Метод итераций

Для рассматриваемой здесь задачи потребуется применение метода итерации, так как величины ср, е , А и Е являются также функциями искомой величины 0. В этом случае может быть предложен следующий порядок вычисления [c.128]

Такой подход приводит к необходимости использования для определения весов метода итерации, В нулевом приближении веса веек показателей принимаются одинаковыми и равными =1. Далее, если определены веса л-го порядка, то переход к весам г- -1-го порядка будем осуществлять по формуле [c.32]

Как уже отмечалось, решение этих уравнений должно быть получено методом итерации, начиная с некоторого выбранного распределения для Еа(х), еа г) и Ео(2). Очевидно, что простейшим начальным распределением является Ea(-v) = = 8о(е) =Ea(z), где всб величины несколько больше Ед,. Ско- [c.332]

Чтобы решать (2.4.22) методом итераций (Ньютона), обозначим последовательность итераций через При этом [c.35]

Развитие природных процессов в настоящее время рассматривают как подчиняющееся закону геометрической прогрессии. Использование этого закона, представленного в виде (3.1), позволяет описывать эволюционные процессы по методу итерации, в соответствии с которыми конечное значение z +i в цикле развития является начальным значением (z ) для следующего цикла. Покажем прежде всего универсальность соотношения (3.1) на примерах различных эволюционных процессов, рассмотренных в предыдущих разделах. [c.173]

Для точек 1-5, отвечающих точкам равновесного фазового перехода ТС->ДС- ТС, были рассчитаны пороговые содержания хрома в карбиде с использованием метода итераций на основе соотношений [ 18] [c.209]

Метод итераций, позволяющий уточнить матрицу К(е), будет изложен позже. Частное решение можно представить в виде [использовав (2.41)] [c.70]

Определение фундаментальной матрицы решений К(е) методом итераций (методом Пикара). Общее решение системы линейных неоднородных уравнений имеет вид (2.6) Y(e) =К(е) +Yi(е), где матрица К.(е) удовлетворяет однородному уравнению [c.72]

Рассмотрим вариант численного определения вектора Y с использованием метода итераций. Из уравнения (3.95) получаем [c.119]

Матрицу К(б) можно уточнить, воспользовавшись методом итераций [c.120]

Метод итераций (Пикара) 72, 73 [c.317]

Полученную матрицу К(е) можно уточнить, воспользовавшись методом итераций (см. 2.1 ч. 1). Матрица К(е) удовлетворяет уравнению [c.77]

Кроме того, в интегральном члене правой части (4.73) можно выделить и опустить член, подобный левой части этого уравнения, поскольку его вклад в решение, например методом итерации, равен нулю [c.59]

Поскольку неизвестная функция q входит под знак интеграла, то (7-142) является интегральным уравнением и по существующей классификации относится к типу неоднородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Его можно решать методом итераций или методом Фредгольма, который состоит в приближенной замене интеграла конечной суммой. При использовании метода итераций весьма быстро растут трудности вычисления последующих итераций, даже если нулевое приближение выбрано достаточно удачно. Остановимся кратко на общей схеме метода Фредгольма. [c.316]

Большинство идей, которые используются для анализа и решения уравнений и системы уравнений, связано с методом итераций. Для изложения существа метода и доказательства необходимых теорем используем понятие метрического пространства, и только затем применим все изложенное к тем частным случаям, которые возникают при решении различных видов систем уравнений. [c.67]

Введенных понятий достаточно для формулировки метода итераций и для доказательства основных теорем, к нему относящихся. [c.69]

В заключение подчеркнем, что требование сжимаемости оператора Т является только достаточным условием для сходимости метода итераций и существования неподвижной точки оператора Т и не является необходимым. [c.73]

Для решения уравнения (2.16) методом итераций его нужно тождественными преобразованиями привести к виду [c.74]

Рис, 2,1, Метод итераций (/ >0) Рис, 2,2. Метод итераций (/ < 0) [c.75]

При Xi равном значению корня эта дробь равна нулю, и в силу непрерывности существует такая окрестность корня, в которой I/ I < 1 и, следовательно, метод итерации будет сходиться. Таким образом, излагаемый метод обязательно приведет к успеху., если нулевое приближение взять достаточно близко к корню. Метод Ньютона, как правило, порождает монотонную последовательность приближений. Действительно, если F" в районе корня знака не меняет, то / по разные стороны от корня имеет разные знаки. Если Хд взять в той части отрезка, где / > О, то и все последующие приближения будут находиться в той же части отрезка. Если же Хо взять там, где / < О, то Xi окажется с другой стороны от корня, т. е. там, где / > О и все последующие члены последовательности будут расположены в той же части отрезка. Итак, все члены последовательности в этом случае будут принадлежать области, где FF" > 0. Этот метод имеет название метод касательных , так как в нем за (k + 1)-е приближение принимается точка пересечения оси х с касательной к графику функции F (х), построенной в точке с абсциссой Xk (рис. 2.4). [c.77]

Рассмотрим теперь метод итераций для решения систем линейных уравнений. Общая теория этого метода была изложена в 2.2. Метрическое пространство, в котором решается задача, образовано п-мерными векторами х = х , х ,. .., Хп) с метрикой [c.90]

Для того, чтобы решить систему (2.43) методом итерации, ее необходимо привести к виду [c.91]

Итак, оператор Т действует на всем метрическом пространстве п ограничен. Если L < 1, то метод итераций решения системы (2.45) будет сходиться при любом начальном приближении. При этом будут справедливы оценки ошибок и другие результаты, полученные в 2.2. Остается выяснить, всегда ли можно привести систему [c.91]

Так как полученное неравенство справедливо для любого /, то La < LqL. Отсюда вытекает, что если взять матрицу С со столь малыми элементами, что L < 1/1а, то L станет меньше единицы, и метод итерации будет сходиться. Следует только отметить, что описанный выше способ приведения системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций, не может быть рекомендован для фактического выполнения этой процедуры, так как отыскание обратной матрицы есть задача более трудоемкая, чем решение системы линейных уравнений. Общих эффективных методов сведения системы уравнений к виду (2.45) с L < 1 не существует, и в этом недостаток метода итераций. [c.92]

Рассмотрим теперь несколько более подробно алгоритм вычислений по методу итераций. Процесс вычисления вектора х в (/г + 1)-м приближении по известному к-му приближению состоит в последовательном вычислении компонент этого вектора. При этом вектор х в k-м приближении должен быть сохранен в памяти вычислительной машины до конца вычисления нового вектора х. Затем необходимо организовать пересылки вновь вычисленных компонент вектора х в те ячейки памяти, где хранилось предыдущее приближение. После этого весь процесс можно повторить. Намного проще реализуются вычисления по методу Зейделя, одному из модификаций метода простой итерации. В ней матрица А заменяется суммой двух матриц + 2. где [c.92]

Рассмотрим пример применения метода итераций. Пусть имеется п тел, обменивающихся лучистой энергией. Предположим, что эти тела абсолютно серые, т. е. их степень черноты 8 не зависит от длины волны излучения. Пусть далее k-e тело имеет площадь поверхности степень черноты и темпера-ТУРУ 7"(постоянную для всех точек его поверхности). Введем коэффициенты облученности как долю энергии, излученной (-м телом и достигшей /-го тела. Эти коэффициенты зависят от формы и взаимного расположения тел. Будем считать, что все они известны. Очевидно, что [c.93]

Разумеется, если взять неподвижную точку метода хорд ближе к решению задачи, можно получить метод итераций, сходящийся быстрее, чем (3.58). Итерационный процесс (3.58) следует вести, пока не будет выполнено условие — — I < е, т. е. не будет с нужной степенью точности найдено значение /" (0), Оно и определяет величину напряжения трения на стенке [c.117]

Решение указанной системы практически может быть получено методом итераций. Простейший метод итераций может быть представлен следующим рекуррентным соотношением [c.249]

Метод итераций и другие методы рассмотрения процессов установления колебании в колебательных и автоколебательных системах в литературе иногда объединяются под общим названием метода точечных преобразований. [c.230]

Таким образом, рассмотрение процессов в автоколебательных системах с запаздыванием с использованием аппарата метода итераций позволяет объяснить только периодичность и условия возбуждения колебаний в системах с запаздыванием. Уже из качественного анализа поведения реальных систем можно сделать [c.232]

Систему решают методом итераций (см. 2.2), при этом в первом приближении вместо полусумм берут значения коэффициентов в соответствующих опорных точках 1 или 2). В силу хорошего начального приближения удовлетворительная точность обычно достигается за две-три итерации при разумном, с точки зрения погрешности аппроксимации, выборе шагов характеристической сетки при решении каждой конкретной задачи. [c.114]

Однако полученные выше уравнения нелинейны, и поэтому их решение можно получить методом итерации (последовательных приближений) Гаусса—Зейделя, смысл которого состоит в следующем. В начале процесса итерации задаются значениями g во всех узлах сетки. Затем, обозначая индексом i значения в узле после t-й итерации, мы повторяем операцию для каждой точки по формуле [c.191]

При определении границы каверны используют (V.2.3), в котором вихревая интенсивность на границе каверны считается заданной. Для решения применяют метод итерации (последовательных приближений). Задаваясь в нулевом приближении какой-либо зависимостью угла т от координаты S , можно путем обычного интегрирования найти форму каверны — нулевого приближения. Зная форму каверны, легко рассчитать значение функции Fa (Sj, S) для любой точки контура. Вычисляя интеграл в левой части равенства, получим значение т для следуюш,его приближения. [c.198]

Такое же уравнение можно записать для каждого внутреннего узла, и для решения этих уравнений можно использовать методы итерации или релаксации. [c.530]

Коэффициент продольного изгиб <р зависит от материала и гибкости стержня 1 и меняется в пределах от О до 1. Значения <р приведены в табл, ЮЛ. Гибкость стержня Л, в свою очередь, зависит от размеров и формы поперечного сечения. С другой стороны, площадь поперечного сечения А также зависит от размеров сечения. Поэтому задачу подбора сечения при использовании формулы (10.5) обычно проводят путем последовательных приближений (методом итераций). [c.92]

В данном примере, как это видно из (13.61), по отношению к искомой температуре Ti излучение и теплопроводность взаимодействуют друг с другом. Уравнение (13.61) нелинейно относительно Тi, может быть решено методом итераций. [c.291]

Решение трех совместных интегральных уравнений становится теперь математической задачей. Необходимо применить метод итерации, использовав в качестве первого приближения некоторое выбранное распределение для еа(х), еа(г) и еа(г). Последуюище приближения сходятся при условии, что приняты меры предосторожности, чтобы избежать трудностей, вызванных сингулярностями, которые возникают в интегралах при х=Хо и на стыках цилиндрических стенок с дном. Ряд авторов, особенно Спэрроу и сотр. [79] и Пиви [64], обсуждали различные методы преодоления этих трудностей. Позднее Бедфорд и Ма [9] разработали значительно лучший метод. Воспользовавшись плавным характером изменения величин Ео(л ), Еа(г) и ба(2), они преобразовали интегралы из уравнений (7.38) — (7.40) в суммы по большому числу (п 100) зон [c.331]

Более того, определить целесообразное расположение маслопроводящих отверстий можно с помощью метода итерации (стр. 360). [c.366]

Переход через сингулярную точку осуществлялся за счет сохранения постоянного значения производной (1Ш1й2 до тех пор, пока число Маха не превосходило единицу (М — число Маха, а Z — продольная координата, отсчитываемая от входного сечения). Для определения числа Маха на входе использовался метод итераций. Для нескольких начальных чисел Маха определялось число Маха в горле. Найденные значения интерполировались до числа Маха, равного 1. Процесс давал быструю сходимость по второму граничному условию. Важно заметить, что допущение о равенстве единице в горле сопла числа Маха, определяемого по параметрам газа, было принято неверно.. [c.331]

При практическом использовании метода итераций следует иметь в виду, что процесс вычислений будет сопровождаться ошибками. Как уже отмечалось, всегда будут присутствовать ошибки округления и возможны ошибки другой природы. Всякая вычислительная машина оперирует числами с мантиссой конечной длины, т. е. с множеством чисел, содержащим конечное число элементов. Такое множество, разумеется, не является полным, и последовательность, получаемая вычислительным путем, может вообще не иметь предела. Типичной является ситуация, когда последовательность зацикливается, т. е. л x s для всех п, начиная с некоторого. Существование предела такой последовательности возможно только, если период цикла 5 == 1. В этих условиях сформулированные ранее теоремы требуют уточнения. [c.72]

Правую часть этого уравнения можно определить для любой внутренней узловой точки с использованием принятых зн 1чений ф для функции ф. Таким образом, задача определения поправок для функции ijj сводится к решению системы уравнений, подобных уравнениям (5) из предыдущего параграфа, а это решение можно получить методом итераций. [c.524]

Для решения конечно-разностных уравнений (36) методом итераций примем некоторые начальные значения функции напряжения ф , фз,. .. Ф15. Подставляя их в уравнения (36), получим остаточные усилия для всех внутренних точек, которые можно затем устранить методом релаксации. Соответстнуюш,ая [c.545]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...