Периодическое решение изоэнергетически

Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 — замкнутая траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH О в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая траектория 7 лежит на энергетической поверхности S = Н = onst , и лишь один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7, рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической системы на 17, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать изоэнергетически невырожденной периодической траекторией. [c.224]

Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на г-мерном инвариантном торе Т = ж mod 2тг, замкнуты. Эти периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см. следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной ситуации нри малых значениях е возмущенная гамильтонова система имеет несколько невырожденных периодических реП1ений, которые нри е —> О переходят в периодические решения, расноложенные иа резонансном горе Т"о. [c.225]

Тогда при малых ф О существует изоэнергетически невырожденное периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы с периодом т оно аналитически зависит от г и при е = О совпадает с периодическим решением невозмущенной системы [c.226]

При п = 2 имеются два типа возмущенных изоэнергетически невырожденных периодических решений. В первом из них > 0 [c.229]

Теорема 6. Пусть а,(3 —вершины множества А, удовлетворяющие условиям теоремы 2 из 5, а ф О — точка из расположенная на одной из прямых ка + /3, у) = О (А = 0,1, 2,...), причем компоненты целочисленного вектора ка + 3 взаимно просты. Тогда по крайней мере два периодических решения на резонансном торе у = ф О невозмущенной задачи при возмущении переходят в изоэнергетически невырожденные периодические решения гамильтоновой системы с тем же периодом. [c.231]

Используя теорему 6, получаем, что если выпуклая оболочка Д не является ромбом, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (8.25) при е > О имеют бесконечно много различных изоэнергетически невырожденных решений с одним и тем же периодом (или энергией). К сожалению, область существования этих решений по е неограниченно уменьшается при к —> оо. Поэтому при каждом фиксированном е > О мы можем гарантировать существование большого, но конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических решений. Это обстоятельство не позволяет доказать неинтегрируемость системы (8.25) при малых фиксированных значениях е > 0. Однако можно доказать отсутствие аналитического по е семейства первых интегралов и нетривиальных групп симметрий. [c.232]

Условие 2) теоремы 1 существенно для наличия невырожденных инвариантных торов возмущенной системы. Дело в том, что при малом возмущении функции Г амильтона изоэнергетически невырожденные периодические решения не исчезают, а переходят в периодические решеиия того же периода. Для инвариантных торов размерности m 2 это уже не так. В работах В. К. Мельникова [128], Ю. Мозера [129], С. Граффа [198] показано, что гиперболические приводимые горы с сильно несоизмеримым набором частот (условие (Ю.4)) сохраняются при возмущении уравнений Гамильтона. Однако аналогичный результат для негиперболических инвариантных торов (например, устойчивых) в общем случае не удается получить даже на формальном уровне (исключение составляют случаи, когда т=1и п=п — 1). Обсуждение этих вопросов можно найти в работе Ю Мозера [129]. [c.240]

Так как s =Ф 1, то периодическое решение 1 = х, т] = г/ уравнений (38), получаемое согласно изложенному в 148, не связано линейной зависимостью с двумя почти периодическими (и периодическими, если Я — Я (т) рациональное) решениями, которые выражаются формулами (39). Наконец, применяя к семейству (3) правило, указанное в 149, найдем, во всяком случае при значениях т, не принадлежащих к совокупности изолированных значений, четвертое решение уравнений (38). Это четвертое решение содержит согласно изложенному в 149 вековой член. Поэтому, как легко заключить на основании формул, приведенных в 235—237а, три линейно независимых решения уравнений (38), соответствующие изоэнергетическим смещениям, суть решения (39) и тривиальное решение ( , т]) = onst (ж (i), y t)). [c.491]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...