование и, в частности, переносить результаты исследований напряжений, проведенных оптическим методом при помощи поляризованного света на прозрачных материалах (целлулоид и др.) на другие материалы, например сталь. [c.37]

Следует проиллюстрировать интегрирование дифференциального уравнения упругой линии на двух простых примерах, скажем, определить прогибы и углы поворота свободного конца простой консоли при ее нагружении сосредоточенной силой на свободном конце и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине. [c.135]

Условие жесткости балки имеет вид /<[/], т. е. максимальный прогиб (стрела прогиба) не должен превышать допускаемого. Очевидно, в нашем случае максимальный прогиб имеет местом посередине пролета. Для его определения составляем дифференциальное уравнение упругой линии для II участка балки, добавляя распределенную нагрузку (до середины пролета) и прикладывая направленную снизу вверх компенсирующую нагрузку, как показано на рис. 6-31, [c.135]

Запишем уравнение упругой линии для крайнего правого участка балки (участка BD, где 1 х 51/4), предварительно продлив распределенную нагрузку до конца балки и приложив компенсирующую нагрузку [c.307]

Уравнения равновесия (18) или (19) вместе с граничными условиями (20) и уравнением совместности (в одной из приведенных выше форм) дают нам систему уравнений, которая обычно достаточна для полного определения распределения напряжений в двумерной задаче ). Частные случаи, в которых понадобятся некоторые дополнительные соображения, будут рассмотрены позже (см. стр. 146). Интересно отметить, что в случае постоянных объемных сил. уравнения, определяющие распределение напряжений, не содержат упругих констант материала. Следовательно, распределение напряжений в этом случае будет одним и тем же для всех изотропных материалов, если эти уравнения достаточны для полного определения напряжений. Данное заключение обладает практической важностью позднее мы увидим, что для прозрачных материалов, таких, как стекло или целлулоид, можно определять напряжения оптическим методом, используя поляризованный свет (стр. 162). Из вышеприведенных соображений ясно, что экспериментальные результаты, полученные для какого-либо прозрачного материала, в большинстве случаев можно непосредственно применять и к любым другим материалам, например к стали. [c.49]

Пользуясь граничными условиями, приходим к системе уравнении относительно постоянных С[,. .., С4, из которой определяем критическую силу, 8.57. Приводим схему решения для случая б) распределенной нагрузки. Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид [c.394]

Структура слагаемых очень простая и легко запоминающаяся. Внешний момент сообщает уравнению упругой линии квадратичное слагаемое, сила — кубическое, а распределенная нагрузка порождает четвертую степень координаты Z. Из этих слагаемых и компонуется уравнение упругой линии не только в представленном обобщенном примере, но и во всех других подобных случаях. [c.57]

Метод аналогий базируется на тождественности уравнений, характеризующих распределение напряжений в упругом теле, уравнениям, описывающим другие физические явления (механические, гидродинамические, электрические и др.). Например, закон распределения напряжений при растяжении стержней математически тождественен закону распределения скоростей потока идеальной жидкости при установившемся движении- в русле, геометрически подобном очертанию растягиваемого стержня. Совпадение указанных законов обусловлено тем, что дифференциальные уравнения силовых линий при растяжении тождественны уравнениям линий тока жидкости. На этом принципе основан метод гидродинамической аналогии. [c.7]

На рис. 2 представлены зависимости lg ( — 1) от lg 0, соответствующие уравнению (2) при IIр == 0 и различным числам циклов. Из рисунка видно, что экспериментальные данные работы [15] хорошо описываются уравнением (2). При этом с уменьшением числа циклов возрастает значение параметра Va, что соответствует усилению влияния масштабного фактора и уменьшению чувствительности к концентрации напряжений (закономерность, отмеченная в работах [7, 8]). Параметры уравнения (2) для кривых рис. 2 в зависимости от числа циклов N приведены в таблице. Величины Оо находились по условным максимальным напряжениям Ощах, под-считанным в предположении их упругого распределения. [c.313]

Дифференциальное уравнение упругой линии может быть составлено и иначе. Силы давления, действующие во внутренней полости изогнутого стержня, создают распределенную нагрузку, направленную в сторону выпуклости (рис. 78). На участке длиной dx эта сила будет равна [c.121]

При равномерном распределении по длине неуравновешенности с постоянным эксцентрицитетом дифференциальное уравнение упругой линии [c.211]

Теоретические основы аналогии. Рассмотрим двумерное распределение температуры в цилиндрическом теле произвольного поперечного сечения, считая, что температура остается постоянной вдоль любой прямой линии, параллельной образующей цилиндра. Пусть существует стационарное состояние (температура не изменяется со временем) и пусть вдоль контура температура распределена произвольным образом. Материал считается упругим. Распределение температуры в плоскости поперечного сечения, параллельного координатным осям х, у (фиг. 11.17), должно удовлетворять уравнению Лапласа [10] [c.345]

Для расчета распределения нагрузки по длине соединения используем дифференциальное уравнение упругого контакта стержней (2.89) с решением в виде (2.91) [c.44]

Стойки, нагруженные продольными силами, распределенными по их длине. В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии представляет собой уравнение с переменными коэффициентами. При продольных силах, равномерно распределенных по длине, и для целого ряда других случаев его обш,ий интеграл может быть выражен через функции Бесселя дробных порядков. [c.326]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

М. Муни [25] использует для вывода уравнений, описывающих распределение сдвиговых и нормальных напряжений при конечном простом сдвиге, теорию высокоэластичности, которую распространяет на упруго-вязкие материалы с помощью гипотезы Максвелла о релаксации напряжений. Уравнения М. Муни содержат две материальные константы модуль сдвига G и модуль высоко- [c.29]

Для стержней постоянного сечения при действии сосредоточенных сил, моментов, равномерно распределенных нагрузок разработаны специальные методы интегрирования уравнения упругой линии, однако во многих случаях более просто использовать интеграл Мора. [c.410]

Полагая в (8) т— и заменяя В на модуль упругости Е, мы придем к известному дифференциальному уравнению для определения упругого распределения усилий по виткам резьбы [c.164]

Примеры краевых задач можно встретить во многих областях, в таких, как тепло- и массоперенос, течение жидкости, электростатика и механика твердого тела. К примеру, установившееся распределение тепла описывается дифференциальным уравнением в частных производных (уравнением Лапласа) =0, где Т — температура, и в любой корректно поставленной задаче в каждой точке границы С заданы либо температура, либо тепловой поток (температурный градиент). В эластостатике дифференциальные уравнения в частных производных — это уравнения упругого равновесия и в каждой точке границы С задаются нормальные напряжения или смещения и касательные напряжения или смещения. [c.9]

Изложив общую теорию, авторы применяют свои уравнения в ряде частных случаев. Они показывают, каким образом единственную входящую в их уравнения упругую постоянную можно получить опытным путем из испытаний на растяжение или на равномерное сжатие. Далее, они ставят перед собой задачу о полом круговом цилиндре и выводят формулы для напряжений, вызываемых равномерным внутренним или внешним давлением. Эти формулы используются для вычисления необходимой толщины стенок цилиндра при заданных значениях давлений. В своих исследованиях они пользуются теорией наибольшего напряжения, но предусмотрительно обращают внимание на то, что каждый элемент цилиндра находится в условиях двумерного напряженного состояния и что предел упругости, определенный из испытания на простое растяжение, может оказаться неприменимым к этому более сложному случаю. Следующими вопросами, разобранными в этой части их работы, являются задачи о простом кручении круглого стержня, о сфере, подвергающейся действию сил тяжести, направленных к ее центру, и о сферической оболочке, нагруженной равномерно распределенным внутренним или наружным давлением. Для всех этих случаев авторами выводятся правильные формулы, которые с тех пор нашли разнообразные применения в технике. [c.142]

Если X и у рассматривать как переменные, то w = / (x, у, 5, г]) будет уравнением упругой поверхности пластинки, загруженной силой Р=1 в фиксированной точке л = 5, У = >). Если же считать переменными координаты S, у, то уравнение (134) будет описывать поверхность влияния для прогиба пластинки в фиксированной точке X, у при этом положение перемещающейся точки приложения сосредоточенной нагрузки будет указываться координатами 5. t. Отсюда нетрудно определить прогиб в любой точке пластинки и в том случае, если она подвергается действию нагрузки интенсивностью /(S, т]), распределенной по некоторой площади А. Действительно, приложив элементарную нагрузку /(S, i d di в точке х — , у = г] и использовав принцип наложения, найдем прогиб [c.132]

Для равномерно распределенной нагрузки уравнение упругой линии получит следующий вид [c.598]

К. Представление о сплошности тела неявно используется во всех ранних исследованиях, начиная с работ Л. да Винчи и Г. Галилея. Лишь в 1812 г. С. Пуассон (1781-1840) предложил модель пластины как системы частиц, распределенных в ее срединной плоскости. Позже подобные модели рассматривали Л. Навье (1785-1836), О. Коши (1789-1857) и некоторые другие ученые. Однако и они используют вместо суммирования по системе частиц операцию интегрирования, неявно переходя таким образом от системы частиц к непрерывной среде. Впервые, по-видимому, уравнения упругого деформирования тела без использования каких-либо дискретных моделей, а на основе пред- [c.11]

В отличие от упругого распределения деформаций ei, подчиняющегося в соответствии с уравнением (109) зависимости 1/J/"г, для идеально упруго-пластического материала эта зависимость имеет вид Vr- Таким образом, при О 1 и о m < 1 для описания распределения деформаций показатель степени у координаты г изменяется в пределах от —0,5 до —1. [c.40]

Получено уравнение упругой линии (все ординаты которой увеличены в EI раз) для случая действия распределенной неравномерной нагрузки, меняющейся по линейному закону. Для более общего случая нагрузки, представленной выраже- [c.196]

Рассмотрим еще случай двухопорной балки при наличии в пролете момента силы Яс и равномерно распределенной нагрузки с (рис. 129). Уравнение упругой линии балки на пятом ее участке получим, учтя наличие скачков Мс (при х = = с,) Рс (при л = с.) дс (при д = Сз) — с (при = с ). [c.204]

Спецкурс Колебания распределенных механических систем является естественным продолжением курса теории колебаний. Сначала излагаются методы вывода уравнений упругих колебаний и краевых условий. Методы основаны на принципах Даламбера и Гамильтона - [c.11]

Другим примером может служить тождественность дифференциальных уравнений, вырал<ающих закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня, дифференциальным уравнениям упругой поверхности мембраны, натянутой на конкретный контур и подвергнутой равномерно раюпределенному давлению. Эта тождественность лежит в основе получившего распространение метода мембранной аналогии, при использовании которого в пластинке выреза- [c.7]

Для выяснения возможности использовать упрощенные уравнения подобия для оценки сопротивления усталости деталей при асимметричных циклах нагружения проанализированы результаты многочисленных усталостных испытаний [5]. Обозначим максимальное предельное нормальное напряжение в опасном сечении детали при асимметричном хщкле нагружения и упругом распределении напряже- [c.100]

Ззхмена интегрального уравнения упругого контакта тел системой линейных алгебраических уравнений (метод Фредгольма) эквивалентна допущению об удовлетворении условий совместности перемещений в конечном числе точек контакта. Последнее соответствует основе численных методов теории упругости — замене континуальной расчетной модели детали (тела) с непрерывным распределением параметров и бесконечным числом степеней свободы дискретной моделью, имеющей конечное число неизвестных. [c.115]

Влияние жесткости шипа крестовины на распределение нагрузки в игольчатом лодшипнике 804709К2 (z = 50, D = 45 мм, dm = 3 мм) исследовано при отсутствии перекоса игл. Упругие свойства материалов шипа и деталей подшипника одинаковы. Система нелинейных уравнений, описывающая распределение нагрузки между иглами для данных условий, имеет вид [c.73]

Высокая концентрация напряжений в соединении приводит к тому, что даже при сравнительно небольшом напряжении затяжки Оо 0,3 Ор во впадинах резьбы появляются пластические деформации. Так как задача расчета распределения нагрузки между витками резьбы становится вследствие этого физически нелинейной, для ее линеаризации используем метод переменных параметров упругости [5], согласно которому математической моделью упругопластического тела является уравнение упругости с параметрами упругости и V, зависягдими от напряженного состояния и потому переменными в различных точках тела [c.120]

Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. В последнем случае множество степеней свободы может быть либо счетным, либо континуальным. Системы, обладающие континуальным множеством степеней свободы, называют распределенными (континуальными). Число степеней свободы зависит от характера идеализации реальной системы. Упругие системы с распределенной массой являются распределенными системами заменяя распределенную массу конечным числом сосредоточенных масс, получим систему с конечным числом степеней свободы. С математической точки зрения колебания систем с конечнььм числом степеней свободы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями колебания распределенных систем — дифференциальными уравнениями в частных производных. Математическое описание весьма широкого и наиболее важного для приложений класса распределенных систем может быть сведено к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот класс распределенных систем эквивалентен, таким образом, системам с бесконечным счетным числом степеней свободы. Приближенная трактовка последних приводит к системам с конечным числом степеней свободы. [c.17]

Метод Бубнова—Галеркииа. Уравнения колебаний упругой распределенной системы (3) гл. IX решают с использованием (38). Однако (в отличие от метода Ритца) координатные функции должны удовлетворять всем краевым условиям (1), т. е. [c.184]

Возможен другой подход к решению основного уравнения упругости (33) (У Ф) = О, заключающийся в использовании функций напряжений, записанных в виде полиномов, а не в виде простых алгебраических функций того типа, который был принят Вестергаардом. Впервые этот подход был применен Уиллиямсом [14, 15J для расчета распределения напряжений вокруг трещин. [c.70]

Осветим бегло содержание книги Нейманна. В первых пяти главах он выводит основные уравнения теории упругости изотропного тела, вводя понятие компонент напряжения и деформации и устанавливая соотношения между ними через две упругие постоянные. Его обозначения для компонент напряжения были впоследствии приняты многими авторами в частности, их принял Ляв (А. Е. Н. Love). В следующих трех главах дается вывод основных уравнений с помощью гипотезы о молекулярном строении твердых тел. Излагаются работы Навье и Пуассона. Выводятся уравнения для неравномерного распределения температуры, исследуется теорема об единственности решений уравнений упругости. Следующая часть книги посвящена приложениям основных уравнений к частным задачам. Глава, в которой описывается [c.303]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...