Отображение последования

Условия типичности. Предположим, что семейство е содержит векторное поле, отвечающееситуациирис. 32. Натранс-версали I к циклу с мультипликатором +1 определено отображение последования /о векторного поля Vq. Пусть х — локальная координата.на I такая, что 1) циклу соответствует х=0 [c.102]

Глобальные бифуркации систем с глобальной секущей на торе. Исследование потоков на торе с глобальной секущей сводится к исследованию диффеоморфизмов окружности (являющихся отображениями последования). Здесь основной характеристикой, определяющей топологическую структуру, является число вращения Пуанкаре. Оно же характеризует глобальные - бифуркации, осуществляющиеся при изменении параметра. [c.104]

Рис. 46 a., Отображение соответствия для гиперболического седла, б. Образ я прообраз отображения последования, соответствующего гомоклинической

Для главных семейств существование циклов полей (или, что то же, неподвижных точек отображений последования) исследуется элементарно, поскольку отображения Де сохраняют у-координату лишь при у=0, следовательно, достаточно изучить одномерные отображения Де ,=о. Графики этих отображений и их неподвижные точки показаны на рис. 47. [c.132]

Поясним механизм возникновения счетного числа периодических. траекторий при п = 3. В этом случае отображение последования, соответствующее гомоклинической траектории при нулевом значении параметра, уже изучено в п. 5.4 его образ и. прообраз изображены на рис. 48 е. Ограничение отображения последования на криволинейный четырехугольник при достаточно большом k представляет собой подкову Смейла число таких подков счетно. Для любого натурального N при достаточно близком к нулевому значении параметра отображение по- [c.137]

Поведение траектории в окрестности L удобно-изучать, рассмотрев их слсды на (п — 1)-мерной секущей поверхности D, без касания пересекающей L, п близкие к L траектории. Отображение точки шц из D в первую точку пересечения с D траектории, проходящей через fH(, (рис. 3), наз. отображением Пуанкаре (или отображением последования). В координатах = i, - In-i таких, что L пересекает D в нуле, отображение Пуанкаре имеет вид. [c.626]

Для доказательства рассмотрим ш-мерную площадку П = = х,у X = Жо , трансверсально секущую 7, и отображение последования F П -+ П, которое определяется следующим образом. Траектория решения системы (8.2) с начальными данными ж(0) = = Жо, 2/(0) = 2/0 ( уо мало) снова пересекает площадку П через промежуток времени, близкий к р, в точке (жо,2/1). Положим у = [c.220]

Картина траекторий возмущенной задачи изображена на рис. 16. Более точно, на фиксированном трехмерном уровне интеграла энергии взята секущая двумерная поверхность. На рис. 16 изображены инвариантные кривые отображения последования. Изолированным точкам соответствуют невырожденные периодические траектории, а замкнутым кр"йвым, близким к концентрическим окружностям, — колмогоровские торы. [c.230]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

В качестве иллюстрации гомоклинических структур рассмотрим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий периодической траектории в трехмерном фазовом пространстве. При этом удобно использовать так называемое отображение последования Пуанкаре, которое в общем виде, в Л -мерном фазовом пространстве, заключается в регистрации последовательных точек Уо, VI, Уг,. .. пересечения траектории (в одном и том же направлении) с некоторой секущей (М—1)-мерной поверхностью 2 в фазовом пространстве, чем определяется отображение = П(Ул, Ке) поверхности в себя. Поскольку решение и(ыо, О уравнения (2.79) существует при всех /, это отображение обратимо. [c.126]

Функциональные уравнения Фейгенбаума обобщаются и на случай N—1)-мерных отображений последования Пуанкаре Хп+1=П(Хп, ц) для Л -мерных диссипативных фазовых потоков если при некотором jii у них происходит бифуркация удвоения периода, то затем с ростом i происходит бесконечная последовательность таких бифуркаций, удовлетворяющая законам подобия с универсальными постоянными б и а и с некоторой точкой сгущения 1оо, в которой возникает стохастическое движение (вна- [c.137]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

Основная идея состоит в сведении задачи об исследовании негладкого гамильтонова фазового потока к исследованию соответствующего симплектического отображения последования, которое, как правило, оказывается гладким (бесконечно дифференцируемым). Пусть М — гладкое многообразие. [c.151]

В самом деле, рассмотрим отображения последования Gj-.Dj—>- >/+1 где Dj—малая окрестность П Г Я = h точки пересечения периодической траектории с этой поверхностью (считая, что поверхности П,- пронумерованы в надлежащем поряде). При этом периодической траектории соответствует неподвижная точка гладкого точного симплектического диффеоморфизма Gm. ..-GiiOi— [c.154]

Может, конечно, случиться, что F нигде не будет определено, т. е. ни одна траектория не пересекается с V дважды.) Отображение F называется отображением последования (а также оператором монодромии и, особенно в иностранной литературе, отображением Пуанкаре). Оно часто используется как при [c.171]

В общем случае в пересечении замкнутой траектории L потока на Л1 с сечением У получается периодическая траектория отображения последования, период т которой никак не связан с периодом Ь. В предыдущем примере число тт является периодом L (но необязательно минимальным периодом соответствующего решения системы (16)). С другой стороны, в общем случае для любой точки замкнутой траектории Ь существует локальное сечение, пересекающее Ь только в этой точке, которая, стало быть, является неподвижной точкой отображения последования. Ясно, что исследование поведения траекторий потока в окрестности замкнутой траектории и исследование итераций отображения последования в окрестности его неподвижной точки или периодической траектории — это лочти один и тот же вопрос. [c.173]

На примере итераций отображения последования видно, что иногда целесообразно, отходя от I, говорить о каскаде 5" , в котором преобразования частичные. Это — аналог такого понятия потока, при котором допускается, что в (6) Вф [c.173]

Этот факт часто используется в КТДУ. Так, желая доказать существование периодического решения у периодической неавтономной системы (гл. 1, п. 2.3), рассматривают вращение поля смещения соответствующего отображения последования на достаточно больших сферах. [c.184]

Особыми траекториями на М назовем следующие траектории 1) положения равновесия 2) сепаратрисы 3) замкнутые траектории, для которых отображение последования отлично от тождественного преобразования 4) незамкнутые траектории L, устойчивые по Пуассону (гл. 3, п. 2.1) и обладающие тем свойством, что для любой точки a L существуют окрестность иъа и открытая дуга X zL, ХЭа, разбивающая U иа две полуокрестности, в одной из которых нет точек, лежащих на незамкнутых устойчивых по Пуассону траекториях. [c.230]

Нильсена класс 186 Нильсена число 185 Обратимость 168 Обращевлю времени 1вЗ Особая траектория 230 Отображение последования 171 [c.242]

Теоремы об инвариантных торах для гамильтоновых систем и симплектических отображений сначала доказывались независимо (хотя и почти одинаковыми методами). В случаях конечной гладкости и С эти теоремы могут быть выведены друг из лруга, так как отображение последования для гамильтоновой системы имеет вид (35), и обратно, всякое отображение вида (35) может быть получено как такое отображение последования [150]. Согласно [150], это верно и в аналитическом случае, но доказательство не опубликовано. [c.206]

Рассмотрим для наглядности гамильтонову систему с полутора (а не двумя) степенями свободы, гамильтониан которой H(p,q,t) имеет период 2л по времени t и кординате q. Предположим, что система имеет два инвариантных тора, задаваемых соотношениями р=ро и p=pi>po- Введем отображение последования для этой системы за время 2л [c.209]

Если V иррационально, а отображение А непрерывно, то исходное отображение последования имеет инвариантную кривую, гомеоморфную окружности, и на этой кривой топологически сопряжено повороту окружности на угол 2nv. Исходная гамильтонова система имеет двумерный инвариантный тор, обматываемый условно-периодическими движениями с отношением частот V. [c.210]

Иногда метрический изоморфизм в теореме 4.2 называют специальным представлением потока Р . Идея специальных представлений восходит к Пуанкаре, который сводил изучение поведения решений систем дифференциальных уравнений к изучению итераций отображения последования трансверсаль-ных площадок векторного поля. [c.33]

Обозначим через mes риманов объем в М. В том случае, когда mes (Л) > О (при этом mes может не быть инвариантной мерой), ЛУМ на множестве А, обладают важным свойством, называемым абсолютной непрерывностью. Пусть хбА. Фиксируем />0 и выберем малую окрестность U х) точки хбА (размер которой, вообще говоря, зависит от /). Рассмотрим ЛУМ V y), где yeAi lU (х). Выберем два гладких подмногообразия Wi и W2 в и (А ), трансверсальные этим ЛУМ. Положим Ai = z z = W у) для некоторого y . S.i U (j ) , =1, 2, и пусть p-.Ai A2 — такое отображение, что точка p z) лежит на том же ЛУМ V y), что и точка z р называется отображением последования). Обозначим меру на Wиндуциро- [c.141]

Рассмотрим замкнутую траекторию данного векторного поля в многомерном пространстве и трансверсальную площадку коразмерности 1 в какой-нибудь точке. Отображение последования переводит векторы поля, приложенные к площадке, в векторы поля, также приложенные к данной площадке. Поэтому существует по крайней мере один собственный вектор с собственным значением, равным 1, для данного отображения последования. Последний собственный вектор является вектором поля, приложенным к данной точке замкнутой траектории. Замкнутые траектории впредь будем называть циклами. [c.190]

ПЛОСКОСТИ (или ее части) на траектории сводится к изучению структуры соответствующего точечного отображения Т отрезка без контакта в себя с функцией последования [c.72]

Следовательно, график функцнй последования для Т, имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений и на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (О < < оо, О < 2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Ti-Ta, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т, е. к этому [c.103]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

Смотреть страницы где упоминается термин Отображение последования : [c.170] [c.130] [c.134] [c.148] [c.162] [c.428] [c.194] [c.152] [c.31] [c.151] [c.171] [c.172] [c.173] [c.183] [c.232] [c.247] [c.142] [c.69] [c.71] [c.72] [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...