Метод приближённый решения уравнений

Источники света 324 Итерация (метод приближённого решения уравнений) 150, 151 [c.790]

Подстановка этих рядов в граничные условия даёт последовательность рекуррентных соотношений, из которых определяются коэффициенты и а . Особенно просто решается задача в тех случаях, когда отображающая функция ш(С) есть полином. В этом случае система совместных уравнений, которую приходится решать, оказывается конечной. Важность этого случая для практических приложений заключается в том, что заданную область 6 можно апроксимировать с произвольной точностью областью S , отображаемой на круг при помощи полинома достаточно высокой степени п. На этом может быть построен метод приближённого решения задачи. Ограничившись здесь только этими общими замечаниями, мы займёмся изложением другого метода решения поставленных краевых задач, именно сведением их к некоторым функциональным уравнениям. Этот приём основан на приложении интегралов типа Коши. [c.229]

При изложении основных уравнений теории упругости мы не останавливались иа вариационных принципах и основанных на них методах приближённого решения частных задач теории упругости. Эти методы получили применение к рассмотрению некоторых пространственных задач в работах М, М. Филоиенко-Бородича Задача о равновесии упругого параллелепипеда прн заданных нагрузках на его гранях (Прикл. матем. и мех. 15, №2, 1951). Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда ) (там же, № 5, 1951), Некоторые обобщения задачи Ляме для упругого параллелепипеда (там же 17, № 4, 1953) и Г. С. Шапиро Некоторые задачи о деформациях стержней переменного сечения (там же 17, № 2, 1953). [c.70]

Под интегралами — две переменных <е и х, связанных между собой, так как углы поворота сечений 9 изменяются по длине j , т. е. = <р (х). Закон изменения 9 в зависимости от х нам неизвестен. Пользуясь методами приближённого решения, зададимся для > каким-либо уравнением, связывающим его с X так, чтобы были удовлетворены условия закрепления концов балки. Положим, например [c.648]

Алгебраические уравнения второй, третьей и четвёртой степени решаются посредством конечного ряда арифметических и алгебраических действий (в некоторых случаях с применением тригонометрии) над коэфициентами уравнений по готовым формулам в определённом порядке (см. ниже). Уравнения степени выше четвёртой в общем случае так решить нельзя. Их приходится решать либо графически (см. стр. 121) с последующим уточнением корней (см. стр. 122), либо посредством метода итераций (см. стр. 125) и метода Лобачевского— Греффе (см. стр. 123). В этих случаях число действий существенно зависит от степени точности, с которой желательно найти значения корней уравнения. При решении уравнений следует иметь в виду, что их коэфициенты являются чаще всего числами приближёнными. Поэтому не следует искать значения корней с большей точностью, чем заданы коэфициенты уравнения. Уравнения третьей и четвёртой степени решаются приближёнными методами нередко проще, чем приёмами общего решения этих уравнений, причём значения корней получаются с достаточной степенью точности. Об щих приёмов решения трансцендентных уравнений нет. Чаще всего грубые значения корней определяются графически (с.м. стр. 121) и зате.м уточняются аналитически (см. стр. 122). Корни некоторых трансцендентных уравнений см. на стр. 129. [c.119]

Приближённое решение алгебраических уравнений по методу Лобачевского—Греф- [c.123]

Если первой ступенью развития приближённых методов использования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифференциальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближённых методов решения отдельных задач движения вязкой несжимаемой жидкости. [c.227]

Приближённый метод решения уравнений пограничного слоя [c.272]

В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчёты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. Для больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден. Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя. Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать другие приближённые методы решения уравнений для пограничного слоя. Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых безразмерных переменных, позволяющем дифференциальные уравнения с частными производными (1.13) сводить либо к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами, либо к некоторой последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений также с числовыми коэффициентами. В этих методах численно решается обыкновенное уравнение или группа, уравнений и составляются соответственные таблицы. Эти таблицы затем могут быть использованы для целой группы соответственных задач (а не одной какой-либо задачи). [c.272]

В гл. 3 на основе асимптотических методов получены усреднённые уравнения возмущённого движения осесимметричного тела и найдены их приближённые аналитические решения. [c.6]

В этой главе рассматриваются аэродинамические силы и моменты, действующие на тела при спуске в атмосфере, показана зависимость коэффициентов этих сил и моментов от положения тела относительно набегающего потока. Приведены различные типы уравнений движения тела относительно центра масс при спуске в атмосфере. Анализируется влияние начальных условий на границе атмосферы на характер движения тела на атмосферном участке и получено условие, при выполнении которого можно считать поступательное движение (движение центра масс) медленным по сравнению с вращательным (движение тела относительно центра масс), что позволяет воспользоваться методами теории возмущений при поиске приближённых решений. [c.10]

Описание вращательного и поступательного движений тела при спуске в атмосфере требует совместного рассмотрения системы с шестью степенями свободы, что обусловлено их взаимовлиянием друг на друга. Так, величины аэродинамических моментов зависят от параметров поступательного движения — скоростного напора и чисел аэродинамического подобия (М, Re и другие), а величины аэродинамических сил, определяющих поступательное движение тела, зависят от расположения тела относительно воздушного потока, то есть от углов атаки а и скольжения /3, или от пространственного угла атаки а-п и угла аэродинамического крена (угла собственного вращения) (рп- Найти точное аналитическое решение полной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение тела при спуске в атмосфере, не представляется возможным, поэтому возникает потребность в поиске приближённых решений. В данном случае используются, как правило, методы теории возмущений, для непосредственного использования которых требуется выделить малые параметры в уравнениях движения, характеризующие возмущения. [c.49]

Это уравнение даёт удобный метод для приближённого решения задачи об упругом равновесии. Пионером в этой области явился безвременно умерший геттингенский профессор Вальтер Ритц. [c.440]

В случае бесконечных рядов (16.3) возникает вопрос о том, сходятся ли значения и, V, т, полученные указанным методом, к действительным интегралам уравнений упругого равновесия в рассматриваемом случае. Ритц доказал это для разобранного им случая изгиба заделанной прямоугольной пластинки равномерной нагрузкой. В общем виде этот вопрос был предметом многих работ, в частности работ Н. М. Крылова и Л. Канторовича, но он не может считаться окончательно решённым, и мы не будем здесь останавливаться на нём. При конечном числе постоянных (16.4) мы получим приближённое решение, точность которого вообще тем выше, чем больше постоянных <16.4), и чем искуснее подобраны функции (16.5). [c.442]

Если функция со ( ) не рациональна, но разложение ее в круге известно, метод приводит к бесконечной системе линейных уравнений, а это позволяет строить приближённое решение задачи с любой заданной точностью. [c.49]

Графо-аналитический метод решения уравнения движения поезда основан на приближённой замене бесконечно малых приращений скорости конечными величинами. [c.32]

Заметим, что для отыскания приближённого решения диференциального уравнения или системы уравнений выше 1-го порядка можно заменить это уравнение или систему системой уравнений 1-го порядка (стр. 174) и применить любой из указанных выше методов. [c.260]

Приближённое решение системы канонических уравнений по методу итераций возможно тогда, когда главные коэфициенты системы численно превосходят значения побочных, что всегда имеет место при методе перемещении. Например, в системе трйх уравнений [c.150]

Точное аналитическое решение в общем виде невозможно вследствие невозможности представить ускоряющую силу как непрерывную функцию скорости для всех составов и локомотивов. Поэтому при аналитических способах решения уравнения движения поезда, так же как и при графических, пользуются приближёнными методами решения. [c.903]

Поскольку точные решения уравнения Шрёдиигера для любой системы многих тел обычно являются весьма сложными функциями всех переменных, а мы можем оперировать лншь с ограниченным числом функций довольно простого тнпа, то обычно даже самые лучшие функции, получаемые какнм-либо приближённым методом, дают значения энергии, заметно отличающиеся от опытных данных. Однако имеются исключения, как, например, в случае нормального состояния гелия. Этот случай мы в дальнейшем используем для определения источников ошибок в других задачах. Мы начнём с некоторых замечаний об операторе Гамильтона, который будет применяться для твёрдых тел. После этого мы изложим оба упомянутых выше метода. [c.242]

Одноэлектронное приближение ). Одноэлектронное приближение оказалось наиболее плодотворным из нескольких приближённых методов, разработанных для получения качественных и полуколичест-венных решений уравнения Шрёдингера для случая многих электронов. Как было упомянуто во введении к настоящей главе, этот метод основан на построении волновых функций для системы п электронов из п волновых функций отдельных электронов. [c.250]

Метод Гайтлера-Лондона был применён для вычисления энергии взаимодействия между заполненными оболочками. Для удобства одноэлектронные функции, использованные в этом вычислении, составлены не на основании решений уравнений Фока, а на основании приближённых функций атомарного типа. Мы разберём здесь подробно несколько примеров. [c.280]

Введение. В настоящей главе вкратце рассматривается один из наиболее важных методов получения приближённых решений урав-яения Шрёдингера для твёрдых тел. Это рассмотрение дополняет главу VI, поскольку одноэлектронные методы представляют основу метода, излагаемого ниже. Исходным пунктом этого метода является замена уравнений Фока, которые обычно не допускают разделения переменных, уравнениями для центральных сил, которые допускают такое разделение. Полученные таким путём точные одноэлектронные функции применяются для вычисления кулоновской и обменной энергий. На основании этих вычислений делается попытка оценки эффекта корреляции и корреляционной энергии. Оценки влияния корреляции в общем случае несколько громоздки, однако они были получены для нескольких частных случаев, которые приведены в конце этой главц. [c.346]

Это и есть основное уравнение, определяющее критические нагрузки или критическую гибкость по методу Тимошенко. Оно очень удобно для решения задач и особенно в тех случаях, когда имеется приближённое решение. Задавая прогиб -ш в виде ряда [c.308]

Колебания некоторых типов струн с п юстым распределением массы и натяжения могут быть исследованы при помощи методов, изложенных в предыдущем параграфе. Точное реше-ние уравнения (11.2) ино1да может быть по 5 учено без преодоления чрезмерных трудностей интегрирование, согласно выражению (11.9), может быть тогда проведено, и общая картина движения полностью выяснена. Однако, во многих случаях, решение уравнения (11.2) нелегко получить и потому полезно разработать вспомогательный, приближённый метод его решения. Приёмы приближённых вычислений оказываются особенно эффективными, если изменения плотности и натяжения не сильно меняются по длине струны, т. е. струна лишь незначительно отличается от однородной. Отклонения от однородности можно назвать возмущениями, а технику вычислений для этого случая часто называют методом возмущений. [c.143]

Для многих приложений существенно иметь приближённый метод для решения волнового уравнения, который был бы применим, когда матрица энергии хотя и не совсем диагональна, но недиагональные элементы малы по сравнению с разностями диагональных элементов [c.128]

В соответствии со сказанным, в томе дано полное изложение сведений, формул и приёмов вычислений, относящихся к математическим дисциплинам, имеющим прикладное значение. В Справочнике , в частности, освещены приближённые методы решения алгебраических и диференциальных уравнений. Значительное место уделено теории вероятностей и способам математической обработки результатов наблюдений. М а т е м а т и ч е с к и е т а бл и ц ы даны с подробностью и числом знаков, достаточным для большинства технических расчётов. Некоторые из ма-тематических таблиц (четвёртые и пятые степени чисел, функции Бесселя и др.) появляются в справочных пособиях впервые. [c.555]

Графические и графо-аналитические методы интегрирования уравнений движения привода. Графо-аналитические методы для указанной цели применяются тогда, когда аналитическое решение оказывается невозможным при /И, , = 9 (5) или Мй1 = ф(ц, з), или менее удобным, например, при Мт = Одним из самых распространённых приближённых методов интегрирования является метод конечных приращений. Суть этого метода заключается в том, что в уравнениях движения электропривода бесконечно малые изменения числа оборотов в минуту (йп) заменяются малыми конечными приращениями ( n). При этом предполагается, что при подстановке в уравнение движения привода средних значений момента двигателя и среднего значения статического момента сопротивления для каждого интервала изменения скорости уравнения движения электропривода остаются в силе. Средние зна чения Л1 и Мт обычно находят графическим путём. Далее могут быть два варианта этого метода. В первом из них, известном под названием принципа пропорций, задаются последовательно значениями приращений Дл ., графически определяют и так постепенно получают всю кривую л = /((). [c.42]

ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ МЕТОД (метод Рыто-ва) — приближённый метод решения волнового урав нения или Леонтовича параболического уравнения., описывающего распространение волн с учётом дифракции в среде с крупномасштабными (по сравнению с длиной волны ь) неоднородностями показателя преломления одна из разновидностей метода возмущений. Предложен С. М. Рытовым в 1937 для решения задачи о дифракции света на У 3-волне. В дальнейшем П. в. м. применялся в разл. статистич. задачах распростране- [c.593]

Таким образом, описанный приближённый метод позволяет учесть изменение физических свойств фаз и режимных параметров потока по его длине в-результате численного решения упомянутой системы уравнений определяются все тепловые и гвдродинамические характеристики теплоносителя и полвдисперсного материала. [c.306]

Помимо приближённого описания микрорельефа поверхности при исследовании задачи дискретного контакта используются различные приближённые методы решения системы уравнений (1.1), (1.3) и (1.4). В первых исследованиях в области механики дискретного контакта не учитывалось взаимное влияние микроконтактов, т. е. напряжённо-деформированное состояние материала в области пятна контакта полностью определялось нагрузкой, воспринимаемой этим контактом. Эта гипотеза обеспечивает хорошее соответствие между теорией и экспериментом при малой плотности пятен контакта. Однако в тех случаях, когда это требование не соблюдается, такое допущение приводит к ошибочным результатам. [c.16]

Определённый в предыдущем параграфе квадрат длины замедления нейтронов является важной характеристикой пространственного распределения нейтронов. Нахождение точного вида функции распределения представляет собой чрезвычайно сложную задачу, решение которой известно только в некоторых частных случаях. Мы говорили выше, что знание всех моментов функции распределения (квадрат длины замедления пропорционален второму моменту) даёт в принципе возможность определить функцию распределения, но последовательное нахождение моментов приводит к громоздким и необозримым формулам, так что этот метод нахождения функции распределения является мало эффективным. Однако во многих случаях при определении функции распределения достаточно пользоваться приближённым методом, основанным на замене точного интегро-дифференциального кинетического уравнения дифференциальным уравнением. Это уравнение является уравнением диффузионного типа и поэтому само приближение называется диффузионным. Диффузионное приближение является законным, как мы увидим далее, в области энергий, малых по сравнению с начальной энергией нейтрону, и на расстояниях от источника, малых по сравнению с r /Zg, кроме того, длина свободного пробега должна быть достаточно медленно-меняющейся функцией энергии. [c.300]

Заканчивая рассмотрение примеров использования приближённого метода Озеена, заметим, что с помош,ью предложенных им уравнений им самим и его учениками развита так называемая теория исчезающей вязкости. На основании дифференциальных уравнений с частичным учётом квадратичных членов инерции Озееном ) построено решение задачи об обтекании выпуклого тела безграничным потоком в интегральном виде. Устремляя в этом решении коэффициент вязкости к нулю, Озеен получил течение идеальной жидкости с наличием разрыва впереди и сзади тела. Этот результат послужил основанием к постановке новой гидродинамической задачи об обтекании тела идеальной жидкостью с разрывными граничными условиями. [c.252]

Таким образом, задача изучения движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое сводится математически к решению дифференциальных уравнений (1.13) при граничных условиях (1.14) и (1.15). Наличие нелинейных слагаемых в первом уравнении (1.13) и наличие граничных условий на неизвестной границе создают большие трудности на пути изучения движения жидкости в пределах пограничного слоя. Но всё же эти трудности оказалось возможным преодолеть во многих случаях с помощью различных приближённых методов. [c.257]

Для решения отдельных задач были использованы в некоторых случаях упрощённые уравнения пограничного слоя, учитывающие квадратичные члены инерции в левой части первого уравнения (1.13) не полностью. Если, например, воспользоваться идеей метода Озеена и заменить и в первом слагаемом (1.13) через скорость частиц и [х) на границе слоя и совершенно отбросить второе слагаемое, то получим приближённые уравнения теории пограничного слоя [c.278]

Многочисленные теоретические исследования по вопросу об устойчивости ламинарных течений, опубликованные в различных журналах и книгах по гидродинамике, можно распределить на две группы. К первой группе относятся те исследования, в которых преимущественно использовался метод малых колебаний и решение вопроса об устойчивости ламинарных течений сводилось к исследованию корней характеристического трансцендентного уравнения, явный вид которого для большинства случаев можно было установить лишь приближённо. Существо метода малых колебаний заключается в том, что на исследуемое ламинарное течение накладывается нестационарное поле малых скоростей, удовлетворяющих" линеаризированным дифференциальным уравнениям. Последние уравнения получаются из полных уравнений движения вязкой жидкости после замены проекций скорости и давления через суммы проекций двух векторов скоростей и давлений исследуемого течения и наложенного поля возмущений и последующего отбрасывания из уравнений слагаемых, содержащих произведения производных по координатам от проекций вектора скорости поля возмущений. Затем рассматривается частный вид поля малых возмущений, отвечающий тому частному решению линеаризированных уравнений, в котором в качестве множителя входит показательная функция [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...