Флуктуациониая сила

Td (О — квантовомеханическая флуктуационная сила (инверсия). [c.20]

Г / (О — квантовомеханическая флуктуационная сила (диполи). Гц+, Г х- — квантовомеханическая флуктуационная сила (один диполь). [c.20]

Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена. Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность, шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко понять и который позволит провести прямое сравнение с экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а последнее затем будет приведено (при выполнении определенных условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5. Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантовомеханического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей, недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией квантованных полей, мы приведем следующее важное соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит, что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными, их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических позициях. [c.250]

Нетрудно перейти от корреляционных функций, полученных для операторов Гу, к корреляционным функциям для флуктуационных сил, входящих в формулы (10.50) — (10.54). Несложные преобразования приводят к следующим соотношениям [c.259]

Поскольку средние значения флуктуационных сил равны нулю, а величины (Ь) н т. д. представляют собой классические величины, мы приходим к полуклассическим уравнениям, т. е. выводим последние таким путем из первых принципов . [c.262]

Наша задача состоит в том, чтобы решить основную систему уравнений (10.74), (10.78) — (10.80). Удивительное сходство квантовых уравнений с уравнениями полуклассической теории позволяет нам в квантовом случае действовать так же, как в полуклассическом. Это будет возможно, если мы будем заботиться о надлежащем порядке операторов в нелинейных членах и об учете флуктуационных сил и Г. Первый шаг состоит в том, чтобы исключить атомные переменные а , и это делается так же, как в разд. 6.3. Поскольку там эта процедура была подробно описана, мы ее повторять не будем, а приведем окончательный результат [c.263]

Причем член mq, отвечающий ускорению, очень мал. В правой части равенства стоит сила, действующая на частицу, которая представляет собой сумму величины К [q), соответствующей силе в полуклассическом случае, и флуктуационной силы F (i). Как мы уже видели в разд. 6.3, решения уравнения (10.83) существенно зависят от того, выполняется ли условие лазерной генерации. Эти два разных случая мы рассмотрим отдельно. [c.264]

Действие флуктуационных сил легче всего представить себе, если рассматривать их как последовательность толчков, возникающих [c.265]

Рис. 10.3. Зависимость потенциала фиктивной частицы от координаты д. Штриховая линия — потенциал ниже порога генерации. После каждого акта возбуждения, вызванного флуктуационной силой, частица релаксирует к своему положению равновесия. Сплошная линия — потенциал выше порога генерации.

Поскольку операторы Ь t) и Ь+ () выражаются через флуктуационные силы [формула (10.94)], фурье-амплитуды d (а) тоже флуктуируют, т. е. являются случайными величинами. Как показывают вычисления, из соотношений (10.88) — (10.90), которым подчиняются флуктуационные силы, следует равенство [c.270]

Теперь рассмотрим свойства лазерного света при превышении порога генерации. Если мы будем вновь рассматривать величину Ь как классическую переменную, то сможем выяснить ее поведение по сплошной кривой на рис. 10.3. Подчеркнем, что Ь — комплексная величина. Имея это в виду, мы можем из уравнения (10.91) вывести уравнения для действительной и мнимой частей величины Ь. При этом становится ясно, что поведение величины Ь можно представить как отвечающее движению фиктивной частицы в двух измерениях хну, причем Ь = X + 1у. Точно так же силу, входящую в уравнение движения, можно получить из потенциала, график которого представлен на рис. 10.9. Если флуктуационные силы отсутствуют, то частица будет находиться в состоянии покоя на расстоянии Го от начала координат угловая координата при этом бу- [c.274]

Здесь и Qyy — коэффициенты диффузии. Они выражаются через корреляционные функции флуктуационных сил с помощью соотношений [c.281]

Теперь предположим, что координата частицы д изменяется под действием флуктуационной силы Р ( ), создаваемой термостатом. Эта сила вызывает случайные толчки, и при различных реализациях случайных событий частица будет проходить разные пути. Если мы теперь хотим получить вероятность нахождения частицы в момент времени t в интервале д. . . д йд, нам нужно усреднить функцию распределения (11.30) по различным путям, обуслов- [c.296]

Коэффициенты диффузии, которые стоят в уравнении Фоккера— Планка (11.123), выражаются через флуктуационные силы с помощью соотношений [c.313]

Величина Опор была введена выше [формула (11.110)]. При условии (11.131) флуктуационная сила Г дается суммой [c.314]

Предположим также, что средние произведений распадаются на произведения средних. Кроме того, будем считать, что флуктуационные силы удовлетворяют условиям [c.318]

Уравнения, которые получаются при таких предположениях, будут рассматриваться в следующем разделе, а потому здесь мы их не выписываем. Мы просто будем в дальнейшем считать величины Ь и т. д. классическими переменными, зависящими от времени, и будем опускать флуктуационные силы. [c.318]

За последние десять или двадцать лет выяснилось, что сходные процессы, включающие самоорганизацию, обнаруживаются во многих других областях науки в физике, химии, биологии. Продемонстрируем, как возникает самоорганизация, на примере лазера. Возьмем уравнения одномодового лазера, содержащие флуктуационные силы, но для простоты будем считать, что уравнения написаны для классических величин. Далее выделим быстрые осцил- [c.325]

В последнем уравнении мы опустили флуктуационные силы, поскольку они не очень важны. Во многих реальных случаях константа затухания % намного меньше константы затухания у. Это обстоятельство приводит нас к идее, которая уже неоднократно использовалась в этой книге, например в разд. 6.3 и 6.4. Поскольку константа х мала, мы в соответствии с уравнением (13.1) будем считать, что амплитуда В затухает очень медленно. В гл. 10 мы видели, что ниже порога затухание амплитуды В определяется константой, которая значительно меньше константы х. Но если учесть процесс генерации, то оказывается, что и выше порога амплитуда В релаксирует очень медленно. [c.326]

Данное равенство говорит нам, что мгновенное значение амплитуды диполя, которое пропорционально величине дается амплитудой поля В i) (и флуктуационной силой). Это, пожалуй, самый простой пример проявления принципа, который в синергетике играет фундаментальную роль и называется принципом подчинения. [c.326]

Это уравнение совпадает с уравнением (13.6), если в последнем считать величину В действительной и отбросить флуктуационные силы. [c.330]

Наконец, если мы введем в уравнение (13.18) флуктуационные силы [формула (13.6)1, то эти силы будут наиболее эффективными, если коэффициент а близок к нулю и возвращающая сила определяется третьей степенью координаты д, так что при малых значениях д возвращающая сила очень мала. В этом случае мы имеем дело с критическими флуктуациями величины д. [c.331]

Флуктуационная сила 258 Фоккера — Планка уравнение 281, 313 [c.346]

Член, содержащий у, соответствует усредненному по времени затуханию амплитуды напряженности электрического поля. Для того чтобы уравнение (В1.11-11) все-таки можно было интерпретировать с помощью основной модели мод в закрытом резонаторе, должно выполняться условие и оо- Оно в самом деле выполняется в реальных схемах, как это видно, из следующих типичных значений и 10 с" (СОг-лазер), 10 с (Не — Не-лазер), 10 с- (Нс1-лазер). Поскольку в действительности изменение энергии излучения в резонаторе при изменении числа фотонов носит квантовый характер, следует ввести в рассмотрение быстро меняющуюся во времени флуктуационную силу "(/) типа силы Ланжевена, которая ответственна за этот эффект. [c.26]

Если уравнения (3.12-13) — (3.12-15) дополнить флуктуационными силами Га, Гр, то из них можно будет вывести [c.304]

Фиг. 30а. Спектр флуктуационной силы (<)

Если не учитывать флуктуационную силу (/), то выражение [c.307]

При учете флуктуационной силы целесообразно выбрать решение для e(t) в виде [3.12-3] [c.308]

В дальнейшем нам понадобятся корреляционные функции для операторных флуктуационных сил Г. Если провести квантовомехани- [c.258]

Первые два слагаемых в правой части этого уравнения отвечают действию термостата на электрон. Величина в скобках связана с взаимодействием электрона с полем, а последнее слагаемое представляет собой флуктуационную силу. Уравнения (10.78) — (10.80) и (10.74) — это основная система уравнений для лазера. Для полноты отметим, что атомные флуктуационные силы и флуктуацион- [c.261]

Впрочем, у нее имеются два отличия. Одно, очевидное, состоит в том, что в нее входят дополнительные (флуктуационные) силы, действующие на полевые и атомные операторы. Другое отличие — это то, что теперь величины Ь, Ь+, а, а+ н с1 являются квантовомеханическими операторами, подчиняющи.мися определенным коммутационным соотношениям. Как будет видно далее, форма полученных уравнений позволит нам действовать зачастую по аналогии с полуклассическими уравнениями. [c.262]

Используя выражение (11.31), с учетом свойств флуктуационных сил можно вывести уравнение Фоккера—Планка (11.29), соответст-вуюи1,ее уравнению (11.26) (см. книгу [13.2]). Однако в данный момент более важно другое свойство выражения (11.31). Действительно, воспользуемся фурье-представлением б-функции [c.297]

Второй член в правой части уравнения (12.8) описывает взаимодействие системы с термостатами и дает константы затухания и флуктуационные силы. Вычислить коммутатор в правой части уравнения (12.8) не составляет труда. С помощью ко.ммутационных соотношений для операторов +, Ь, а ,,,. . . находим [c.318]

Вслед за вышеизложенным рассмотрением обсудим иной вариант полуклассического подхода, обладяющий преимуществом простого сравнения с соответствующими последовательными квантовыми соотношениями кроме того, он позволит нам позднее ввести с достаточной ясностью флуктуационные силы, представляющие процессы квантовой природы. Без учета флуктуационных [c.294]

AN(i) — оператор полной инверсии. Операторы Г(/) являются флуктуационными операторами, которые по сравнению с a(i), p(t), AN(t) претерпевают быстрое временное изменение, так что временная структура соответствующих корреляционных функций здесь может быть представлена б-функцией (поправку мы обсудим позднее в соответствующем месте). Встречающиеся в уравнениях нелинейности служат препятствием для получения замкнутого решения, за исключением особого случая значений намного ниже пороговых. Помимо присутствия флуктуационных сил, в сравнении с полуклас- [c.301]

Наши дальнейшие рассуждения проведены на полуклассических уравнениях (3.12-13) — (3.12-15), которые мы дополним в правых частях соответствующими флуктуационными силами Га, Гр, Гдлг, аналогичными флуктуационным операторам Га, Г , Гдлг. Такой метод дает результаты, достаточно хорошо соответствующие последовательному квантовому описанию, если только можно ограничиться рассмотрением математических ожиданий нормально расположенных произведений операторов вида а+( т )а(/). Флуктуационные силы Га, Гр, Гд,у обладают следующими общими свойствами [c.302]

При переходе отдельной атомной системы с одного уровня на другой величина AN изменяется скачком на плюс или минус 2 флуктуационная сила Гдлг описывает процесс типа дробового шума. Однако влиянием Гдлг можно все-таки пренебречь по сравнению с другими флуктуационными эффектами. [c.304]

В уравнения для медленно меняющихся величин поля и поляризации а и мы Евели дельта коррелированные флуктуационные силы Га, Гр. Использование б-функций (благодаря которым дальнейшее численное рассмотрение очень сильно упростилось) явилось математическим отображением следующей физической си-туацпп области корреляции флуктуационных сил мож- [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...