Сомилиана формула

Силовые точечные особенности. Перемещение точки наблюдения М в неограниченной упругой среде под действием сосредоточенной в точке истока Q силы Р определяется с помощью тензора Кельвина — Сомильяна формулой (3.5.9) гл. IV [c.207]

Смещение 16 Снеддона формула 587 Сомилиана формула 239 Союзная матрица 60 [c.662]

Формула (7) была выведена Бетти. Она позволяет определить дилатацию в точке по известным функциям Ui и Рг на поверхности А. Эту формулу можно получить и другим способом, а именно путем соответствующего преобразования формул Сомильяны (формулы (12) 4.13). Для перемещений ий( ) мы получили там следующее соотношение [c.252]

Приложим в некоторой точке пространства с)(у, У2,Уз) сосредоточенную силу ф(ф1( ), (р2 у), (рз(у))- Тогда, воспользовавшись формулами (5.27) гл. III, а также формулами, получаемыми из них циклической перестановкой, приходим к выражениям для смеш,ений в произвольной точке р(Х[, Х2, Хз). Эти выражения удобно компактно записать в виде произведения некоторой матрицы Г(р,у), называемой матрицей Кельвина— Сомильяны, на вектор ф(9) [c.547]

Здесь интегрирование проводится по обт.ему включения, подвергшегося свободной деформации. Далее будем считать, что эта деформация однородна—тензор и, значит, постоянны. Тогда, вспомнив еще выражение (3.5.9) гл. IV тензора Кельвина — Сомильяна, придем к формуле (Эшелби) [c.222]

Интегралы одинакового типа в формулах (3.30) и (3.31), содержащие тензор Кельвина-Сомильяны, можно рассматривать как несобственные, так как размер тела V неограниченно больше размера злементов структуры. Интегрирование по объему всего тела в зтих формулах можно заменить интегрированием по области статистической зависимости случайного поля структурных модулей упругости — области, в которой значения локальной функции (г, г") отличны от нуля. [c.46]

Последняя формула носит название формулы Сомильяны. С ее помощью вектор перемещения и в любой точке G может быть найден, если на поверхности S, ограничивающей объем, известны одновременно и вектор перемещения и вектор усилий [c.86]

Формулу Сомильяны (2.29), полученную для случая, когда Е V, можно использовать в других случаях, если воспользоватся в [c.98]

Отметим глубокую связь между процессами перемещения границ и дислокаций Сомилианы. Вычисляя по формуле в [38] [c.185]

До сих пор прямой метод граничных интегралов мы привлекали только для вычисления неизвестных смещений или усилий на границе С произвольной области R. Если же мы хотим найти решение внутри рассматриваемой области R, можно воспользоваться интегральными тождествами, известными как формулы Сомильяны [30, стр. 245—247]. Для плоской задачи эти ( р-мулы дают смещения внутренней точки р области R в виде [c.124]

При обычной формулировке прямого метода граничных интегралов необходимые пределы берутся до выполнения какого-либо интегрирования. Подходящая форма теоремы взаимности в этом случае задается с помощью формулы Сомильяны (6.8.25), которая справедлива для сосредоточенной силы, приложенной в точке внутри области R. В пределе, когда внутренняя точка р переходит в точку Р на границе, (6.8.25) принимает вид [c.134]

Приведенная выше формулировка прямого метода граничных интегралов обеспечивает большую точность, чем предыдуш,ие подходы в случаях, когда происходят скачки в усилиях или резкие изменения нагрузок на границе. Хотя мы привели выражения только для граничных коэффициентов влияния, можно получить аналогичные коэффициенты, определяющие смещения и напряжения во внутренних точках, если воспользоваться формулами Сомильяны (6.8.25). Процедура остается той же, что и в 6.7, за тем исключением, что теперь все интегрирования должны проводиться для случая линейного изменения смещений и усилий между узловыми точками контура С, определяемого формулами [c.150]

Предшествующие алгоритмы можно достаточно легко ввести в вычислительную программу для прямого метода граничных интегралов TWOBI. Смещения и напряжения во внутренних точках обеих подобластей Ri и можно получить, используя формулы Сомильяны (6.7.3) и (6.7.8) с упругими постоянными, соответствующими рассматриваемой подобласти. [c.177]

В случае конечной области й для поля перемещений (4.59) справедлива формула Сомильяны (1.13), из которой следует, что [c.59]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

С другой стороны, если ф — решение уравнения (5.77), то порождаемый формулой Сомильяны вектор v(x), такой, что о+=ф на Г, отличается от вектора и(х), порождаемого решением уравнения (5.12 ) при тех же нагрузках, лишь вектором жесткого перемещения в й. [c.83]

Формула (1.25) носит название обобщенной формулы Сомильяны. Ниже будет использоваться также векторная запись формулы Сомильяны [c.93]

Используя введенные потенциалы, можно записать обобщенную формулу Сомильяны (1.27) следующим образом [c.96]

Решение уравнений теории )шругости (1.7) может быть выражено через интегралы от значений напряжений и смещений на поверхности тела. Такое интегральное представление есть не что иное, как аналог третьей формулы Грина ([82]), но для уравнений теории упругости. Можно показать [17, 96, 98], что компоненты вектора смещений в произвольной точке у = (Уь 72, 7з) тела выражаются следующей формулой (формулой Сомилианы), приводимой ниже для простоты в случае, когда объемные силы отсутствуют [c.86]

Из формулы Сомилианы после соответствующего дифференцирования получается представление для напряжений в произвольной точке тела через граничные значения и [17, 96] [c.86]

Формула Сомилианы (4.1) и следующая из нее формула (4.4) имеют разнообразные применения при исследовании и решении задач теории упругости. Формулу (4.1) используют для вывода граничных интегральных уравнений (ГИУ) задач теории упругости. С помощью (4.1) и [c.87]

Формула Сомилианы, как уже отмечалось, выражает смещение во внутренних точках тела через значения всех компонент смещений и напряжений на границе тела. В корректно поставленных краевых задачах теории упругости на границе тела задается лишь часть из этих величин, остальные могут быть определены только после решения задачи. Поэтому нельзя непосредственно использовать формулу Сомилианы для оценки смещений во внутренних точках тела через заданные на границе краевые условия. [c.87]

Предполагается, что указанные вспомогательные поля построены. Формула Сомилианы (1.7) записьгеается в иной форме (во второй член подынтегрального выражения вместо Р/у вводится сопряженное упругое поле) и в ней выделяются интегралы ио Si и 2, содержапдие неизвестные в исходной постановке краевой задачи величины и и tL. Эти интегралы могут [c.88]

Ясно, что реализуемость и эффективность таких оценок определяется возможностью построить вспомогательные поля смещений и напряжений с требуемыми свойствами. Это весьма сложная задача, в особенности для трехмерных упругих тел. Поэтому описанный способ построения локальных оценок решений дня трехмерных задач теории упругости не получил распространения. Хотя в некоторых случаях для элементов конструкций специального типа (рамы, пластинки и т.п.) его удается применить. Подробное изложение с обоснованием и анализом способа построения локальных оценок на основе формулы Сомилианы дано в [223]. Там же указаны и возможные модификации, восходящие к Синджу [215], однако и они не приводят к коренным упрощениям процедуры. [c.88]

К некоторым оценкам смещений и напряжений внутри тела через заданные на границе величины можно прийти из иных соображений, не прибегая к формуле Сомилианы. [c.88]

В п. 3.4.2 обсуждалась возможность построения оценок смещений внутри тела с помощью формулы Сомилианы (4.1) во внутренних задачах теории упругости. Для внешних задач формула (4.1) и следующая из нее [c.90]

Замечание. Рассмотренная выше связь асимптотики решения внешней задачи вдали от границы с некоторыми интегральными параметрами решения характерна для многих типов внешних задач механики сплошных сред [22—24, 187]. В ряде случаев для соответствующих интегральных параметров имеются изопериметрические оценки. Один из способов получения самих асимптотик состоит в использовании формул, аналогичных формуле Сомилианы. Доказательства изопериметрических оценок проводятся по-разному с учетом специфики задачи. [c.91]

Неравенства (1.24) позволяют получать локальные оценки решений, действуя аналогично тому, как на основе теоремы взаимности доказьшается формула Сомилианы [98]. Действительно, с — произвольное упругое состояние. Если в качестве с выбрать состояние, для которого упругие поля отличны от нуля лишь в окрестности некоторой точки упругого тела, то ((а, с)) будет интегрально характеризовать решение в выделенной окрестности рассматриваемой точки. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...