Метод Мерсона

Метод Мерсона требует пяти вычислений правой части уравнения (против четырех при использовании формулы (3.18)), но эти затраты окупаются тем, что можно без повторных расчетов сказать, достигнута ли нужная степень точности и, если нет, то при каком шаге она будет достигнута. Кроме того, следует отметить, что требуемый объем памяти вычислительной машины не превышает тот, который необходим для вычисления формул (3.18). Таким образом, по-видимому, метод Мерсона является наиболее эффективным вариантом метода Рунге—Кутта. [c.103]

Интегрирование системы дифференциальных уравнений рекомендуется проводить методом Рунге — Кутта четвертого порядка или методом Кутта — Мерсона. Для реализации указанного метода необходимо четырехкратное вычисление вектора f) правых частей системы дифференциальных уравнений на каждом временном шаге. Результат интегрирования — вектор (Z) переменных, определяемых системой дифференциальных уравнений. [c.149]

Стандартная программа интегрирования методом Кутта—Мерсона (программа в тексте опущена). Из стандартной программы удалена команда вывода и она заканчивается процедурой восстановления шага. [c.50]

Мерсона, с которыми можно ознакомиться в работе [8]. При использовании этих методов на основе стандартных программ нет необходимости вникать в детали. Заметим, что большею частью в стандартных программах предусматривается автоматический выбор шага интегрирования h для обеспечения заданной точности. [c.457]

В результате решения системы (8.2) на ЭВМ методом Рунге—Кутта с видоизменением Мерсона были определены траектории капель. Капли считаются осажденными, если их траектории касаются поверхности канала. Анализ траекторий капель позволил оценить эффективность осаждения частиц влаги на стенках канала. [c.311]

При интегрировании систем уравнений вида (3,19) применяют раз личные численные процедуры. Кроме метода Эйлера широко используются методы повышенной точности, такие, как метод Руте— Кутта, Кутта—Мерсона и др. Отметим, что большинство вычислительных машин снабжены стандартными программами, реализующими эти методы. [c.74]

Метод Кутта—Мерсона обладает значительной точностью и, несмотря на трудоемкость вычисления вектора правых частей по формулам (6.30), (6.31), будет широко использован в алгоритмах определения напряженно-деформированного состояния многослойных анюотропных оболочек. Методические исследования обсуждаемого метода, а также результаты тестовых расчетов можно найти в монографии [ 1.16]. [c.121]

Оценим значение шага, необходимое для получения приемлемых результатов в процессе интегрирования задач Коши. Исходим из того, что при интегрировании уравнения у = = ту, уф) — 1 (точное решение у — е ) методом Кутта — Мерсона четвертого порядка погрешность решения на одном шаге [159] г = тАх)Ч720, где Дл — шаг интегрирования. Поскольку решение (III.31) изменяется какехр (P[c.60]

Задачу Коши (4.159)—(4.160) решаем с помош,ью метода Кутта — Мерсона, согласно которому на t-м шаге интегрирования по I и /-М шаге интегрирования по т] имеем (рис. 4.28) [c.105]

Наибольшее распространение при решении задач Коши (9.54), (9.55) получили различные варианты метода Рунге—Кутта. Здесь для интегрирования систем вида (9.54) с начальными условиями вида (9.55) используем модификацию Мерсона метода Рунге — Кутта. Решение в точке х h выразим через решение в точке X по формуле [c.155]

Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона, имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный многочлен пятой степени п = 5). [c.172]

При применении для интегрирования метода Кутта—Мерсона [c.234]

МЕТОДОМ КУТТА-МЕРСОНА / [c.487]

МЕТОДОМ КУТТА-МЕРСОНА / 1 / [c.487]

KUTT1Z интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Кутта— Мерсона (комплексные переменные) — Текст 487 [c.515]

KUTTN интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Кутта—Мерсона — Текст 487—488 [c.515]

Таким образом, для определения спектра декрементов (и, стало быгь, всех характеристик линейной устойчивости) нужно построить три линейно независимых решения, удовлетворяющих условиям (3.7), и вычислить с достаточной точностью элементы определителя О. Интегрирование уравнений (3.5) проводится численно удобно пользоваться, например, методом Рунге - Кутта — Мерсона (см. [23]), который позволяет проводить расчеты с автоматическим выбором шага при контролируемой точности. [c.23]

Сформулированная спектральная задача интегрировалась численно методом Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Ниже приводятся некоторые результаты. [c.146]

Для численного решения задачи применялся метод Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Число Прандтля было выбрано равным Рг = 11,2, что соответствует воде при температуре 5 °С. [c.150]

Для решения задачи на собственные значения в работах [58, 59] применялся метод Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Как и в случае ньютоновской жидкости, в зависимости от значения числа Прандтля обнаруживаются две моды неустойчивости — стационарная и волновая. Границы устойчивости относительно стационарной моды слабо зависят от Рг. На рис. 97 представлены минимальные критические числа Грасгофа Gr (o). В случае п < 1 устойчивость основного течения понижается по сравнению с ньютоновской жидкостью, что объясняется увеличением интенсивности основного течения за счет псевдопластичности (см. рис. 96). При дилатантиом поведении п > 1), напротив, скорость течения уменьшается и имеет место стабилизация. Критическое волновое число кт слабо зависит от реологических параметров. [c.155]

Профили скорости и температуры изображены на рис. 118. В предельном случае N - О имеем четные профили, соответствующие однородному тепловыделению с плотностью Qo. При О профили теряют свойство четности, однако при сравнительно небольших N течение по-прежнему состоит из трех встречных потоков. При увеличении N исчезает левое нисходящее колено профиля и он состоит из двух встречных потоков. При N - оо в пределе получается нечетный кубический профиль скорости профиль температуры при этом в основной части сечения канала (за исключением тонкого пограничного слоя вблизи левой стенки, где сосредоточено тепловьщеление) становится линейным. В этом предельном случае амплитудные значения скорости и температуры стремятся к нулю. Таким образом, при увеличении N от нуля до бесконечности происходит непрерьшная деформация профилей основного течения от четных, соответствующих однородному тепловыделению, до нечетных, соответствующих слою с границами разной температуры. Аналогичные переходы при N - О и оо, естественно, обнаруживаются и в результатах решения задачи устойчивости [14, 15] (в этих работах амплитудная задача решалась методом Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией). [c.181]

Задача решалась численно методом Рунге — Кутта — Мерсона с пошаговой ортогонализацией. Предельный спучай г = О (отсутствует продольный градиент температуры) соответствует, как уже говорилось, равновесной ситуации в плоском слое с поперечной разностью температур и продольной осью вибрации. Устойчивость такого механического квазиравновесия уже обсуждалась в 16. Это равновесие теряет устойчивость при критическом значении вибрационного числа Рэлея Яа = Сг Рг при этом возникает вибрационная конвекция в виде периодической системы конвективных валов. На основном уровне неустойчивости критические параметры таковы СГиш = 11,54/Рг — минимизированное по к критическое число Грасгофа [c.215]

Все расчеты проводились методом Рунге — Кутта — Мерсона с автоматическим выбором шага при относительной погрешности 10-4 Для определения числа родственных решений или, что то же самое, числа нулей функции х) для данных Р, Q расчет проводился до тех пор, пока значение функций И (ж) не превышало 10 , что рассматривалось как свидетельство их обраш,ения в бесконечность. [c.239]

Решение находилось методом Рунге — Кутта — Мерсона с относительной погрешностью на шаге 10 . Интегрирование проводилось до некоторой точки сшивки лежащей в области наибольших по абсолютной величине производных. Решение ui. (х), аналитическое в окрестности точки x = —i, при ж = 1, вообще говоря, становится неограниченным. Однако если существует такой набор параметров Ие и Рг, при котором u L x) является аналитическим и при ж = 1, то с точностью до постоянных множителей функции n t. (х) и и+ (х) совпадут всюду на интервале [—1, 1]. Чтобы это произошло для линейного однородного уравнения второго порядка (6), достаточно совпадения функций и первых производных в произвольной точке Жс (— 1,1). Эти условия в терминах функций u L x) и и х) имеют вид линейной системы уравнений [c.262]

Результаты указанных выше подготовительных расчетов, а также начальные условия поступают в блок 2 интегрирования. Здесь система нелинейных дифференциальных уравнений (3) решается методом Рун-ге — Кутта в видоизменении Мерсона по стандартной программе [7]. Блок интегрирования связан с блоком 1 расчета правых частей дифференциальных уравнений. В последнем рассчитываются жесткость ку направляющих, коэффициент Ру, демпфирования в их, согласно (10), [c.51]

При машинном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений наряду с рассмотренным выше методом Эйлера с итерациями применяются методы Рунге—-Кутта или Кутта—Мерсона, с которыми можно ознакомиться по книге [2]. Впрочем, при использовании этих методов на основе стандартных программ нет необходимости вникать в их детали. Заметим только, что большей частью в стандартных программах предусматривается и автоматический выбор шага интегрирования /г для обеспечения заданной точности. [c.14]

В пятой главе рассмотрены переходные процессы деформации в стержнях и оболочках, ограниченных по торцам жесткими телами вращения, при вертикальном погружении всей конструк-дии в полупространство, занятое идеальной несжимаемой жидкостью. Для стержня решение получено операционным методом, 3 для оболочек — численным методом (метод прямых в совокупности с методом Кутта—Мерсона). [c.4]

В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач для интегрирования системы уравнений (19.9) используется метод прямых в совокупности с методом Кутта —Мерсона (с автоматическим выбором шага по времени t). Для перехода от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям используется разностная схема второго порядка точности. В случае свободного края контурные значения Uq и Wq определяются методом последовательных приближений (в остальных случаях граничные условия выполняются точно). [c.133]

Система уравнений (22.1—22.3), а также (22.6) и (22.7) интегрировалась численно на ЭВМ с помощью метода прямых и метода Кутта—Мерсона. [c.145]

Далее по формулам (2.143), (2.144), (2.146), (2.147) и (2.150) определяем значения коэффициентов 0,3. Интегрируя по толщине от —Ао/2 до Ао/2, например, методом Кутта — Мерсона, находим жесткостные пластические добавки А., 0. у [c.62]

Наибольшее распространение в практике нашли различные варианты метода Рунге — Кутта четвертого порядка. В приведенных ниже алгоритмах используется модификация метода Рунге — Кутта, предложенная Мерсоном [44]. Решение в каждой последующей точке вычисляем по формуле [c.83]

Данный метод (как и любой одношаговый) позволяет производить интегрирование как с постоянным, так и с переменным шагом. В последнем случае шаг определяется автоматически по заданной точности. Методическая погрешность метода Кутта — Мерсона задается формулой [c.83]

Исходя из приведенных соображений, в алгоритмах решения физически и геометрически нелинейных задач, а также задач о собственных значениях используется интегрирование с постоянным шагом. Численное интегрирование по методу Кутта — Мерсона производится с помощью стандартной процедуры km. Приведем текст данной процедуры. [c.84]

Для задания граничных условий в точках А н F (см. рис. 5.6) необходимо ввести массив чисел Г[1 8], содержащий величины Yi (i=l,. .., 8), соответствующие формулам (7.3) и (7.4). Необходимо также задать параметр plo , означающий число шагов интегрирования методом Кутта — Мерсона в интервале между двумя соседними точками ортогонализации. [c.171]

Мы видели, что многошаговые методы проще и работают быстрее. С другой стороны, неудачно выбранные многошаговые методы имеют склонность к неустойчивости в том смысле, что любая ошибка с течением времени не затухает и влияет на будущее поведение системы [181. Чтобы исправить эту неустойчивость, была проделана большая работа, и считается, что если можно зафиксировать шаг (или если число изменений шага поддерживать минимальным), то многошаговый алгоритм высокого порядка будет и точным, и быстрым. Мерсон [20] в результате исследования широкого класса методов специальных возмущений пришел к выводу, что для уравнений второго порядка, по-видимому, оптимальной комбинацией является метод восьмого порядка Гаусса—Джексона, примененный к уравнениям Коуэлла (в случае необходимости с аналитической стабилизацией шага). Херрик [15] также считал метод Гаусса—Джексона (по-другому называемый гауссовой формулой или процедурой вторых сумм ) наиболее подходящим. Для того чтобы стала понятной используемая терминология, ниже мы проиллюстрируем некоторые основные идеи теории конечных разностей, которые используются при численном интегрировании. [c.252]

Для решения поставленной задачи был применен метод Кутта-Мерсона с автоматическим выбором шага интегрирования при решении задачи Коши, а при решении краевой задачи был использован метод пристрелки. Определив при заданных к и ( величину о, находим коэффициент захвата пластин [c.301]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...