Мода колебаний

Используя (2. 6. 43) —(2. 6. 46) при анализе уравнения (2. 6. 42), можно показать, что часть интегралов в правой части (2. 6. 42) при каждом выборе решений первого порядка (2. 6. 28) — (2. 6. 30) обращаются в ноль. Оставшиеся члены определяют совокупность мод колебаний, возникающих во втором порядке по амплитуде г. [c.59]

В плоскости 6 = 77/2 скорость жидкости имеет второй максимум. Однако величина скорости в этой плоскости на порядок меньше, чем в плоскостях 0=0, т . Существуют также узловые плоскости, в которых скорость жидкости всегда равна нулю. Число таких плоскостей совпадает с порядком моды колебаний. В рассматриваемом случае (при п = 2) таких плоскостей две 6 0.,3т и [c.62]

Перейдем к теоретическому анализу дробления пузырька. В разд. 2.6 были даны постановка и решение задачи в свободных колебаниях поверхности газового пузырька, находяш егося в жидкости. Очевидно, что такие колебания могут быть вызваны турбулентными пульсациями жидкости, частота которых совпадает с частотой собственных колебаний поверхности пузырька. Условие совпадения частот колебаний приводит к резонансу колебаний поверхности и к последующему дроблению пузырька газа. Рассмотрим линейные колебания поверхности пузырька. В соответствии с (2. 6. И) частота моды колебаний и-го порядка при малой их амплитуде определяется при помощи соотношения [c.130]

Рис. 41. Зависимость радиуса дробления пузырька газа от порядка моды колебаний.

В [49] экспериментально установлено, что пузырек с радиусом В, введенный в турбулентный поток жидкости, будет дробиться при более высоких модах колебаний жидкости на все более мелкие пузырьки газа при условии [c.133]

Критический размер дробящегося пузырька при резонансе колебаний моды и-го порядка оказывается меньше, чем при возбуждении низшей моды колебаний поверхности (л=2), Зависимость В В от п, рассчитанная при помощи (4. 2. 17), показана на рис. 41. Таким образом, когда критерий Вебера достигает своего максимального критического значения (4. 2. 7), размеры пузырьков, соответствующие этому значению Уе= Уе2 (т. е. при л=2), оказываются связанными с характеристическими частотами высших мод турбулентных пульсаций жидкости (т. е. при л > 2). Эта зависимость В (л) объясняется тем, что турбулентные пульсации жидкости, частоты которых совпадают с частотами собственных колебаний поверхности пузырьков при л > 2, вызывают дальнейшее дробление дисперсной фазы, что ведет к образованию более мелких пузырьков газа с размерами В Т 2. [c.133]

Если к этому добавить, что становящиеся неустойчивыми моды колебаний низкочастотные, а механизмы их ограничения вызваны диссипацией энергии на высокочастотных модах, то придем к принятой сейчас картине слабой турбулентности. В применении к модели, описываемой уравнениями (7.85), это означает, что состояние равновесия ATj = л 2 =. .. = = О усеченной системы [c.330]

Приступая к исследованию распространения малых колебаний в нематических средах, напомним предварительно, какие типы (моды) колебаний существуют в обычных жидкостях. Прежде всего, это обычные звуковые волны с законом дисперсии (связью между частотой (О и волновым вектором к) (о = ей и скоростью распространения [c.218]

Теперь найдем нормальные моды колебаний, т. е. такие типы. движения, при которых все атомы колеблются во времени с одной и той же частотой (о по закону ехр(— i). Будем искать решение уравнения (5.20) в виде бегущей волны [c.146]

Как видно из (5.28) и рпс. 5.6, групповая скорость, с которой переносится энергия колебаний атомов в цепочке, для самых коротких длин волн, т. е. для k = nja, обращается в нуль. Это говорит о том, что эти моды колебаний характеризуют в цепочке стоячие волны вида [c.148]

Из (5.52) и (5.53) легко видеть, что число допустимых неэквивалентных значений k в интервале (5.53) ограничено пределами —iV/2 m + V/2 и равно N — числу элементарных ячеек В цепочке. Так как каждому значению k соответствует две моды колебаний, то полное число нормальных мод в интервале (5.53) равно числу степеней свободы в системе, т. е. 2N. Интервал [c.154]

Выясним физический смысл различия между акустическими и оптическими модами колебаний атомов в цепочке. Для этого сравним между собой отношение амплитуд колебаний u ju2 и фазы ко- [c.156]

Рис. 5.11. Длинноволновые оптические моды колебаний движения атомов с массой М и сдвинуты по фазе на 180°

Таким образом, во всем интервале волновых чисел от О до я/(2а) в цепочке, состоящей из атомов двух сортов, происходит разделение колебаний на акустическую и оптическую ветви, при этом для акустических мод атомы обоих типов движутся в волне сжатия вместе (в фазе). Для оптических мод колебаний соседние атомы движутся в противофазе. [c.157]

Таким образом, для каждого значении волнового вектора к имеют место три моды колебаний, которые определяют три ветви (рис. 5.14) дисперсионных соотношений [c.159]

Из сказанного следует, что каждую моду колебаний с классической частотой D (к, s) можно возбудить с помощью целого числа квантов Й(о (к, s) энергии. При этом величина л (к, s) в формуле (5.70) имеет простой смысл — это число фононов данного сорта с импульсом р и энергией Й(о(к, s). Во многих задачах, связанных с тепловыми свойствами твердых тел, необходимо знать среднее число фононов <п(к, s)> с энергией Йш(к, s), существующих в данной моде колебаний при температуре Т. Для нахождения <л(к, s)> воспользуемся выражением для средней энергии квантового осциллятора, полученного Планком [c.162]

Если считать, что число осцилляторов, колеблющихся с энергией пШ, пропорционально то среднюю энергию одного осциллятора или моды колебаний (по определению среднего) можно описать выражением [c.166]

Этим выражением для средней энергии квантового осциллятора, без вывода, мы уже пользовались в гл. 5 для подсчета среднего числа фононов < (к, s)> с энергией Й.(о(к, s), соответствующих в данной моде колебаний температуре Т. [c.167]

МЫ свели к совокупности слабо связанных волн с волновым вектором к и частотой аз (к, s), распространяющихся во всем объеме кристалла. Каждой такой волне (или нормальной, моде колебаний) мы сопоставили гармонический осциллятор, колеблющийся с частотой со (к, s), в движении которого принимают участие все атомы твердого тела. В соответствии с формулой Планка средняя энергия каждого такого осциллятора. [c.169]

Так как каждый осциллятор в случае гармонического приближения колеблется независимо от других, то полная энергия колебаний кристалла (тепловая энергия), в общем случае при температуре Т, равна сумме энергий ЪгЫ не взаимодействующих между собой гармонических осцилляторов [отдельных мод колебаний, формула (5.71)] [c.169]

Ангармонический характер колебаний обычно учитывают в разложении потенциальной энергии [см. (6.72)] ангармоническим членом gx . Вводя в разложение потенциальной энергии ангармонические члены, мы тем самым учитываем наличие в реальной ситуации взаимодействия между модами колебаний, которое проще всего описать как рассеяние фононов друг на друге. Вероятность рассеяния фононов моды (кь Ш]), характеризуемых волновым вектором ki и частотой oi при учете в потенциальной энергии ангармонического члена gx , зависит от процессов, которые включают взаимодействия трех мод. Например, энергия мод (к,, aii) и (кг, (02) может перейти за счет взаимодействия в моду (кз, шз). Этот процесс может протекать и в обратном направлении — энергия моды (кз, шз) может перейти в энергию мод (к,, toi) и (кг, шг) или энергия моды (ki, oi)—в энергию мод (кз, (02) и (кз, з). Таким образом, рассеяние фононов на фононах сопровождается рон<дени-ем и исчезновением фононов — либо два фонона превращаются в один, либо один фонон распадается на два (рис. 6.14). [c.188]

Напряжение механическое 115 Нееля температура 341, 343 Непрямые переходы 309 Нормальные моды колебаний 146, [c.383]

Обменная энергия 79, 336 Обратная решетка 24, 40, 49 Одноэлектронное приближение 212 Оптическая накачка 317 Оптические моды колебаний 155 [c.383]

Мода колебания —характерная картина системы при колебаниях, когда движение каждой частицы — простое гармоническое колебание с одной и той же частотой. [c.157]

Собственная частота системы — частота колебаний системы. В случае системы со многими степенями свободы собственные частоты — это частоты нормальных мод колебаний. [c.157]

Дополнительные разрешенные частоты при определенных условиях могут возникать и в интервале между оптическими и акустическими ветвями колебаний. Интересно отметить, что поскольку теория колебаний атомов и теория электронных состояний в кристаллах имеют общую математическую основу, то по аналогии с локальными модами колебаний появление дефектов может приводить и к разрешенным энергетическим (локальным) состояниям электронов в области энергетической щели. Подобные состояния, действительно, обнаружены и имеют большое значение, например, в физике полупроводников. [c.220]

Концентрация мод колебаний. В рамках классических представлений стенки полости моделировались как совокупность классических осцилляторов, которые могут обмениваться энергией с излучением в полости. Излучение в полости в условиях равновесия представляется в виде совокупности стоячих волн или мод колебаний. Полость удобно выбрать в виде куба с ребром L(pn . 43). Стоячая волна образуется лишь в том [c.69]

Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод [c.70]

Вопрос о нахождении распределения энергии равновесного излучения по спектру сведен к определению средней энергии моды колебаний. В [c.70]

Формула Вина. В. Вин (1864-1928) предположил (1896), что каждая мода колебаний является носителем энергии Е ( )), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число AN/N возбужденных мод определяется распределением Больцмана. [c.71]

Каждая внутренняя степень свободы связана с определенной модой колебаний. Часть мод описывает растяжение и сжатие связей между атомами вдоль соединяющих атомы линий, остальные моды описывают другие деформации молекулы. Двухатомная молекула (N = 2) имеет одну внутреннюю степень свободы (2 3 — 5 = 1) и [c.321]

Различные моды колебаний осуществляются независимо и одновременно и в своей совокупности представляют любое сложное внутреннее движение молекулы. Если возникающие при взаимном смещении атомов в молекуле силы и моменты сил подчиняются закону Гука, то колебания являются гармоническими. [c.322]

У многоатомных молекул спектры значительно усложняются. В частности, у линейных многоатомных молекул, энергетические спектры которых выражаются формулами (63.30), правила отбора для п и / при различных типах переходов различны и зависят от того, параллелен или перпендикулярен оси молекулы ее осциллирующий электрический дипольный момент. Если дипольный момент параллелен оси молекулы, то правила отбора для мод колебаний атомов вдоль оси имеют вид Аи = +1 (или Аи = = +1, +2, 3,. .. при учете ангармоничности) и А/ = +1, как и в (63.31) и (63.32). Такие колебания молекулы СО2 показаны на рис. 96. При симметричных колебаниях дипольный момент молекулы СО 2 остается равным нулю, а при асимметричных колебаниях имеется изменяющийся во времени дипольный момент, параллельный оси симметрии молекулы, который и обеспечивает спектр излучения, аналогичный спектру излучения двухатомной молекулы. При изгибных колебаниях (рис. 96) электрический дипольный момент направлен перпендикулярно оси молекулы. Правила отбора при этом имеют вид Аи = 1, А/ = О, + 1. Правило отбора А/ = О обеспечивает появление в спектре линии с частотой Юц, принадлежащей 2-ветви. [c.323]

Из уравнения (11.4.9) следует, что величина определяет коэффициент усиления активной среды на л-й моде колебаний для малого сигнала. Поэтому условие самовозбуждения л-й моды колебаний можно записать в виде ао > йз/2 . Это означает, что усиление превышает потери в резонаторе на соответствующей частоте. Физический смысл остальных коэффициентов уравнений (11.4.9) и (11.4.10) будет выяснен ниже. [c.362]

Если усиление активной среды превышает потери для двух собственных частот оптического резонатора, то возможна одновременная генерация двух независимых мод колебаний. [c.363]

В диапазоне возникновения мод колебания газа в объеме глушителя, т. е. при / > /.л существенно уменьшается величина снижения уровня шума из-за лучевого эффекта , под которым подразумевается звуковой луч, идущий по оси симметрии канала. Для устранения этого нежелательного явления изменяют продольную форму канала с тем, чтобы звуковые волны испытывали многократные отражения и при этом теряли значительную часть звуковой энергии. Примером такого решения являются глушители с поворотами. [c.159]

Недостатком описанных конструкций (см. рис. 3.23, а, г), помимо сложной технологии изготовления, является высокий уровень паразитных мод колебаний, создающих в объекте нежелательные волны или искажающих диаграмму направленности. Эту проблему можно частично решить путем расположения электродов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 3.23, е). При соответствующей ориентации пьезоэлемента относительно кристаллографических осей можно возбуждать как продольные, так и поперечные волны. [c.162]

Перейдем к анализу профиля скорости течения жидкости, вызванного колебаниями пузырька. Рассмотрим возмущение жидкости, соответствующее линейным колебаниям. Из соотношения (2. 6. 29) следует, что колебания жидкости быстро затухают по мере отдаления от поверхности пузырька пропорционально 1/г"" . При этом скорость затухания колебаний тем выше, че.м больше порядок. моды колебаний пузырька п. Следовательно, наиболее заметными колебаниями жидкости будут колебании, вызванные линейной модой колебаний п=2. Угловая зависимость потенциала скорости в различные моменты времени и зависи.мость потенциала от времени в раз.лпчных плоскостях сечения при о < 6 при фиксированном г показаны па рис. 16 и 17 соответственно. Анализ этих зависимостей позволяет сделать следующие заключения. При любых значениях t, за пск.лючением точек г = 0, 7т/2, л, скорость течения ж]1Дкостп достигает своего макси.мального значения на оси сплшетрип пузырька. (6=0, ). [c.62]

Минимальное значение критерия Вебера, при котором происходит дробление пузырька, соответствует низшей моде колебаний его поверхности я =2. Минимальный размер турбулентных пульсаций, вызываюсцих эти колебания, можно считать равным размеру пузырька газа 1=2Н. Тогда [c.131]

Отрицательные значения со не имеют физического смысла, поэтому нас будут интересовать только положительные значения. Тогда из (5,51) следует, что каждому волновому числу k соответствуют два значения м, а следовательно, и две моды колебаний типа (5.47). Воспользовавшись граничными условиями Борна— Кармана (условиями цикличности) И2п+гл = 2п или 2 +1+2лг = М2п+ь найдем допустимые значения волновых чисел к. Условие цикличности И2п+2л- =- 1 ехр i [ (2и -f- 2N)ka — со ] = = 1 exp i (2tt a—at)exp i 2Nka) выполняется, если exp (i2iV/%a) = 1, что возможно в случае 2Nka=2nm при целом т. Отсюда [c.153]

Итак, частоты колебаний при наличии дефекта могут оказаться в ннтерва ле запрещенных частот. Это приводит к дополнительным частотам в фононном спектре, дополнительным энергиям мод колебаний. [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...